【Paper】2020_Anomaly Detection and Identification for Multiagent Systems Subjected to Physical Faults

1 Introduction

2 Preliminaries and Problem Formulation

2.1 System Description

betweenness centrality

2.2 Anomaly Detector Dynamics

2.3 Problem Formulation

3 Secure Scheme Design for MASs

3.1 Independent Anomaly Detection

Theorem 1

離散時間代數黎卡提系統

Algorithm 1: Independent Anomaly Detection

3.2 Betweenness Centrality Based Cooperative Anomaly Detector Design

Theorem 2

3.3 Feasibility Analysis of the Cooperative Detector

3.4 Anomaly Identification

4 Experiments on a Multivehicle Platform

Ref

compensated exogenous

x i ( k + 1 ) = A x i ( k ) + B u i ( k ) + B d d i ( k ) + B f f i ( k ) y i ( k ) = C x i ( k ) + D d d i ( k ) + D f f i ( k ) (1) \begin{aligned} x_i(k+1) &= A x_i(k) + B u_i(k) + &B_d d_i(k) + B_f f_i(k) \\ y_i(k) &= C x_i(k) + &D_d d_i(k) + D_f f_i(k) \end{aligned}\tag{1} xi​(k+1)yi​(k)​=Axi​(k)+Bui​(k)+=Cxi​(k)+​Bd​di​(k)+Bf​fi​(k)Dd​di​(k)+Df​fi​(k)​(1)

其中，

x i ( k ) x_i(k) xi​(k) 表示狀态；

u i ( k ) u_i(k) ui​(k) 表示控制輸入；

y i ( k ) y_i(k) yi​(k) 表示測量輸出向量；

d i d_i di​ 表示未知外界幹擾信号，上界 ∥ d 2 ∥ 2 ≤ Δ d \| d_2 \|_2 \le \Delta_d ∥d2​∥2​≤Δd​；

f i f_i fi​ 表示故障。

cardinality

方程（1）的控制法則為

u i ( k ) = P i [ y i ( k ) , y j ( k ) ] , j ∈ N i (2) u_i(k) = \mathcal{P}_i[y_i(k), y_j(k)], j\in\mathcal{N}_i \tag{2} ui​(k)=Pi​[yi​(k),yj​(k)],j∈Ni​(2)

其中， P i \mathcal{P}_i Pi​ 表示控制目标。即， ∀ i , j ∈ V N , P i = P j \forall i,j\in\mathcal{V}_N, \mathcal{P}_i=\mathcal{P}_j ∀i,j∈VN​,Pi​=Pj​。

vulnerability

控制輸入向量 u i u_i ui​ 依賴于它的鄰居節點的輸出資訊決定。

是以，定義 y i j ( k ) y_i^j(k) yij​(k) 表示 i i i 從 j j j 這裡獲得的輸出資訊。那麼，襲擊模型可以表示為

y i j ( k ) = y i ( k ) + b i j ( k ) (3) y_i^j(k) = y_i(k) + b_i^j(k) \tag{3} yij​(k)=yi​(k)+bij​(k)(3)

這裡，

b i j ( k ) b_i^j(k) bij​(k) 表示由于 false-data-injection 襲擊導緻的 corruption 資訊，并且有上界 ∥ b i j ∥ 2 ≤ Δ b \| b_i^j \|_2 \le \Delta_b ∥bij​∥2​≤Δb​（ Δ b \Delta_b Δb​ 是已知 的上界）。

η i , j \eta_{i,j} ηi,j​ 表示邊 e ( i , j ) e{(i,j)} e(i,j) 的 betweenness centrality。它有如下形式

η i , j = ∑ p = 1 N ∑ q = 1 , q > p N g p → j → q g p → q , p , q ∈ V N , ( i , j ) ∈ E i (4) \eta_{i,j} = \sum_{p=1}^{N} \sum_{q=1, q>p}^{N} \frac{g_{p \rightarrow j \rightarrow q}}{g_{p \rightarrow q}}, \quad p,q\in \mathcal{V}_N, (i,j)\in\mathcal{E}_i \tag{4} ηi,j​=p=1∑N​q=1,q>p∑N​gp→q​gp→j→q​​,p,q∈VN​,(i,j)∈Ei​(4)

g p g_{p} gp​ 表示從智能體 p p p 到 q q q 的最短路徑數量，

g p → j → q g_{p \rightarrow j \rightarrow q} gp→j→q​ 表示這些路徑經過邊 e ( i , j ) e{(i,j)} e(i,j) 的數量。

Ref: A centrality-based security game for multi-hop networks

四個假設：

LTI 系統（1）穩定；

狀态空間（ A , B f , C , D f A, B_f, C, D_f A,Bf​,C,Df​）是最小實作；

協作範圍 r r r 和最大通信距離 R R R 滿足 2 r ≤ R 2r \le R 2r≤R；

異常檢測器不會被襲擊者破壞 (tampered)。

基于觀測器 (observer-based) 的異常檢測器：

x ^ i j ( k + 1 ) = A x ^ i j ( k ) + B u i ( k ) + L ( y i j ( k ) − y ^ i j ( k ) ) y ^ i j ( k ) = C x ^ i j ( k ) r i j ( k ) = V ( y i j ( k ) − y ^ i j ( k ) ) (5) \begin{aligned} \hat{x}_i^j(k+1) &=A \hat{x}_i^j(k) + Bu_i(k) + L(y_i^j(k) - \hat{y}_i^j(k)) \\ \hat{y}^j_i(k) &=C \hat{x}^j_i(k) \\ r^j_i(k) &=V (y_i^j(k) - \hat{y}_i^j(k)) \end{aligned}\tag{5} x^ij​(k+1)y^​ij​(k)rij​(k)​=Ax^ij​(k)+Bui​(k)+L(yij​(k)−y^​ij​(k))=Cx^ij​(k)=V(yij​(k)−y^​ij​(k))​(5)

x ^ i j ( k ) \hat{x}_i^j(k) x^ij​(k) 表示估算狀态 (estimated state)；

y ^ i j ( k ) \hat{y}_i^j(k) y^​ij​(k) 表示估算輸出 (estimated output)；

u i ( k ) u_i(k) ui​(k) 表示由通信網絡産生的控制輸入。

r ^ i j ( k ) \hat{r}_i^j(k) r^ij​(k) 表示殘差信号 (residual signal) 且滿足：

{ ∥ r i j ( k ) ∥ 2 ≥ J t h i , ⇒ 有 異 常 ∥ r i j ( k ) ∥ 2 < J t h i , ⇒ 無 異 常 (6) \left\{\begin{aligned} \| r^j_i(k) \|_2 \ge J^i_{th}, \Rightarrow 有異常 \\ \| r^j_i(k) \|_2 < J^i_{th}, \Rightarrow 無異常 \end{aligned}\right.\tag{6} {∥rij​(k)∥2​≥Jthi​,⇒有異常∥rij​(k)∥2​<Jthi​,⇒無異常​(6)

J t h j J^j_{th} Jthj​ 表示門檻值函數 (threshold function)。

殘差信号關于網絡攻擊，實體故障和誤差的 Z 變換表示為：

r i j ( z ) = V [ G b ( z ) b i j ( z ) + G f ( z ) f i ( z ) + G d ( z ) d i ( z ) ] G b ( z ) = I − C ( z I − A + L C ) − 1 L (7) \begin{aligned} & r^j_i(z) = V [G_b(z) b_i^j(z) + G_f(z) f_i(z) + G_d(z)d_i(z)] \\ & G_b(z) = I - C(zI-A+LC)^{-1}L \end{aligned}\tag{7} ​rij​(z)=V[Gb​(z)bij​(z)+Gf​(z)fi​(z)+Gd​(z)di​(z)]Gb​(z)=I−C(zI−A+LC)−1L​(7)

為了同時檢測和驗者異常，需要解決以下兩個問題：

如何檢測是否存在 b i j ( k ) b_i^j(k) bij​(k) 和 f i ( k ) f_i(k) fi​(k)，在 d i ( k ) d_i(k) di​(k) 的影響下？

如何區分 b i j ( k ) b_i^j(k) bij​(k) 和 f i ( k ) f_i(k) fi​(k) 在檢測到的時候？

問題 1 的優化結果可以通過設計一下優化檢測器來産生，使

influence of disturbances anomaly sensitivity → min ⁡ . (8) \frac{\text{influence of disturbances}}{\text{anomaly sensitivity}} \rightarrow \min. \tag{8} anomaly sensitivityinfluence of disturbances​→min.(8)

幹擾的影響 異常敏感性 → min ⁡ . (8) \frac{\text{幹擾的影響}}{\text{異常敏感性}} \rightarrow \min. \tag{8} 異常敏感性幹擾的影響​→min.(8)

問題 2，由于襲擊信号 b i j ( k ) b_i^j(k) bij​(k) 可以任意被襲擊者設計，甚至于可以完全等價于故障信号 f i ( k ) f_i(k) fi​(k)。舉個例子，讓 b i j ( k ) b_i^j(k) bij​(k) 滿足：

ξ ( k + 1 ) = A ξ ( k ) + B f ζ ( k ) b i ( k ) = C ξ ( k ) + D f ζ ( k ) \xi(k+1) = A \xi(k) + B_f \zeta(k) \\ b_i(k) = C \xi(k) + D_f \zeta(k) ξ(k+1)=Aξ(k)+Bf​ζ(k)bi​(k)=Cξ(k)+Df​ζ(k)

ξ ( k ) \xi(k) ξ(k) 是輔助狀态向量 (auxiliary state vector)；

ζ \zeta ζ 是随機信号；

那麼，（7）中的殘差信号 r i j ( z ) r_i^j(z) rij​(z) 可以表示為：

r i j ( k ) = V [ G ζ ( z ) ζ ( k ) + G f ( z ) f i ( z ) + G d ( z ) d i ( z ) ] r_i^j(k) = V [G_\zeta (z) \zeta(k) + G_f(z)f_i(z) + G_d(z)d_i(z)] rij​(k)=V[Gζ​(z)ζ(k)+Gf​(z)fi​(z)+Gd​(z)di​(z)]

這裡， G ζ ( z ) = G f ( z ) G_\zeta(z) = G_f(z) Gζ​(z)=Gf​(z)。

重新考慮異常檢測器（5）。

   x i ( k + 1 ) = A x i ( k ) + B u i ( k ) + B d d i ( k ) + B f f i ( k ) y i ( k ) = C x i ( k ) + D d d i ( k ) + D f f i ( k ) (1) \begin{aligned} \quad\ \ x_i(k+1) &= A x_i(k) + B u_i(k) + &B_d d_i(k) + B_f f_i(k) \\ y_i(k) &= C x_i(k) + &D_d d_i(k) + D_f f_i(k) \end{aligned}\tag{1}   xi​(k+1)yi​(k)​=Axi​(k)+Bui​(k)+=Cxi​(k)+​Bd​di​(k)+Bf​fi​(k)Dd​di​(k)+Df​fi​(k)​(1)

假設幹擾信号 d i ( k ) ≡ 0 d_i(k)\equiv 0 di​(k)≡0。

實體故障 f i ( k ) ≠ 0 f_i(k) \ne 0 fi​(k)​=0 且襲擊信号 b i j ( k ) = 0 b_i^j(k) = 0 bij​(k)=0，産生 ∥ r i j ( k ) ∥ 2 ≠ 0 , ∀ j ∈ N i \| r^j_i(k) \|_2 \ne 0, \forall j \in \mathcal{N}_i ∥rij​(k)∥2​​=0,∀j∈Ni​；

實體故障 f i ( k ) = 0 f_i(k) = 0 fi​(k)=0 且襲擊信号 b i j ( k ) ≠ 0 b_i^j(k) \ne 0 bij​(k)​=0，産生 ∥ r i j ( k ) ∥ 2 ≠ 0 \| r^j_i(k) \|_2 \ne 0 ∥rij​(k)∥2​​=0 和 ∥ r i j ( k ) ∥ 2 ≠ 0 , ∀ l ∈ N i , l ≠ j , ∥ r i l ( k ) ∥ 2 = 0 \| r^j_i(k) \|_2 \ne 0, \forall l \in \mathcal{N}_i, l \ne j, \| r^l_i(k) \|_2 = 0 ∥rij​(k)∥2​​=0,∀l∈Ni​,l​=j,∥ril​(k)∥2​=0。

是以，組織所有屬于 N i \mathcal{N}_i Ni​ 的智能體一起合作監視 i i i ，實體故障信号

f i ( k ) f_i(k) fi​(k) 和襲擊信号 b i j ( k ) b_i^j(k) bij​(k) 将會表現出完全不同的特點，可以區分它們。

具體來說，将 f i ( k ) f_i(k) fi​(k) 作為待檢測的故障， b i j ( k ) b_i^j(k) bij​(k) 作為待抑制的外部幹擾，通過在 N i \mathcal{N}_i Ni​ 中設計一個協作檢測器，将故障與幹擾、攻擊區分開來，這樣

influence of disturbances and attacks influence of faults → min ⁡ . (9) \frac{\text{influence of disturbances and attacks}}{\text{influence of faults}} \rightarrow \min . \tag{9} influence of faultsinfluence of disturbances and attacks​→min.(9)

幹擾和襲擊的影響 故障的影響 → min ⁡ . (9) \frac{\text{幹擾和襲擊的影響}}{\text{故障的影響}} \rightarrow \min . \tag{9} 故障的影響幹擾和襲擊的影響​→min.(9)

獨立異常檢測器設計用來解決 Problem 1 。

min ⁡ L , V J 1 ( L , V ) = min ⁡ L , V ∥ V G d ( z ) ∥ ∞ ∥ V G f ( z ) ∥ ∞ (10a) \min_{L,V} J_1(L,V) = \min_{L,V} \frac{\|VG_d(z)\|_\infty}{\|VG_f(z)\|_\infty} \tag{10a} L,Vmin​J1​(L,V)=L,Vmin​∥VGf​(z)∥∞​∥VGd​(z)∥∞​​(10a)

min ⁡ L , V J 2 ( L , V ) = min ⁡ L , V ∥ V G d ( z ) ∥ ∞ ∥ V G b ( z ) ∥ ∞ (10b) \min_{L,V} J_2(L,V) = \min_{L,V} \frac{\|VG_d(z)\|_\infty}{\|VG_b(z)\|_\infty} \tag{10b} L,Vmin​J2​(L,V)=L,Vmin​∥VGb​(z)∥∞​∥VGd​(z)∥∞​​(10b)

給出檢測器（5）并假設（1-4）均滿足，那麼

L o p t = − L o T , V o p t = V o (11) L_{opt} = -L_o^T,\quad V_{opt} = V_o \tag{11} Lopt​=−LoT​,Vopt​=Vo​(11)

V o V_o Vo​ 是列滿秩矩陣 H H H 的左逆， H H H 滿足 H H T = C X C T + D d D d T HH^T = CXC^T + D_dD_d^T HHT=CXCT+Dd​DdT​。

并且 ( X , L o X,L_o X,Lo​) 是下述離散時間代數黎卡提系統的穩定解

[ A X A T − X + B d B d T A X C T + B d D d T C X A T + D d B d T C X C T + D d D d T ] [ I L 0 ] = 0 (12) \left[\begin{matrix} AXA^T - X + B_dB_d^T & AXC^T + B_dD_d^T \\ CXA^T + D_dB_d^T & CXC^T + D_dD_d^T \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} I \\ L_0 \end{matrix}\right] = 0 \tag{12} [AXAT−X+Bd​BdT​CXAT+Dd​BdT​​AXCT+Bd​DdT​CXCT+Dd​DdT​​][IL0​​]=0(12)

離散時間代數黎卡提系統 (discrete-time algebraic Riccati system)

在（7）中的殘差信号 r i j ( k ) r_i^j(k) rij​(k)，可以通過使用 L = L o p t L=L_{opt} L=Lopt​、 V = V o p t V=V_{opt} V=Vopt​ 來産生。

然後是一個合适的門檻值函數 J t h j J^j_{th} Jthj​ 來決定是否異常。

令 J t h j = sup ⁡ b i j = 0 , f i = 0 ∥ r i j ( z ) ∥ 2 J^j_{th}=\sup_{b_i^j=0, f_i=0} \|r_i^j(z)\|_2 Jthj​=supbij​=0,fi​=0​∥rij​(z)∥2​

J t h j = sup ⁡ d i ∥ V G d ( z ) d i ( z ) ∥ 2 = ∥ V G d ( z ) ∥ ∞ Δ d J^j_{th} = \sup_{d_i}\| VG_d(z)d_i(z)\|_2 = \|VG_d(z)\|_\infty \Delta_d Jthj​=di​sup​∥VGd​(z)di​(z)∥2​=∥VGd​(z)∥∞​Δd​

Input: 智能體 i i i 的輸入 u i ( k ) u_i(k) ui​(k) 和輸出 y i j ( k ) y_i^j(k) yij​(k)；

Output: 智能體 j j j 對 i i i 獨立檢測器結果。

基于定理1計算 L o p t L_{opt} Lopt​、 V o p t V_{opt} Vopt​；

通過通信網絡得到 u i ( k ) u_i(k) ui​(k)、 y i j ( k ) y_i^j(k) yij​(k)；

通過（7）獲得殘差信号 r i j ( k ) r_i^j(k) rij​(k)，其中 L = L o p t L=L_{opt} L=Lopt​、 V = V o p t V=V_{opt} V=Vopt​；

通過（6）評價殘差信号 r i j ( k ) r_i^j(k) rij​(k)（是否異常？）；

k = k + 1 k = k+1 k=k+1 并傳回步驟2。

自我了解：

最優參數 L o p t L_{opt} Lopt​、 V o p t V_{opt} Vopt​ 為系統矩陣的最優，是以全局僅存在一個最優。這一點也可以通過觀察算法執行後傳回了第2步，而沒有再次重新計算 L o p t L_{opt} Lopt​、 V o p t V_{opt} Vopt​ 再次佐證（如果最優不是全局最優，那麼每檢測一次就要重新計算最優）。

協作異常檢測器用來檢測所有屬于 N i N_i Ni​ 的智能體，以解決 Problem2。

x ^ i j ( k + 1 ) = A x ^ i j ( k ) + B u i ( k ) + L [ y i j ( k ) + ∑ l = i 1 i c i w l ( y i l ( k ) − y i j ( k ) ) − y ^ i j ( k ) ] y ^ i j ( k ) = C x ^ i j ( k ) r ˉ i j ( k ) = V [ y i j ( k ) + ∑ l = i 1 i c i w l ( y i l ( k ) − y i j ( k ) ) − y ^ i j ( k ) ] (16) \begin{aligned} \hat{x}_i^j(k+1) =& A \hat{x}_i^j(k) + Bu_i(k) \\ &+L[y_i^j(k) + \sum_{l=i_1}^{i_{c_i}} \red{w_l}(y_i^l(k)-y_i^j(k)) - \hat{y}_i^j(k)] \\ \hat{y}_i^j(k) =& C\hat{x}_i^j(k) \\ \bar{r}_i^j(k) =& V[y_i^j(k) + \sum_{l=i_1}^{i_{c_i}} \red{w_l} (y_i^{l}(k) - y_i^j(k)) - \hat{y}_i^j(k)] \end{aligned}\tag{16} x^ij​(k+1)=y^​ij​(k)=rˉij​(k)=​Ax^ij​(k)+Bui​(k)+L[yij​(k)+l=i1​∑ici​​​wl​(yil​(k)−yij​(k))−y^​ij​(k)]Cx^ij​(k)V[yij​(k)+l=i1​∑ici​​​wl​(yil​(k)−yij​(k))−y^​ij​(k)]​(16)

令 w l T = [ w i 1 w i 2 ⋯ w i c i ] w_l^T = [w_{i_1} \quad w_{i_2} \quad \cdots w_{i_{c_i}}] wlT​=[wi1​​wi2​​⋯wici​​​]，

b N i ( k ) = c o l ( b i i 1 ( k ) , b i i 2 ( k ) , ⋯   , b i i c i ( k ) ) b_{N_i}(k) = col(b_i^{i_1}(k), b_i^{i_2}(k), \cdots, b_i^{i_{c_i}}(k)) bNi​​(k)=col(bii1​​(k),bii2​​(k),⋯,biici​​​(k))。

（16）變成如下形式：

x ^ i j ( k + 1 ) = A x ^ i j ( k ) + B u i ( k ) + L [ y i ( k ) − y ^ i j ( k ) + ( w T Γ ⊗ I n b ) b N i ( k ) ] y ^ i j ( k ) = C x ^ i j ( k ) r ˉ i j ( k ) = V [ y i ( k ) − y ^ i j ( k ) + ( w T Γ ⊗ I n b ) b N i ( k ) ] (17) \begin{aligned} \hat{x}_i^j(k+1) =& A \hat{x}_i^j(k) + Bu_i(k) \\ &+L[y_i(k) - \hat{y}_i^j(k) + (w^T \Gamma \otimes I_{n_b}) b_{\mathcal{N}_i}(k)] \\ \hat{y}_i^j(k) =& C\hat{x}_i^j(k) \\ \bar{r}_i^j(k) =& V[y_i(k) - \hat{y}_i^j(k) + (w^T \Gamma \otimes I_{n_b}) b_{\mathcal{N}_i}(k)] \end{aligned}\tag{17} x^ij​(k+1)=y^​ij​(k)=rˉij​(k)=​Ax^ij​(k)+Bui​(k)+L[yi​(k)−y^​ij​(k)+(wTΓ⊗Inb​​)bNi​​(k)]Cx^ij​(k)V[yi​(k)−y^​ij​(k)+(wTΓ⊗Inb​​)bNi​​(k)]​(17)

這裡， Γ = d i a g { γ i 1 , γ i 2 , ⋯   , γ i c i } \Gamma = diag\{\gamma_{i_1}, \gamma_{i_2}, \cdots, \gamma_{i_{c_i}}\} Γ=diag{γi1​​,γi2​​,⋯,γici​​​} 是二進制對角矩陣。

r l = { 1 , edge  ( i , l )  is under attack 0 , no attack exists (18) r_l = \left\{\begin{aligned} &1,\quad \text{edge}\ (i, l)\ \text{is under attack} \\ &0, \quad \text{no attack exists} \end{aligned}\right.\tag{18} rl​={​1,edge (i,l) is under attack0,no attack exists​(18)

殘差信号 r N i ( z ) r_{\mathcal{N}_i}(z) rNi​​(z) 的 Z 變換如下

r N i ( z ) = V N i [ G ˉ b ( z ) b N i ( z ) + G ˉ f ( z ) f i ( z ) + G ˉ d ( z ) d i ( z ) ] G ˉ d ( z ) = 1 c i ⊗ G d ( z ) , G ˉ f ( z ) = 1 c i ⊗ G f ( z ) G ˉ b ( z ) = ( W Γ ) ⊗ G b ( z ) (20) \begin{aligned} r_{\mathcal{N}_i}(z) &= V_{\mathcal{N}_i} [\bar{G}_b(z) b_{\mathcal{N}_i}(z) + \bar{G}_f(z) f_i(z) + \bar{G}_d(z) d_i(z)] \\ \bar{G}_d(z) &= 1_{c_i} \otimes G_d(z), \bar{G}_f(z) = 1_{c_i} \otimes G_f(z) \\ \bar{G}_b(z) &= (W\Gamma) \otimes G_b(z) \end{aligned}\tag{20} rNi​​(z)Gˉd​(z)Gˉb​(z)​=VNi​​[Gˉb​(z)bNi​​(z)+Gˉf​(z)fi​(z)+Gˉd​(z)di​(z)]=1ci​​⊗Gd​(z),Gˉf​(z)=1ci​​⊗Gf​(z)=(WΓ)⊗Gb​(z)​(20)

優化問題（9）表達如下

min ⁡ L , V J 3 ( L , V ) = min ⁡ L , V ∥ V N i G ˉ d ( z ) ∥ ∞ ∥ V N i G ˉ f ( z ) ∥ ∞ (21a) \min_{L,V} J_3(L,V) = \min_{L,V} \frac{\|V_{\mathcal{N}_i} \bar{G}_d(z)\|_\infty}{\|V_{\mathcal{N}_i} \bar{G}_f(z)\|_\infty} \tag{21a} L,Vmin​J3​(L,V)=L,Vmin​∥VNi​​Gˉf​(z)∥∞​∥VNi​​Gˉd​(z)∥∞​​(21a)

min ⁡ L , V J 4 ( L , V , W ) = min ⁡ L , V , W ∥ V N i G ˉ b ( z ) ∥ ∞ ∥ V N i G ˉ f ( z ) ∥ ∞ s . t .   W = 1 c i ⊗ w T , w > 0 , w T 1 c i = 1. (21b) \min_{L,V} J_4(L,V,W) = \min_{L,V,W} \frac{\|V_{\mathcal{N}_i} \bar{G}_b(z)\|_\infty}{\|V_{\mathcal{N}_i} \bar{G}_f(z)\|_\infty} \\ s.t.\ W=1_{c_i} \otimes w^T, w>0, w^T 1_{c_i} = 1. \tag{21b} L,Vmin​J4​(L,V,W)=L,V,Wmin​∥VNi​​Gˉf​(z)∥∞​∥VNi​​Gˉb​(z)∥∞​​s.t. W=1ci​​⊗wT,w>0,wT1ci​​=1.(21b)

下一步就是找出最優參數 L = L o p t L=L_{opt} L=Lopt​， V = V o p t V=V_{opt} V=Vopt​， W = W o p t W=W_{opt} W=Wopt​ 來同時解決（21a）和（21b）。

但是利用定理1解出來的最優參數，（21a）和（21b）并不相同。是以需要一個合适的妥協。

令 σ ˉ ( ⋅ ) \bar{\sigma}(\cdot) σˉ(⋅) 表示最大奇異值， ρ ( ⋅ ) \rho(\cdot) ρ(⋅) 表示譜半徑 (spectral radius)。

由于 ∥ V N i G ˉ b ( z ) ∥ ∞ = sup ⁡ θ ∈ [ 0 , π ] ρ [ ( W Γ ⊗ ( V G b ( e j θ ) ) T W Γ ⊗ ( V G b ( e j θ ) ) ) ] = sup ⁡ θ ∈ [ 0 , π ] ρ ( Γ T W T W Γ ) ρ [ ( V G b ( e j θ ) ) T ( V G b ( e j θ ) ) ] = σ ˉ ( W Γ ) sup ⁡ θ ∈ [ 0 , π ] σ ˉ [ V G b ( e j θ ) ] \begin{aligned} & {\|V_{\mathcal{N}_i} \bar{G}_b(z)\|_\infty} \\ &= \sup_{\theta\in[0,\pi]} \sqrt{\rho [(W\Gamma \otimes (VG_b(e^{j\theta}))^T W\Gamma \otimes (VG_b(e^{j\theta})))]} \\ &= \sup_{\theta\in[0,\pi]} \sqrt{\rho (\Gamma^T W^T W\Gamma)} \sqrt{\rho[(VG_b(e^{j\theta}))^T (VG_b(e^{j\theta}))]} \\ &= \bar{\sigma}(W\Gamma) \sup_{\theta\in[0,\pi]} \bar{\sigma}[VG_b(e^{j\theta})] \end{aligned} ​∥VNi​​Gˉb​(z)∥∞​=θ∈[0,π]sup​ρ[(WΓ⊗(VGb​(ejθ))TWΓ⊗(VGb​(ejθ)))] ​=θ∈[0,π]sup​ρ(ΓTWTWΓ) ​ρ[(VGb​(ejθ))T(VGb​(ejθ))] ​=σˉ(WΓ)θ∈[0,π]sup​σˉ[VGb​(ejθ)]​

那麼

min ⁡ J 4 = min ⁡ L , V , W \min J_4 = \min_{L,V,W} \frac{}{} minJ4​=L,V,Wmin​​

給出檢測器（19）并假設條件 1-4 都滿足，那麼

L = L o p t L=L_{opt} L=Lopt​， V = V o p t V=V_{opt} V=Vopt​，解決（21a），這裡 L o p t L_{opt} Lopt​ 和 V o p t V_{opt} Vopt​ 由（11）産生；

W = W o p t W = W_{opt} W=Wopt​ 解決（24），且 W o p t W_{opt} Wopt​ 滿足

W o p t = 1 c i ⊗ w o p t T w o p t T = [ w o p t , i 1 , w o p t , i 2 , ⋯   , w o p t , i c i ] w o p t , l = ∏ p = i 1 i c i γ ^ p 2 γ ^ l 2 ∑ q = i 1 i c i ∏ p = i 1 , p ≠ q i c i γ ^ p 2 , ∀ l = i 1 , ⋯   , i c i (25) W_{opt} = 1_{c_i} \otimes w_{opt}^T \\ w_{opt}^T = [w_{opt,i_1}, w_{opt,i_2}, \cdots, w_{opt,i_{c_i}}] \\ w_{opt,l} = \frac{\prod_{p=i_1}^{i_{c_i}} \hat{\gamma}_p^2}{\hat{\gamma}_l^2 \sum_{q=i_1}^{i_{c_i}} \prod_{p=i_1, p\ne q}^{i_{c_i}} \hat{\gamma}_p^2}, \quad \forall l=i_1,\cdots,i_{c_i} \tag{25} Wopt​=1ci​​⊗woptT​woptT​=[wopt,i1​​,wopt,i2​​,⋯,wopt,ici​​​]wopt,l​=γ^​l2​∑q=i1​ici​​​∏p=i1​,p​=qici​​​γ^​p2​∏p=i1​ici​​​γ^​p2​​,∀l=i1​,⋯,ici​​(25)

拉格朗日乘數 (Lagrange multipliers)

儲存仿真相關參數

傳遞函數陣

準備計算H無窮範數

系統傳遞函數 MIMO

[21] J. R. Riehl and M. Cao, “A centrality-based security game for multi-hop networks,” IEEE Trans. Control Netw. Syst., vol. 5, no. 4, pp. 1507–1516, Dec. 2018.

[22] S. Shiliang, W. Ting, Y. Chen, L. Xiaofan, and Z. Hai, “Distributed fault detection and isolation for flocking in a multi-robot system with imperfect communication,” Int. J. Adv. Robot. Syst., vol. 11, no. 6, pp. 86–93, 2014.

[23] S. Ding, T. Jeinsch, P. Frank, and E. Ding, “A unified approach to the optimization of fault detection systems,” Int. J. Adaptive Control Signal Process., vol. 14, no. 7, pp. 725–745, 2000.

[24] P. Zhang, S. X. Ding, G. Z. Wang, and D. H. Zhou, “Fault detection of linear discrete-time periodic systems,” IEEE Trans. Autom. Control, vol. 50, no. 2, pp. 239–244, Feb. 2005.

[25] Y. Li, H. Fang, J. Chen, and C. Yu, “Distributed cooperative fault detection for multiagent systems: A mixed h ∞/h 2optimization approach,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 65, no. 8, pp. 6468–6477, Aug. 2018.

[26] D. B. Rawat and C. Bajracharya, “Detection of false data injection attacks in smart grid communication systems,” IEEE Signal Process. Lett., vol. 22, no. 10, pp. 1652–1656, Oct. 2015.