數學和力學這兩個學科，有點像親姐妹一樣。她們結伴成長。在曆史發展的長河中，主流數學和力學的發展總是同步的。一方面的突破，意味着在另一方面也有飛躍。
在16世紀之前，力學的主流是靜力學，相應的數學是歐氏幾何和簡單的代數運算。到16世紀，開始了動力學研究，相應的數學發展出變量的數學，即微積
分，幾何上的發展就是解析幾何，特别是相應于行星運作軌道的認識，關于二次曲線的幾何學有了充分的發展。17世紀和18世紀，随着分析力學的發展，變分法
發展成熟，随着力學系統多自由度的概念的形成，幾何方面有流形和黎曼幾何的發展。到了19世紀，由于連續媒體力學，即彈性力學和流體力學以及傳熱學的發
展，偏微分方程相應地也得到飛速的發展。
數學和力學這兩門學科在發展上的結伴而行的特點，不能不展現在這兩個學科的代表人物的特點上。我們看出，曆史上最著名的數學家，一般也同時是最著名的力學家。
1. 最顯赫的六位數學力學家
如果讓你在19世紀以前，在世界範圍内選六位最著名的數學家。你會選誰。我想多數人會選這樣六位：阿基米德、牛頓、萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、柯西。
可是你曾想到，這六位同時也是頂尖的力學家。對于他們的生平業績，由于他們的名氣很大，每個人都有專門的傳記著作，我們不想重複羅列他們的貢獻。而隻簡要說明他們是數學與力學兼一身的大師。
阿基米德（Archimedes, 287 BC---212BC），力學學科最早的集大成者，後人譽為“力學學科之父”。在力學方面最著名的貢獻是：液體的浮力原理、一系列圖形的重心計算方法、基于嚴密論證的杠杆原理、抛物線旋轉體在液面上平衡穩定性條件。
在數學上，他給出曲線圍成簡單圖形的體積和重心的計算方法，進而引進了簡單的極限概念。
牛頓(Isaac
Newton,1642，12，25－1727，3，20)。在力學方面，他是自由質點運動規律的創始者，也是天體力學的創始者。後人稱他為經典力學的奠
基人。他以嚴格的方式論證了，在與距離的平方成反比例的萬有引力作用下，行星的軌迹是
橢圓，并且從理論上導出了基于觀察建立的行星運動的開普勒定律。寫出了名垂史冊的巨著《自然哲學的數學原理》。
在數學上他是微積分的創始人之一。
這兩項成果，實際上，乃是16世紀之後飛速發展着的現代科學的基石。
萊布尼茲（Gottfried Wilhelm
Leibniz,1646－1716），是與牛頓同時代的人。他在數學上人所周知的貢獻是和牛頓同時發明了微積分。而他在力學上的貢獻，卻不大為人注意。
其實，他在力學上的貢獻就是影響深遠的動能守恒定律的提出。在萊布尼茲之前，人們對于表述質點運動的速度、加速度、和動量，都給予了充分的注意，而萊布尼
茲卻最早注意到表述質點運動的動能。隻要注意随後約翰·伯努利（Johaun
Bernoulli，1667-1748）提出和被科裡奧利精确化的虛功原理，以後分析力學發展以及力學中一系列作用量的引進，就能夠了解這個概念的影響
深遠了。
萊布尼茲，除了在數學和力學上表現的特殊天才外，他在許多領域中都表現出卓越的才能：法律、宗教、政治、曆史、文學、邏輯、哲學。然而，他并不是人們
所說的“樣樣精通，樣樣稀松”。而當人們讀以上每一方面的曆史時，都會遇到他的名字。是以人們說，萊布尼茲是人類曆史上最後一位全才。
歐拉（Leonhard
Euler,1707－1783），1697年，約翰·伯努利将他提出的最速落徑問題推廣，提為短程線問題。歐拉作為在約翰·伯努利指導之下的學生，于
21歲時解決了這個問題，并且與拉格朗日一起發明了變分法這個數學工具。歐拉在數學上，是一位全才，他在數學的三個主要分支：分析、幾何和代數上都有奠基
性的貢獻，他在力學上也是一位全才，
他在力學的三個主要分支：流體力學、固體力學和一般力學方面，都有奠基性的貢獻。流體力學方面，他給出了理想流體的運動方程。在一般力學方面，他給出了剛
體運動的歐拉方程。在固體力學方面他給出了最早的彈性杆的非線性問題的解。
拉格朗日(Joseph Louis
Lagrange, 1736，1，25－1813，4，11)，是分析力學和變分法的創始者。1788年他經20多年的努力寫成的《分析力學》是力學
史上劃時代的文獻。這本書開辟了限制力學系統的曆史。至今人們用的拉格朗日坐标和拉格朗日方程，就是這本書的主要成果。此外他在彈性力學、流體力學、天體
力學等方面也有重要的貢獻。
可以明白地看出拉格朗日在數學上的貢獻，如變分法、偏微分方程、數學分析中的一些基本定理等，主要是圍繞着他對徹底解決他對分析力學的追求展開的。不過在代數方程的近似求解、函數的插值等方面，他仍然有許多重要工作。
柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789,821—1857,523)，在力學上他是彈性力學的創始者。在數學上，他又是現代數學分析嚴格化的創始者。
我們今天在彈性力學中一開始引進的應變和應力的概念、平衡方程的概念，廣義胡克定律的概念，都是柯西于19世紀20到30年代引進的。柯西在數學上，
對偏微分方程理論和複變函數理論的建立，給出過奠基性的工作，至今人們說的柯西初值問題，柯西-黎曼條件，都是這方面的基本結果。
我們從以上介紹的六位學者來看，的确說不出他們的貢獻到底是以數學為主還是以力學為主。我們隻能說，他們都是數學力學家，而不能簡單地把他們稱為數學家或力學家。
從這裡我們至少可以悟出一點道理，在19世紀之前，力學和數學是不分家的。不過，這話也不能說絕對了，這對于以上所舉的第一流的學者當然是對的，不過
對于他們之外的學者，就不能一概而論了。例如伽利略和惠更斯，就主要偏重于力學，達朗貝爾、拉普拉斯、哈密爾頓、高斯就是數學與力學兼長的學者，而像黎
曼、維爾斯特拉斯、伽羅華等數學家，就主要成果偏重在純數學方面。總起來說，大部分有名的數學家都是力學家，至少他們對力學是很熟悉的。
2. 20世紀的著名數學家和力學
進入20世紀，人類的知識分得愈來愈細，不僅像萊布尼茲那樣的知識全才很少見了，即便是在數學和力學領域中像歐拉那樣跨越數學和力學所有主要分支都作
出重要貢獻的學者也是少見的了。美國學者維納（Norbert
Wiener，1894-1964）在他1948年出版的《控制論》書中說：“從萊布尼茲以後，似乎再沒有一個人能夠充分地掌握當代的全部知識活動了。從
那時起，科學日益成為專門家愈來愈狹窄領域内進行着的事業。在上一世紀，也許沒有萊布尼茲這樣的人，但還有一個高斯、一個法拉地、一個達爾文。今天沒有幾
個學者不加任何限制而自稱為數學家，或者實體學家，或者生物學家。一個人可以是一個拓撲學家，或者一個聲學家，或者一個甲蟲學家。他滿嘴是他那個領域的行
話，知道那個領域的全部文獻、那個領域的全部分支，但是，他往往會把鄰近的科學問題看作與己無關的事情，而且認為如果自己對這種問題發生任何興趣，那是不
能允許的侵犯人家地盤的行為。”[1]
既然在20世紀，一位數學家連主要的數學分支都很難跨越，是否在20世紀傑出的數學家和力學學科就此絕緣了呢。恐怕不能這樣說，由于數學和力學，從學
科上的密切的血緣關系。最著名的數學家，對力學還是作出了傑出的貢獻的。我們僅舉20世紀最著名的三位頂級的數學家：龐加萊、希爾伯特和柯爾莫哥洛夫為
例，來說明這種密切關系。
法國數學家龐加萊（Jules Henri Poincaré,1854－1912），在數學史上他是涉獵數學各個分支，包括純粹數學和應用數學的最後一個人，是以他被譽為數學上的最後一位通才。
龐加萊一生用了比較多的精力從事天體力學的研究，他研究被抽象為n個質點互相在萬有引力作用下的運動問題，一般被稱為n體問題。當n=2時已由牛頓解
決，當n等于大于3時，問題就變得極為困難。龐加萊的三卷名著《天體力學的新方法》（1892、1893、1899）集中收集了他在這一問題上的研究成
果。由于解決這一問題時，書中包含了他的一系列新的數學成果，如極限環理論、微分方程定性理論、由此引發的關于拓撲學的研究與成果、動力系統改變量方程的
方法等等。他的成果，标志着動力系統從定量研究向定性研究的新的曆史時期。可以說，這些成果，既是屬于數學的成果也是屬于力學的成果。
德國數學家希爾伯特（Divid Hilbert,
1862－1943），他在數學中涉獵也比較廣，他從事過代數不變量問題、代數數論、幾何基礎、數學的證明論等領域的研究。他在1900年巴黎世界數學家
大會上關于數學23個問題的報告，幾乎影響了整個20世紀數學研究。然而希爾伯特，雖然主要的興趣大多集中于純粹數學領域。不過，他對力學和實體問題的興
趣，仍然是濃厚的。特别值得提出的是，他對于變分問題和積分方程的研究，導緻數理問題譜理論的建立，這項成果就是後來所謂希爾伯特空間理論。希爾伯特空間
理論的重要性，是把歐氏幾何的原則推廣到函數空間，進而為連續媒體力學問題的求解和定性讨論奠定了理論基礎。希爾伯特在實體方面的另一項重要研究是實體問
題的公理化方法，這一問題在他的23個問題中提為第六個問題，經過接近一個世紀的努力，目前在量子力學、熱力學等領域中，公理化方法已取得很大的成功。而
他自己在廣義相對論的公理化上也做過很重要的工作。
俄羅斯數學家柯爾莫哥洛夫（А.Н.Колмогоров,1903－1987），他對數學和實際問題以及數學教育都有濃厚的興趣。他在三角級數、遺
傳學、機率論、随機過程、湍流、動力系統、資訊論、數理邏輯、計算複雜性、泛函分析、金屬學等等方面都有重要成果。20世紀30年代，他是機率論公理化體
系的奠基者，随後在機率論和随機過程的理論與應用方面均取得了奠基性的成果。
在與力學有關的研究方面，最重要的成果是，1941年得到了湍流中能量的衰減規律與脈動頻率的依從關系的規律，這個規律被稱為柯爾莫哥洛夫律。
在20世紀50年代中期，他集中研究經典力學中太陽系能否永恒發展而不會引起災變的問題？簡單行星系是否隻有三體系統才能穩定地運動？這個問題歸結于
研究近似可積系統的運動體系。龐加萊稱它為哈密頓系統在微擾下的發展問題。它是動力學基本問題，可溯源到牛頓、拉普拉斯的研究。柯爾莫哥洛夫在50年代中
期對具大量初始條件的情形解決了這個問題，開創了哈密頓系統的微擾理論。從他的定理可推出：圍繞木星作圓軌道運動的衛星，在經受沿橢圓軌道的木星運動的幹
擾下，并不能影響木星的橢圓軌道。他的理論還可用到大量力學、實體學問題中，解決了不對稱剛體繞固定點高速旋轉的穩定性、托卡馬克(Токамак)型系
統中磁面的穩定性等問題。他的思想後來被A．И．阿諾爾德與J．莫澤所發展，成為以他們三人命名的KAM理論。此外他還将資訊論應用于動力系統的周遊性
質，得到了若幹重要結果。
從以上我們簡單介紹的三位數學家的經曆可以看出，即使在20世紀，第一流的數學家的研究成果，也是與力學密切相關的，或者是具有很強的力學背景的課題。
3. 力學學科的基礎性
在另一篇文章《幾位大實體學家的力學貢獻》中，我們介紹了七位第一流的近代實體學家的力學貢獻，說明傳統對于真正的科學進步是必不可少的。近代實體學
和科學的革命性的變化，不是憑空産生的，它是在繼承傳統經典力學的基礎上發展起來的。他們是以能夠有深厚的力學基礎和卓越的業績。和他們對力學學科的重要
性的認識有關。也說明這些實體學家從方法論的高度來了解力學的作用。正是基于對力學重要性的深刻認識，推動他們在行動上去牢固打好力學基礎并且做出卓越貢
獻。
我們在本文中又介紹了著名數學家的工作和力學的緊密聯系。至于力學和和各門工程技術的密切關系，則更是不言而喻的。
歸根結蒂，力學與實體和數學都是密不可分的。也可以說力學在各門基礎學科中是更為基礎的學科。一個國家和一個民族，要想在近代科學技術上達到相當的高度，沒有紮實的力學教育、沒有一定高水準的力學研究是不可能的。