[家裡蹲大學數學雜志]第297期丘成桐大學生數學競賽2014年分析與方程個人賽試題

1. 設 $f:\bbR\to \bbR$ 連續, 且滿足 $$\bex \sup_{x,y\in\bbR}|f(x+y)-f(x)-f(y)|<\infty, \eex$$ $$\bex \vlm{n}\frac{f(n)}{n}=2014. \eex$$ 試證: $$\bex \sup_{x\in\bbR}|f(x)-2014x|<\infty. \eex$$

2. 設 $\sed{f_i}_{i=1}^n$ 在機關圓 $D=\sed{z;\ |z|<1}$ 内解析, 在 $\bar D$ 上連續, 試證: $$\bex \phi(z)=\sum_{i=1}^n |f_i(z)| \eex$$ 在 $\p D$ 上取得最大值.

3. 試證: 如果存在一個共型映射把圓環 $\sed{z;\ r_1<|z|<r_2}$ 映為圓環 $\sed{z;\ \rho_1<|z|<\rho_2}$, 則 $$\bex \frac{r_1}{r_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}. \eex$$

4. 設 $U(\xi)$ 是 $\bbR$ 上的有界函數, 且隻有有限多個間斷點, 試證: $$\bex P_U(x,y)=\frac{1}{\pi}\int_{\bbR} \frac{y}{(x-\xi)^2+y^2}U(\xi)\rd \xi\quad\sex{y>0} \eex$$ 是調和的; 并且如果 $\xi$ 為 $U$ 的連續點, 則 $$\bex \lim_{(x,y)\to (\xi,0)}P_U(x,y)=U(\xi). \eex$$

5. 試證海森堡不等式: $$\bex \int_{\bbR} x^2|f(x)|^2\rd x\cdot \int_{\bbR} \xi^2|\hat f(\xi)|^2\rd \xi \geq \frac{1}{16\pi^2}\sez{\int_{\bbR} |f(x)|^2\rd x}^2. \eex$$ 

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