關于幂等陣與幂幺陣的專題讨論

幂等陣

$\bf命題：$設$n$階幂等陣$A$滿足$A=A_{1}+\cdots+A_{s}$，且$$r(A)=r(A_{1})+\cdots+r(A_{s})$$

證明：所有的$A_{i}$都相似于一個對角陣，且$A_{i}$的特征值之和等于$A_{i}$的秩

$\bf命題：$

幂幺陣

$\bf命題：$設$A$為$n$階對合陣，即${A^2} = E$，則存在正交陣$Q$，使得${Q^{ - 1}}AQ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_r}}&0 \\ 0&{ - {E_{n - r}}}\end{array}} \right)$ 

$\bf命題：$設${A^n} = {E_m}$，則$(E-A)x=0$的解空間的維數為$\frac{1}{n}tr\left( {A + {A^2} +  \cdots  + {A^n}} \right)$

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附錄1(幂等陣)

$\bf定義：$設$A$為$n$階矩陣，若${A^2} = A$，則稱$A$為幂等陣

$\bf命題1：$若$A$為幂等陣，則${A^T},{A^k},E - A$均為幂等陣

$\bf命題2：$幂等陣的特征值與行列式隻能是$0$或$1$

$\bf命題3：$設$A$是特征值全為$0$或$1$的方陣，則$A$為幂等陣的充要條件是$A$可對角化

$\bf命題4：$$A$為幂等陣當且僅當$r\left( A \right) + r\left( {E - A} \right) = n$

$\bf命題5：$$A$為幂等陣當且僅當${F^n} = N\left( A \right) \oplus N\left( {E - A} \right)$

$\bf命題6：$$A$為幂等陣當且僅當存在可逆陣$P$，使得${P^{ - 1}}AP = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_r}}&0\\0&0\end{array}} \right),r = r\left( A \right)$

$\bf命題7：$設$A$為秩為$r$的幂等陣，則$tr\left( A \right) = r\left( A \right)$

$\bf命題8：$設$A$為秩為$r$的幂等陣，則$\left| {aE + bA} \right| = {\left( {a + b} \right)^r}{a^{n - r}}$

$\bf命題9：$任意幂等陣均可分解為對稱陣與正定陣之積