女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
我們很多人都知道埃舍爾的藝術與數學緊密相關：他的版畫上有很多生物以完美的規律性彼此鎖在一起，或者在連接配接日與夜、天與地的景觀中變形；建築物和場景在紙上的描繪方式是建築師無法建造的。更少有人知道，他一生中不止與一位，而是三位數學家交往，每一次交往都深深影響了他的藝術。我們可以說，是數學把埃舍爾和他的藝術介紹給了更多的人。
平面規則分割
從很早開始，埃舍爾就試驗和發明了無縫密鋪平面的設計，并以成為他藝術生涯中反複出現的主題。早期的一個例子《八張臉》(1922)在藝術上很有創造性，但沒有表現出我們現在與他聯系在一起的數學藝術性。它展示了八個人物，四個男性，四個女性，四個直立的，四個倒立的，四個深色的，四個淺色的，所有這些都以棋盤狀的圖案交替排列，但互相交錯，例如，一個人的肩膀形成了另一個人的帽子的羽毛。這八個人被安排在一個正方形中，這個正方形本身被沖壓了四次，變成了一個更大的正方形。埃舍爾讓我們去了解，這種模式可以無休止地重複，以覆寫一個無限的平面。然而，整體效果并不是嚴格意義上的密鋪。
《八張臉》
1922年，埃舍爾參觀了阿爾罕布拉宮，這是一座由摩爾人重建的西班牙城堡建築群，以其馬賽克瓷磚而聞名。像許多藝術家一樣，埃舍爾畫了各種各樣的密鋪圖案，但他沒有怎麼使用它們，似乎是因為他對人物、動物、花鳥魚蟲比對純粹的幾何形狀更感興趣。他評論說，“摩爾人是用全等圖形密鋪表面的大師，不會留下任何空隙。”但“我發現這種(對幾何形狀的)限制更加不可接受，因為我自己的圖案的組成部分的可識别性是我從未停止對這一領域的興趣的原因。”是以，埃舍爾描述了圖案的嚴格幾何秩序和拼塊的有趣形狀之間的精妙關系。
盡管如此，他仍繼續嘗試平面密鋪，創造自己的圖案，一路上，阿爾罕布拉宮的設計啟發他将菱形和六邊形、正方形和三角形扭曲成可識别的圖形，并保持相同的基本關系不變。1936年，他重遊阿爾罕布拉宮，這一次他更多地注意到了他所看到的圖案。但是他還有一年的時間才能遇到一次會戲劇性地改變他的藝術生涯的機會。
在繼續之前，你應該嘗試一些小練習。使用單個規則多邊形作為密鋪元素繪制平面的所有可能的密鋪。現在，你怎麼知道你所有的用過，而且沒有遺漏呢？以2x1的矩形作為瓷磚，也可以這樣做。在你畫的那些畫中，哪些本質上是相同的，哪些是真正不同的——你會如何向其他人解釋原因？在你的設計中使用多個瓷磚形狀。這些練習帶來了一項更大的任務，描述所有基本的密鋪圖案，包括那些使用多個形狀作為瓷磚的密鋪圖案，這些圖案在結構上彼此不同。
埃舍爾同父異母的弟弟比爾是一名地質學教授，他意識到埃舍爾實際上是在用三維晶體的二維平面類比進行實驗，是以在1937年，比爾向埃舍爾寄去了20年前寫的一批結晶學論文。埃舍爾在回複中寫道，他發現對于一個門外漢來說，它們大多太枯燥、太理論、太難了，除了格奧爾格·波利亞(Georg Pólya)(1924年)的一篇KrystallSymmetrie der Ebene(關于平面上晶體對稱的類比)。這是一篇純數學的群論論文，旨在解決描述所有不同密鋪關系的艱巨任務。巧妙的轉折是，波利亞在那篇論文中承諾，“我将在其他地方讨論這樣一個事實，即從藝術角度來看，對這些裝飾品的數學研究也很有趣。”
波利亞是一位匈牙利數學家，當時在蘇黎世的瑞士E.T.H.工作，但由于受到社會主義崛起的幹擾，他于1939年逃往美國。在從事數學工作的同時，波利亞對教育也有濃厚的興趣。他的書《如何證明》和《數學與合理推理》應該是每個數學教師都應該閱讀的。
那麼，一篇純數學的技術論文是如何引起藝術家埃舍爾的共鳴并改變他的？很簡單，波利亞已經完全解決了埃舍爾多年來一直在探索的問題，但他沒有正式的解決手段。相反，埃舍爾依靠的是視覺上的直覺和他想要實作的願景。毫無疑問，埃舍爾從事了數學研究；隻是他是在孤立地工作，使用他自己的語言，而不是正式的數學語言，也許對數學的作用知之甚少或一無所知。
喬治·波利亞（Georg Pólya）對17種不同的可能的對稱群的例子
對埃舍爾來說，最重要的，也是他立即明白的，是包含了波利亞的圖表。波利亞對用于建構密鋪的特定形狀不感興趣。相反，他的重點是模式中固有的對稱性。例如，向各個方向無限延伸以密鋪平面的棋盤圖案有幾種對稱。如果圖案通過對角線或者通過平分正方形邊的水準軸和垂直軸反射，鏡像對稱會使圖案保持不變。如果圖案圍繞正方形的中心和角旋轉半圈，旋轉對稱性會使圖案保持不變。如果将圖案向上或向下、向左或向右平移兩個方塊，平移對稱會使圖案保持不變。最後，還有一種特殊的對稱，稱為滑移反射，通過沿着一條線平移，然後通過這條線反射而獲得。
現在，用對稱的語言，我們可以說，如果兩個密鋪具有完全相同的對稱群，那麼它們在結構上是相同的，即使特定的形狀是不同的。令人驚訝的是，事實證明，恰好有17組不同的對稱，不多也不少，波利亞的圖表給出了每一組對稱的例子，數學說明了為什麼隻有這些組合是唯一的。波利亞的一些例子模仿了埃舍爾熟悉的阿爾罕布拉宮瓷磚，而另一些則是波利亞自己的設計。
這次相遇後，埃舍爾開始全力以赴地研究密鋪圖案，在一頁又一頁的紙上寫滿了他從波利亞那裡收集到的想法。埃舍爾的一些圖案甚至基于波利亞使用的形狀，是以D1·gg被變成了老鷹(1938)。請記住，埃舍爾的驅動力不是幾何形狀，而是具象的圖形，現在他有更多的工具來幫助他建構這些圖形，以便它們通過對稱鎖定在一起。
在此基礎上，他可以通過将形狀從一種形式蛻變為另一種形式，以及在設計中縮小和放大相同的形狀，但仍保留密鋪的性質，來開始修改方塊圖。前者的一個例子是《循環》（1938年，在看到波利亞文章之後僅一年），但在發展上與《八張臉》有很大的距離。
《循環》
在《循環》中，我們看到一個人物，雙手舉起，從外面的樓梯跑下來。随着他的下降，這個人物在六邊形的基礎上變成了一個剪影，這個剪影繼續穿過印刷品的底部，然後在另一邊向上，并再次轉變，但變成了形成建築物的石塊，而這些石塊又被壓縮成天井的瓷磚，導緻這個人物傳回。埃舍爾在玩密鋪遊戲，也在玩在二維表面上表現三維物體的模糊性。
彭羅斯和不可能圖案
埃舍爾不僅玩二維圖案，還玩三維空間。在他的許多版畫中，他從不同的角度包含了相同的場景，通過使用單一進制素來連接配接不同的部分，以實作多種目的，具體取決于不同的視角。例如，在《異度空間》(1947)中，我們看到了從三個不同的有利位置描繪的同一場景，但以一種方式鎖定在一起，即根據視點，單個表面同時充當牆、地闆和天花闆。這将所有的東西結合到一個場景中，這個場景不可能作為一個整體來考慮，但在這個場景中，個别的小部分在單獨的情況下是非常有意義的。
《異度空間》
《相對論》(1953)更是雄心勃勃。不僅平面同時充當牆、樓闆和天花闆，而且還描繪了幾個樓梯，每個樓梯都實作了雙重用途。當一個身影落在踏闆上時，另一個身影垂直于第一個身影，從第一個身影的角度看，它是沿着哪個立管上升的。這些版畫采用了《八張臉》的基本概念，即各個圖檔元素在圖檔中可以服務于不同的目的，并将其擴充到另一個次元。
《相對論》
埃舍爾故事的這一部分可能比波利亞的插曲更為人所知。阿姆斯特丹是1954年國際數學家大會的主辦城市。ICM是一項大型活動；它是數學家們最大的聚會，每4年舉行一次。每屆大會的亮點之一是菲爾茲獎牌獲得者的宣布。
荷蘭數學家N.G. de Bruijn為這次阿姆斯特丹大會安排了埃舍爾展覽，他認為數學家會在埃舍爾的藝術中看到他們在自己的研究中非常看重的對思想的玩味。這是一個重要的概念，也許在教室和教科書中被忽略了，即數學是有趣的，它是關于探索模式和發現關系的，它不是關于無意識地記憶規則。
一位年輕的科學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）看到了《相對論》，并被其中的三個樓梯所震撼，這三個樓梯如果作為一個整體，在實體上是不可能的，但如果孤立地看，卻是完全一緻的。作為一個好奇的數學家，他開始尋找自己的不可能圖形。其結果是著名的彭羅斯三角形，從圖形上看，它就像三個直的矩形條連接配接成一個三角形，每個角都是一個直角。
彭羅斯三角形。
彭羅斯三角形。不可能在三維空間中建構，但可以在二維空間中繪制，它保留了局部的一緻性，看起來似乎是可能的，直到你沿着三個直角描出條形。來源：維基
當埃舍爾發現了波利亞并開始通信時，彭羅斯也發現了埃舍爾并開始通信，這直接影響了埃舍爾的藝術，尤其是《升與降》(1960)和《瀑布》(1961)。彭羅斯的父親萊昂内爾是一名精神病學家、遺傳學家和數學家，在看到不可能三角形後，他創造了自己的不可能的圖形，一組樓梯圍繞一個正方形的四個邊，看起來你可以永遠上升，或永遠下降，取決于你選擇的圖形。羅傑把這些想法送給了埃舍爾，我們現在在這兩幅版畫中看到了僧侶和水無限循環上升和下降的直接結果。
《升與降》
《瀑布》
繪制你自己的不可能圖形
您可能希望嘗試設計自己的不可能圖形。有沒有類似彭羅斯立方體的正方形、立方體或四面體？有一個基于模棱兩可的内克爾立方體的不可能立方體，但這說明了一種不同的不可能，這是埃舍爾在《觀景樓》(1958)中使用的，也是有創造力的人可以使用的。
内克爾立方體和不可能立方體。來源：維基
《觀景樓》
第三種不可能是畫出兩個連貫的、使用相同數量的平行線的兩端，然後把它們連接配接在一起，形成一個不可能的圖形。
下面的形狀有很多變化，例如，在1965年3月發行的《MAD》雜志的封面上被稱為“the MAD poiuyt”。
參考文獻
1 Ernst, B. (1976).The Magic Mirror of M.C. Escher.Toronto: Random House.
2 Escher, M. C. (1989).Escher on Escher. New York: Abrams, 1989.
3 Polya’s 17 symmetry groups https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group
4 Pólya, G. (1924) ber die Analogie der Krystallsymmetrie der Ebene. Z. Kristall 60, 278-282.
5 Schattschneider, D. (2004).M.C. Escher: Visions of Symmetry, New ed. New York: Harry N. Abrams.
6 Schattschneider, D. (2010). The Mathematical Side of
7 M. C. Escher.Notices of the American Mathematical Society 57, 706 – 718.
8 Toen Castle, ESCHER AND THE MATHEMATICIANS
青山不改，綠水長流，在下告退。