圖1 周向宇院士
周向宇，中國科學院數學與系統科學研究院研究員，中國科學院院士，開發中國家科學院院士。周院士主要從事多複變與複幾何的研究，在多複變領域取得一系列具有國際領先的研究成果，證明了擴充未來光管猜想與Sergeev猜想，與合作者解決了Demailly關于乘子理想層的強開性猜想。曾獲國家傑出青年科學基金、求是傑出青年學者獎、陳省身數學獎、國家自然科學獎二等獎、陳嘉庚科學獎。
周院士從複數産生的曆史談起，闡述複數及複變函數的神奇作用，說明“虛數”不虛及數學的“無用之用”，兼及中國古代數學思想。
本文由周向宇院士12月16日于北航沙河校區所作報告整理而成（部分内容），數學經緯網授權釋出。
剛開始強調的複變函數的幾個關鍵詞，其中有變量，笛卡爾說這是未知和未定的量，而在中國更早我們就把它叫“天元”，像李冶等還形成了一套天元術。宋元四傑（李冶、秦九韶、楊輝、朱世傑）在中國古代數學發展中有非常重要光輝的事迹，到朱世傑時，他已經可以做四個變元多項式方程組了。事實上，把天元引進到數學是非常重要的，可以說是數學上的轉折點，因為這樣就有了變量。這裡順帶說一下，我們現在把“algebra”稱為“代數”，是李善蘭先生翻譯的，用的是韋達的觀點，用符号來代替數。
圖2 李冶
函數可以看作是變量之間的聯系（關系），是數學裡一個非常基本的概念，是描述變化和運動的語言。李善蘭曾給出定義：凡式中含天，為天之函數。這個“天”就是“天元”，“天之函數”就是變量的函數。在國外早期的研究者，如奧雷姆、笛卡爾、費馬等，他們是考慮圖形的軌迹來研究函數的。 函數是數和形的一個橋梁。在現代，常常提函數的圖像，有函數就有對應的圖像。我們常說“點動成形”，點作為變量在變動，自然形成了形。過去研究的都是比較經典的曲線，函數出來以後，就能研究無限多的、任意的曲線。是以，函數有代數的符号含義，也有幾何的意義，還能展現實體的規律。研究實體規律，像Stevin, Kepler, Galileo有關數學實體方面的工作，函數是作為一個基本工具的。
“函數”這個詞是萊布尼茲提出的，還有“變量”、“參數”、“參變量”，都是萊布尼茲引進的。他引進的詞現在都還在用，牛頓用的“流量”現在基本上不再用了。過去函數隻是附帶的、不是主要的研究對象，從歐拉開始，函數被認為是一個主要的研究對象。
有了函數自然要研究它的極限，大學課程裡的收斂、連續、微分、積分等的一個共同出發點就是極限。在古代中國，極限思想是很豐富的。名家惠施有言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（見莊子《天下篇》）。這話寫成數學語言應該是這樣：
你不可能寫成有限項，你必須寫成無限項。還有墨子說：“一條線段從中點處分成兩半，取一半，再将該一半破成兩半，仍取其一半，一直取到其不能被分割的時候，自然就是一個點了。”這實際就是區間套定理，我把它稱為墨子半分法。我們可以用墨子半分法證明緻密性定理、聚點定理、有限覆寫定理，還有連續函數的零點存在定理等等。
圖3 墨子
“有窮”、“無窮”是墨家的常用術語。到後來，劉徽發明“割圓術”——“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。這段話本身就在講一個極限。再後來，祖沖之和他的兒子祖暅寫了一本書《綴術》，現已失傳。“綴”有連續的含義，我認為書中有大量的極限思想。其中有非常著名的祖暅原理：“幂勢既同，則積不容異”。意思是有兩個立方體，如果它們的平行截面面積都相等，那麼它們的體積相等。這在國外叫卡瓦列裡原理。祖暅更早提出并以此回答了劉徽以牟合方蓋求球的體積的遺留問題。
如今工科學生學複變函數課程是非常基本、非常普遍的。錢學森在加州理工學院求學時就學習了當時比較前沿的複變函數論。在我看來，如果不懂複變函數，大概不能稱為是一個好的工程師。
這裡我要強調，“虛數”不虛也反映了一個非常重要的一個理念，就是“無用之用”。在最初研究複數時，人們覺得它沒有實用，但現在應用非常廣泛。在前蘇聯，拉夫連季耶夫和沙巴特寫了一本書《複變函數論方法》。兩位傑出的數學家在這本書裡闡釋了很多例子反映了複變函數的重要應用，包括在流體力學、氣體動力學、彈性力學、電磁學、電工學、電路計算、機翼設計等等方面。
數學一個很重要的作用就是“無用之用”，事實上“無用之用”是莊子最早于《莊子·人間世篇》提出來的，他在那時候就已經提醒我們，“人皆知有用之用，而莫知無用之用也”，無用之用确實非常深刻。他舉了一個例子。有個人看到一棵大樹很茂密，就問伐木人，說你們為什麼不砍伐它？伐木人說，這棵樹，如果用來做船，就會沉下去；如果用來做門窗，就會滲液而合不攏；如果用來做屋柱，就會被蟲咬而不牢靠；如果用來做棺材，就會很容易腐爛，是以沒什麼用。結果莊子就發感慨，你看它沒用，它卻活得很長，正是大用；另外還可以讓很多人和牲畜在它底下避雨遮蔭，因為它枝繁葉茂。
圖4 莊子
由此可見，莊子非常有思想，他是一位辯證法大師。“無用之用，方為大用”——沒有用的用處，才是最大的用處。當時沒有用，但到後來就有用了；從這個角度看沒有用，但從另外一個角度看有重大意義。“無用之用”的科學研究在于建構科學知識體系。《周易·系辭上》中講“探赜索隐，鈎深緻遠”，以及“格物緻知”，這就把科學研究的本質講得很清楚。科學研究的真谛就是要探索深奧隐秘的問題，探索未知來擷取新知，就是要建構科學知識體系。徐光啟說過：“無用之用，衆用之基”，人們正是通過科學知識體系找到衆多應用來造福人類。
虛數雖然當時沒有實用，但對數學科學知識體系是一個重大貢獻。是以在我看來這本身就是一種用，你不能把“用”字局限于實用，科學知識體系是人類寶貴财富，是無價之寶。比如阿波羅尼奧斯（Apollonius），他研究圓錐曲線，在當時既沒有實用背景，也沒有實用的目的，完全是“無用之用”。到了兩千年以後才發現應用，開普勒發現了行星運動規律，行星運動軌迹是橢圓；人們發現炮彈飛行軌迹是抛物線；以及現在的定位系統與雙曲線有關等。定位系統為什麼叫雙曲系統？通過地面物體發出的光或者發送的信号，信号被衛星接收的時間的差總是一個定值，且信号發送的速度是一樣的，進而物體到這兩個衛星的距離之差是一個定值。一個動點，如果到兩個定點的差是一個定值，這是雙曲線的一支。多點定位系統用這個思想來定位，是以叫雙曲系統。
數學裡的拓撲，也屬于無用之用。在2016年獲得諾貝爾實體獎是因為拓撲相、拓撲相變的發現，現在拓撲絕緣體、拓撲材料都是拓撲相關研究，非常活躍，而過去拓撲是沒有實用的。今年諾貝爾實體學獎是頒給彭羅斯等關于黑洞發現的工作，彭羅斯引入基礎數學研究時空的奇點，預言了黑洞的存在；他在1978年國際數學家大會上一小時大會報告的題目是“自然界的複幾何”。還有布爾研究人類思維活動所揭示的規律（邏輯思維規律），發現了布爾代數，當時既無實際背景與實用需求，也沒實用目的，此後才産生了很重要的實用，現在在人工智能中起一個非常基礎的作用。1938年，香農在其碩士論文中，注意到電話交換電路與布爾代數之間的類似性，即把布爾代數的“真”與“假”和電路系統的“開”與“關”對應起來。于是他用布爾代數分析并優化開關電路，奠定了數字電路的理論基礎。布爾代數是晶片的基礎。華為很重視基礎科學研究，土耳其Arikan教授發現極化碼，極大提高5G編碼性能。2016年，國際移動通信标準化組織3GPP确定了5G增強移動寬帶場景的信道編碼技術方案，其中華為的極化碼成為控制信道的編碼方案。Arikan的論文猶如數學論文。這些都是極好的說明數學“無用之用”的例子。
下面談談我對《愚公移山》寓言故事除了通常解釋外的了解。
愚公開協商之先河。作為一家之長的愚公在移山前，不搞一言堂，“聚室而謀”，“其妻獻疑”，采納了其妻的合理建議。這生動诠釋了有事好商量、衆人的事衆人商量、不搞形式主義、真協商、協商于決策之前、決策基于科學等協商精髓。
圖5 愚公移山
另外，《愚公移山》蘊涵深邃的數學思想，為什麼？愚公回複智叟的話事實上包含了兩條十分重要的數學原理：
前半部分相當于定義了自然數，認識到了自然數的無窮性（國外稱Peano定理，19世紀末完成）。
後半部分其實就是衡量微積分正确與否的實數理論基石——阿基米德原理。
“雖我之死，有子存焉；子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫；子子孫孫無窮匮也”。其實這裡是定義了自然數，認識到了自然數的無窮性。以此定義自然數，顯見自然數的交換律與結合律。
愚公子孫的輩分集與自然數集構成一一對應，愚公子孫的輩分集也是愚公子孫們的等價類集，這裡，愚公的兩個後代稱為等價的當且僅當這兩個後代屬于同一輩分。設愚公本人對應于0，其子輩對應于1，其孫輩即其子之子輩對應于1+1=2；設愚公某後輩對應于n，則該後輩之子輩對應于n+1。這樣定義自然數的方法可以稱為愚公子孫模型。
從愚公子孫模型容易看出自然數的運算規律。先來看交換律：比如1+2與2+1。在愚公子孫模型中，1+2對應于其子之孫輩，即曾孫輩；而2+1對應于其孫之子輩，亦即曾孫輩。是以1+2=2+1。再來看結合律：比如在1+1+1中，前兩個1相加，即2+1；後兩個1相加即1+2，由剛才的解釋，是以有（1+1）+1=1+(1+1)。
“子子孫孫無窮匮也，而山不加增，何苦而不平？”。設山的土石方量為b>0（可能非常大），愚公家族每一代挖的土石方量為a>0（a可能非常小）。一代挖a，兩代就是2a，到了第n代，那就是na。因為“山不加增”，就可以把b設為常數。“子子孫孫無窮匮”，這就意味着自然數1，2，3，……，n，……是可以趨于無窮的。是以愚公斷言，總可以找到一個自然數n，使得na>b。此即有名的阿基米德原理。
愚公的思想還蘊涵了n趨于無窮的極限含義。