黎曼積分求解可微曲線的弧線長度
假設曲線y=f(x)在區間[a,b]内光滑、可微且連續。那麼可以根據微積分求解y=f(x)在a<= x <=b區間内形成的弧線長度。
如圖：
從微分的思想入手建立數學函數式，假設s為曲線上(x,f(x))到(x+dx,f(x+dx))兩點連線。這兩點在水準方向的長度為dx，在垂直方向的y坐标軸長度為dy，根據直角三角形的勾股定理可知：
其中，由f’(x)=dy/dx，得到dy =f’(x) dx
進而：
即ds的長度公式最終求得為：
弧線長度是由無窮多個ds連接配接起來形成，這是一個積分問題。根據積分可知[a,b]的弧線長度為：
驗證一個簡單的二次曲線方程y=x2在[0,1]的長度：
syms x y f;
y=x.^2;
line=ezplot(y,[0,1]);
set(line,'Color','r','LineWidth',0.5);
grid on;
hold on;
f=diff(y)
F=sqrt(1+f.^2)
S=int(F,[0,1])
f =
2*x
F =
(4*x^2 + 1)^(1/2)
S =
log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2 圖：
長度為：S = log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2