【控制】頻域分析及奈氏判據

頻域分析及奈氏判據

• • 1. 頻域分析
  • 2. 幅相頻率特性（Nyquist圖）
  • 3. 對數頻率特性（Bode圖）
  • 4. 頻域穩定判據
  • 5. 奈氏判據例題
  • 6. 再來奈氏判據
  • • 0型系統
    • I 型系統或 II 型系統
    • 簡化奈奎斯特穩定判據
    • • 1. ω \omega ω 由 0 0 0 變化到 + ∞ +\infty +∞ 時的開環幅相頻率特性 G K ( j ω ) G_K(j\omega) GK​(jω)
      • 2. 采用穿越的概念簡化複雜曲線包圍次數的計算
      • 3.半次穿越
      • 4. 型别 ν ≥ 1 \nu \ge1 ν≥1 系統開環頻率特性 G K ( j ω ) G_K(j\omega) GK​(jω) 曲線的處理

幅頻特性：幅值之比

相頻特性：相角之差

From: 自動控制原理（西北工業大學 盧京潮）-P33

From: 自動控制原理（西北工業大學 盧京潮）-P40

From: 自動控制原理（西北工業大學 盧京潮）-P42

例題：試根據奈奎斯特判據，判斷下表所示曲線對應閉環系統的穩定性，已知曲線（1）～（10）對應的開環傳遞函數如下：

題号	傳函
（1）	G ( s ) = K ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) ( T 3 s + 1 ) G(s) = \frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)(T_3 s+1)} G(s)=(T1​s+1)(T2​s+1)(T3​s+1)K​
（2）	G ( s ) = K s ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) G(s) = \frac{K}{s(T_1 s+1)(T_2 s+1)} G(s)=s(T1​s+1)(T2​s+1)K​
（3）	G ( s ) = K s 2 ( T s + 1 ) G(s) = \frac{K}{s^2 (T_ s+1)} G(s)=s2(Ts​+1)K​
（4）	G ( s ) = K ( T 1 s + 1 ) s 2 ( T 2 s + 1 ) , ( T 1 > T 2 ) G(s) = \frac{K (T_1s+1)}{s^2 (T_2 s+1)},\quad(T_1>T_2) G(s)=s2(T2​s+1)K(T1​s+1)​,(T1​>T2​)
（5）	G ( s ) = K s 3 G(s) = \frac{K}{s^3} G(s)=s3K​
（6）	G ( s ) = K ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) s 3 G(s) = \frac{K(T_1s+1)(T_2s+1)}{s^3} G(s)=s3K(T1​s+1)(T2​s+1)​
（7）	G ( s ) = K ( T 5 s + 1 ) ( T 6 s + 1 ) s ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) ( T 3 s + 1 ) ( T 4 s + 1 ) G(s) = \frac{K(T_5s+1)(T_6s+1)}{s(T_1s+1)(T_2s+1)(T_3s+1)(T_4s+1)} G(s)=s(T1​s+1)(T2​s+1)(T3​s+1)(T4​s+1)K(T5​s+1)(T6​s+1)​
（8）	G ( s ) = K T 1 s − 1 ( K > 1 ) G(s) = \frac{K}{T_1s-1}\quad(K>1) G(s)=T1​s−1K​(K>1)
（9）	G ( s ) = K T 1 s − 1 ( K < 1 ) G(s) = \frac{K}{T_1s-1}\quad(K<1) G(s)=T1​s−1K​(K<1)
（10）	G ( s ) = K s ( T s − 1 ) G(s) = \frac{K}{s(Ts-1)} G(s)=s(Ts−1)K​

答案如下：

		P P P	N N N	Z = P − 2 N Z=P-2N Z=P−2N	閉環穩定性
		-1	2	不穩定
		穩定

From: 真開心！奈奎斯特穩定判據，我終于掌握了！

系統穩定的充要條件是系統閉環特征根都具有複實部，即都在 s s s 複平面的左邊平面 (LHP)。

在時域分析中判斷系統的穩定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法是使用勞斯-胡爾維茨穩定判據（代數判據）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統，非常困難且費時，也不便于研究系統參數、結構對穩定性的影響。

特别是，如果知道了開環特性，要研究閉環系統的穩定性，還需要求出閉環特征方程，無法直接利用開環特性判斷閉環系統的穩定性。而對于一個自動控制系統，其開環數學模型易于擷取，同時它包含了閉環系統所有環節的動态結構和參數。

除了勞斯判據外，分析系統穩定性的另一個常用判據為奈奎斯特（Nyquist）判據。Nyquist穩定判據是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要内容，簡稱奈氏判據。

奈氏判據的主要特點有：

1. 根據系統的開環頻率特性，來研究閉環系統穩定性，而不必求閉環特征根；
2. 能夠确定系統的穩定程度（想對穩定性）；
3. 可用于分析系統的瞬态性能，利于對系統的分析于設計；
4. 基于系統的開環奈氏圖，是一種圖解法。

Nyquist判據的主要理論依據是複變函數理論中的Cauch（柯西）幅角定理。

系統的開環右極點數為 P P P，在 G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) G(s)H(s) 平面上，當 ω \omega ω 從 − ∞ -\infty −∞ 變化到 + ∞ +\infty +∞ 時，系統開環頻率特性曲線 G ( j ω ) H ( j ω ) G(j\omega)H(j\omega) G(jω)H(jω) 及其鏡像，順時針包圍 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點的次數為 N N N 圈 ( N > 0 ) (N>0) (N>0)，若逆時針包圍則 N < 0 N<0 N<0，封閉曲線繞 ( − 1 , j 0 (-1,j0 (−1,j0 點旋轉 36 0 ∘ 360^\circ 360∘ 即包圍一次，則系統的閉環右極點的個數為 Z Z Z，且滿足： Z = N + P Z=N+P Z=N+P

當 Z = 0 Z=0 Z=0 時，系統閉環穩定；

當 Z > 0 Z>0 Z>0 時，系統閉環不穩定。

注：系統開環穩定，閉環不一定穩定；開環不穩定，閉環不一定不穩定。

I 型系統：從正虛軸方向無限遠處開始，順時針繞向負虛軸，以原點為圓心，半徑為無限大的右半圓弧。需在 G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) G(s)H(s) 平面上補畫右半圓弧将奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。

II 型系統：從負實軸方向無限遠處開始，順時針繞一周終止于負實軸方向，以原點為圓心，半徑為無限大的圓弧。需在 G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) G(s)H(s) 平面上補畫整圓将奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。

當系統的開環奈氏圖作如上處理後，穩定判據與 0 型系統完全相同。

若系統為最小相位系統，即開環系統穩定時 ( P = 0 ) (P=0) (P=0)，系統穩定的充要條件為：當 ω \omega ω 從 − ∞ -\infty −∞ 變化到 + ∞ +\infty +∞ 時，在 G H GH GH 平面上的系統開環頻率特性曲線及其鏡像，不包圍 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點，即 N = 0 N=0 N=0，則 Z = N + P = 0 Z=N+P=0 Z=N+P=0，閉環系統穩定；否則不穩定。

當系統開環頻率特性曲線及其鏡像通過 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點時，表明在 s s s 平面虛軸上有閉環極點，系統處于臨界穩定狀态，屬于不穩定。

因為 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+∞) 與 ( 0 , − ∞ ) (0, -\infty) (0,−∞) 的曲線完全關于實軸對稱，則 0 0 0 變到 + ∞ +\infty +∞ 時的開環幅相頻率特性 G K ( j ω ) G_K(j\omega) GK​(jω) 順時針包圍 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點的圈數 N ′ N' N′ 滿足： N ′ = N / 2 N' = N/2 N′=N/2

已知系統開環右極點個數為 P P P，則系統閉環右極點個數為 Z Z Z（不包括虛軸上的極點）： Z = P + 2 N ′ Z = P+2N' Z=P+2N′

ω \omega ω 由 0 0 0 變化到 + ∞ +\infty +∞ 時開環頻率特性曲線要形成對 ( − 1 , j 0 ) (-1, j0) (−1,j0) 點的一次包圍，勢必穿越 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) (−∞,−1) 區間一次。

開環頻率特性曲線逆時針穿越 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) (−∞,−1) 區間時，随 ω \omega ω 增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次 正穿越 N + ′ N'_+ N+′​。反之，

開環頻率特性曲線順時針穿越 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) (−∞,−1) 區間時，随 ω \omega ω 增加，頻率特性的相角值減小，稱為一次 負穿越 N − ′ N'_- N−′​。

頻率特性曲線包圍 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點的情況，就可以利用頻率特性曲線在負實軸 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) (−∞,−1) 區間的正、負穿越來表達。

ω \omega ω 由 0 0 0 變到 + ∞ +\infty +∞ 時的開環幅相頻率特性 G K ( j ω ) G_K(j\omega) GK​(jω) 對 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點的總包圍次數為 N ′ = ( N − ′ − N + ′ ) N'=(N'_- - N'_+) N′=(N−′​−N+′​)

利用正負穿越情況的奈奎斯特穩定判據叙述為： Z = P + 2 ( N − ′ − N + ′ ) Z = P+2(N'_- - N'_+) Z=P+2(N−′​−N+′​)

注：奈氏曲線在 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點以右負實軸上相位有變化不算穿越。

奈氏曲線始于或止于 ( − 1 , j 0 ) (-1,j0) (−1,j0) 點以左負實軸，稱為一個半次穿越。

例題：某系統開環傳遞函數如下，試判斷閉環系統的穩定性。 G ( s ) H ( s ) = − 3 s + 1 G(s)H(s) = \frac{-3}{s+1} G(s)H(s)=s+1−3​

答：由于曲線始于 ( − 3 , j 0 ) (-3,j0) (−3,j0) 點，故順時針包圍 ( − 1 , j 0 ) (-1, j0) (−1,j0) 點的次數為 1/2， N − ′ = 1 2 N'_- =\frac{1}{2} N−′​=21​。由于開環右極點數為 P = 0 P=0 P=0，故 Z = P + 2 ( N − ′ − N + ′ ) = 0 + 2 ( 1 2 − 0 ) = 1 Z = P+2(N'_- - N'_+) = 0+2(\frac{1}{2}-0) = 1 Z=P+2(N−′​−N+′​)=0+2(21​−0)=1

閉環系統有一個右極點，閉環不穩定。

例題：經實驗測得某最小相位系統的開環奈氏圖如下所示，判斷閉環穩定性。

答：由于題意已告知時最小相位系統，而最小相位系統是穩定的，故可知 P = 0 P=0 P=0，且型别為 0 0 0，故直接利用開環頻率特性 G K ( j ω ) G_K(j\omega) GK​(jω) 的軌迹曲線判斷系統穩定性。由圖可知，奈氏曲線由 ω = 0 \omega=0 ω=0 到 ω = + ∞ \omega=+\infty ω=+∞ 先順時針穿越區間 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) (−∞,−1) 一次，故 N − ′ = 1 N'_- = 1 N−′​=1，後逆時針穿越一次，故 B + ′ = 1 B'_+ = 1 B+′​=1。是以，利用公式有 Z = P + 2 ( N − ′ − N + ′ ) = 0 + 2 ( 1 − 1 ) = 0 Z = P + 2(N'_- - N'_+) = 0 + 2(1-1) = 0 Z=P+2(N−′​−N+′​)=0+2(1−1)=0

故由奈氏穩定判據知該閉環系統是穩定的。

在 ω = 0 \omega=0 ω=0 附近，幅相特性以 ∞ \infty ∞ 為半徑，逆時針補畫 θ = ν ⋅ 9 0 ∘ \theta=\nu\cdot 90^\circ θ=ν⋅90∘ 的圓弧，添加圓弧後相當于得到新的開環頻率特性 G K ( j ω ) G_K(j\omega) GK​(jω) 的曲線。

此圓弧與實軸或虛軸的交點相當于新的起點，對應 ω = 0 \omega=0 ω=0，原有曲線的起點對應于 ω = 0 + \omega=0^+ ω=0+。注意所指曲線仍為 ω \omega ω 由 0 0 0 變到 + ∞ +\infty +∞ 時的開環幅相頻率特性 G K ( j ω ) G_K(j\omega) GK​(jω)。