題解 P4140 【奇數國 】

題目連結

首先，按照題意，把前$60$個素數打出來$[2$ $-$ $281]$。

因為隻有$60$個，再加上本寶寶極其懶得寫線性篩于是每一個都$O(\sqrt{n})$暴力篩就好了。

代碼如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int main()
{
//    freopen("1.txt","w",stdout);
    printf("0");//格式問題，以自己愛好稍作更改。
    for(int i=2;i<=281;i++)
    {
        for(int j=2;j*j<=i;j++)
          if(i%j==0) goto rp;
        printf(",%d",i),n++;
        rp:;
    }
    return 0;
}      

如果我們用$prime[i]$表示第i個素數。

篩出來是這樣的：

int prime[61]={
    0,2,3,5,7,11,13,17,19,
    23,29,31,37,41,43,47,
    53,59,61,67,71,73,79,
    83,89,97,101,103,107,
    109,113,127,131,137,
    139,149,151,157,163,
    167,173,179,181,191,
    193,197,199,211,223,
    227,229,233,239,241,
    251,257,263,269,271,
    277,281
};      

---

之後，我們看 清點存款 操作，

問$[1,product]$裡，有多少個$num$滿足：

$$num*x+product*y=1$$

這，與我們 素數的性質 好像啊。

這就是 $num*x≡1$ $ $ $ $ $(mod$ $ $ $product)$

也就是 $gcd(num$ $,$ $product)$ $=$ $1$

嗯，好，問題轉化成了：

求 $[1,product]$ 裡，有多少個 $num$ 與 $product$ 互質。

也就是 $\varphi(product)$ 等于多少。

之後，根據歐拉函數的通式。

$$\varphi(n)=n*\prod_{p_i|n}(1-\frac{1}{p_i})=n*\prod_{p_i|n}\frac{p_i-1}{p_i}$$

看資料範圍，又讓 $mod$ $ $ $p$

是以，

再線性推一下逆元,

求解即可。

$ps:$ 如果臉黑被卡常數了的話，可以把 $[1-281]$ 的逆元打表。

大概代碼是這樣的：

pni[1]=1;
    for(int i=2;i<=281;i++)
    pni[i]=(long long)(mod-mod/i)*pni[mod%i]%mod;      

下面，就是區間維護。

題目中說了，~~（在出題人眼裡）~~他們的加法相當于我們的乘法。

我們要維護區間 $[a,b]$ 的 “和” 記為 $product$

更改的是某個點（銀行）$b_{i}$ 的存款

顯然的線段樹儲存每段區間出現的質因子。

看題面，由于最多出現$60$個質數，我們用一個 $long$ $ $ $long$ 的每一位表示一個質數，然後用或運算$xor$即可實作 “加和” 相乘操作。

然後就……

好好的寫代碼吧。

不過……

模數為啥不是 $19260817$ 或者是 $998244353$ 或 $64123$ 呢……

$ps:$ 一定要看看線段樹每次的區間邊上判定 $!$ $!$ $!$

本寶寶調了兩天 $……$

委屈巴巴。。。

上代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 19961993

const int prime[61]={
    0,2,3,5,7,11,13,17,19,
    23,29,31,37,41,43,47,
    53,59,61,67,71,73,79,
    83,89,97,101,103,107,
    109,113,127,131,137,
    139,149,151,157,163,
    167,173,179,181,191,
    193,197,199,211,223,
    227,229,233,239,241,
    251,257,263,269,271,
    277,281
};//記錄質數。

int pni[300];

    //線段樹。
    struct data{
        long long sum;//區間（和）乘積
        long long p;//包含哪些素數。第i個二進制位如果是1，則有prime[i]這個素數,從1開始。
    }point[400010];
    data ans;//記錄查詢答案。
    
    void built(int l,int r,int o)
    {
        if(l==r) {point[o].sum=3;point[o].p=2;return ;}
        int mid=(l+r)/2;
        built(l,mid,o*2);
        built(mid+1,r,o*2+1);
        
    //    printf("%d %d %d %d\n",l,r,o,mid);
        
        point[o].sum=point[o*2].sum*point[o*2+1].sum%mod;
        point[o].p=2;
    //     printf("%d %d\n",point[o].sum,point[o].p);
    }
    
    void chang(int l,int r,int o,const int t,const int k)//第t個點改為k
    {
//        printf("%d %d %d %d %d\n",&l,&r,&o,&t,&k);
        if(l==r){
            point[o].sum=k;
            long long p=0;
            for(int i=1;i<=60;i++){
                if((k%prime[i])==0) p|=1LL<<(i-1);
                point[o].p=p;
            }
            return ;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(t<=mid) chang(l,mid,o*2,t,k);
        else chang(mid+1,r,o*2+1,t,k);
        point[o].sum=point[o*2].sum*point[o*2+1].sum%mod;
        point[o].p=point[o*2].p|point[o*2+1].p;
    }
    
    void quest(int l,int r,int o,int l1,int r1)//查詢L到R。
    {
        if(l1<=l&&r<=r1){
            ans.sum=ans.sum*point[o].sum%mod;
            ans.p|=point[o].p;
            return ;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(l1<=mid) quest(l,mid,o*2,l1,r1);
        if(mid<r1)  quest(mid+1,r,o*2+1,l1,r1);
    }
//    void debug()
//    {
//        for(int i=1;i<=100;i++)
//        printf("%d %d %d\n",i,point[i].p,point[i].sum);
//    }

int main()
{

//    freopen("1.in","r",stdin);
//    freopen("1.out","w",stdout);
    built(1,100000,1);

    pni[1]=1;
    for(int i=2;i<=281;i++)
    pni[i]=(long long)(mod-mod/i)*pni[mod%i]%mod;
    //線性篩逆元

    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        int x;scanf("%d",&x);
    
        if(x)
        {
        int t,k;
        scanf("%d%d",&t,&k);
        chang(1,100000,1,t,k);
        }
    
        else
        {
            int l1,r1;
            ans.sum=1;
            ans.p=0;
            scanf("%d%d",&l1,&r1);
            quest(1,100000,1,l1,r1);
        
            long long f=ans.sum;
            for(int i=1;i<=60;i++)//計算φ
            if(ans.p&(1LL<<(i-1))) f=f*(prime[i]-1)%mod,f=f*pni[prime[i]]%mod;
            printf("%d\n",(int)f);
        
        }
//        debug();
    }
    return 0;//程式拜拜
}