[實體學與PDEs]第1章第2節 預備知識 2.3 Faraday 電磁感應定律

1.  Faraday 電磁感應定律: 設 $l$ 為任一閉曲線, 則 $$\bex \oint_l{\bf E}\cdot\rd {\bf l} =-\int_S \cfrac{\p {\bf B}}{\p t}\cdot{\bf n}\rd S, \eex$$ 其中 $S$ 為任一以 $l$ 為邊界的有向曲面, 其方向與 $l$ 成右手定則.  

(1)  這是 Faraday 從實驗中總結出來的規律.  

(2)  負号的意義: 若沿 ${\bf n}$ 的磁通量增加, 則産生的感應電動勢應抑制這一磁通量的增加. 這就是 Lenz 定律.  

(3)  由 $S$ 的任意性知 $$\beex \bea 0&=\int_S \cfrac{\p{\bf B}}{\p t}\cdot{\bf n}\rd S\quad\sex{S:\mbox{ 封閉曲面}}\\ &=\cfrac{\rd }{\rd t}\int_S{\bf B}\cdot{\bf n}\rd S\\ &=\cfrac{\rd }{\rd t}\int_\Omega \Div{\bf B}\rd V. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex \cfrac{\p}{\p t}\Div {\bf B}=0.  \eex$$ 進一步, 若初始時, $\Div{\bf B}=0$, 則以後均有 $\Div{\bf B}=0$.