最近在看《Python程式設計導論》（第二版）， 看到類那一章時，後面有個對比幾種不同類型貸款的例子，有一天在回看時，突然發現，這不就是一種量化的方式麼？之前本來是草草地一帶而過，現在又來了興趣，打算仔細研究研究。
注：本文對書中原有的代碼基本不做改動，主要通過注釋的方式進行說明，并增加了另一種貸款方式進行比較，旨在幫助大家對代碼做進一步分析。
一、什麼是是量化？
“量化”從字面上可以了解為數量化，如果應用在投資領域上的話，簡單的說，就是将每一種投資産品，通過資料分析的方式，将其特點（風險、潛力等等）用詳細的資料反映出來，更好地指導投資者擷取穩定收益。
其實作在很多金融産品都是非常複雜的，普通投資者沒點金融常識根本看不懂。不會計算産品的實際收益，看不到潛在的風險，很容易就被套住了。是以，如果有量化分析的經驗，就可以對産品有比較清楚的了解。
好了，先來看看書中描述幾種貸款方式吧：
1.每月償還固定金額的貸款（簡稱等額本息貸款）；
2.先還一筆固定點數（百分比）的貸款，然後每月再以較低的利率還款（簡稱固定點數貸款）；
3.先以較低的利率還款，滿x個月後再以較高的利率還款（簡稱雙利率貸款）。
二、簡述各種貸款類型
1.等額本息貸款
在查等額本息的概念時，發現還有一種叫做等額本金的貸款方式也會被經常用到，下面将依次做介紹。
等額本息：根據固定的還款時間，計算出應還的總利息，再加上本金，然後每個月平均等額的還款。
根據貸款總額loan、月利率r及還款時間m(月)，可以推導出每個月的還款金額。
假設每月固定還款X，則每月的還款情況如下：
月數 | 每月剩餘欠款
0 | loan
1 | loan*(1 + r) - X
2 | [loan*(1 + r) - X] * (1 + r) - X => loan*(1+r)^2 - X*(1+r) -X
3 | [loan*(1+r)^2 - X*(1+r) -X]*(1+r) - X => loan*(1+r)^3 - X*(1+r)^2 -X*(1+r) -X
... ...
n | loan*(1+r)^n - X*(1+r)^(n-1) -X*(1+r)^(n-2) - ... -X(1+r)^0 當n=m時，欠款為0，即：
loan*(1+r)^m - X*(1+r)^(m-1) - X*(1+r)^(m-2) - ... - X(1+r)^0 = 0
觀察等号左邊，不看第一項，提取其餘多項式的-X公約數後，發現其實是一個首項a1為1， q=1+r，項數為m的等比數列
根據等比數列的求和公式Sn = a1*(1 - q^n)/(1 - q) 得：
loan*(1+r)^n - X[(1+r)^0 + (1+r)^1 + ... + (1+r)^(m-1)] = 0
loan*(1+r)^n -X*(1-(1+r)^m) / (-r) = 0
即：
loan*(1+r)^n = X*[(1+r)^m-1]/r
是以得到：
X = loan*r*(1+r)^n/[(1+r)^m-1]
那麼針對等額本息的還款方式，我們就可以用Python寫一個專門的函數，這樣就不用每次計算的時候都把這個公式推導一遍了：
import pylab
import matplotlib
# 指定預設字型
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
matplotlib.rcParams['font.family'] = 'sans-serif'
# 計算在貸款額loan 月利率r和期限m個月下,每月需返還的固定金額
def findPayment(loan, r, m):
return loan * ((r * (1 + r) ** m) / ((1 + r) ** m - 1)) 這樣，每次在計算等額本息貸款的每月還款金額時，隻需要将貸款總額loan, 月利率r和還款總月數m代入此函數中，就能得出結果了。
2.等額本金貸款
等額本金相對來說要簡單一些，每月所還的本金是相同的，利息由每個月的剩餘本金計算得出。
第n個月需還的金額：(loan/m) + (loan - n * loan/m) * r
3.固定點數貸款
按照定義，我們在首次還款時先按固定的點數還一部分貸款，然後再按較低的利率還完剩餘的貸款。
4.雙利率貸款
前x個月以較低的r1利率還款，後m-x個月以較高的r2利率還款（假設還款總月數為m）。
三、編寫與貸款相關的類及子類
我們研究的貸款類型一共有4種（書中的3種+等額本金貸款），是以最好的辦法是先定義一個貸款大類，裡面包含貸款的基本屬性，然後根據各種類型貸款的不同，再定義不同的子類。具體過程如下：
class Mortgage(object):
# 建構貸款類, 定義四種貸款都有的屬性
def __init__(self, loan, annRate, months):
self.loan = loan # 貸款總額
self.rate = annRate / 12 # 将年利率轉化為月利率
self.outstanding = [loan] # 剩餘本金
self.months = months # 還款月數
self.paid = [0.0] # 已支付金額
self.legend = None # 貸款描述
self.payment = findPayment(loan, self.rate, months) # 每月還款金額， 預設按照等額本息的方式
def makePayment(self):
# 還款函數，調用此函數進行還款
self.outstanding.append(self.outstanding[-1] - reduction) # 記錄剩餘本金
self.paid.append(self.payment)
reduction = self.payment - self.outstanding[-1] * self.rate # 還款金額中的本金
def getTotalPaid(self):
# 傳回已支付貸款總額
return self.legend
return sum(self.paid)
def __str__(self):
# 傳回貸款描述
class Fixed(Mortgage):
# 等額本息子類
# 隻需繼承Mortgage()，重寫描述屬性self.legend即可
def __init__(self, loan, r, months):
self.legend = "等額本息, " + str(round(r * 100, 2)) + '%'
Mortgage.__init__(self, loan, r, months)
# 等額本金類貸款每個月要還的本金不變，而利息是随着還款月數的增加而減少的，是以定義一個函數，直接傳回一個包含每月還款金額的清單即可
def totalCapitalPayment(loan, months, r):
total = []
for m in range(months):
class FixedCapital(Mortgage):
total.append(loan / months + (loan - m * (loan / months)) * r)
return total
# 等額本金子類
def __init__(self, loan, r, months):
self.total = totalCapitalPayment(loan, months, self.rate)
Mortgage.__init__(self, loan, r, months)
# self.payment =capitalPayment(loan, r, months)
self.capital = loan / months
# 本期剩餘本金 = 上期剩餘本金 - 每月固定本金
self.legend = "等額本金, " + str(round(r * 100, 2)) + '%'
def makePayment(self, m):
self.paid.append(self.total[m])
# 由于等額本金的每月還款額與目前還款月數相關，是以引入還款月數m
Mortgage.__init__(self, loan, r, months)
self.outstanding.append(self.outstanding[-1] - self.capital)
class FixedWithPts(Mortgage):
# 固定點數子類
self.pts = pts # 固定點數
def __init__(self, loan, r, months, pts):
# 計算第一次按照固定點數還款的金額
def __init__(self, loan, r, months, teaserRate, teaserMonths):
self.paid = [self.loan * (self.pts / 100)]
self.legend = "固定點數, " + str(round(r * 100, 2)) + '%, ' + str(pts) + ' points'
class TwoRate(Mortgage):
# 雙利率子類
str(round(r * 100, 2)) + '%'
Mortgage.__init__(self, loan, teaserRate, months)
self.teaserMonths = teaserMonths # 前期低利率月數
self.nextRate = r / 12 # 後期高利率
self.teaserRate = teaserRate # 前期低利率
self.legend = '雙利率, ' + str(teaserRate * 100) + '% for ' + str(self.teaserMonths) + ' months, then ' + \
def makePayment(self):
Mortgage.makePayment(self) # 未到達teaserMonths時，每月的還款金額
# 如果到達teaserMonths，則使用self.nextRate高利率，後面每月的付款金額按照剩餘本金、利率和月數重新計算
if len(self.paid) - 1 == self.teaserMonths:
self.payment = findPayment(self.outstanding[-1], self.rate, self.months - self.teaserMonths)
self.rate = self.nextRate 四、使用pylab定義繪制還款曲線函數
繪制曲線的目的在于比較這幾種貸款，哪個最劃算（或者哪個最坑），是以可以按照每月還款額、還款總額、剩餘本金、支付的總利息這幾個次元進行分析。
在Mortgage()類中分别添加統計這些資訊的函數：
def plotPayments(self, style):
# 統計每月還款額
pylab.plot(self.paid[1:], style, label=self.legend)
def plotTotPd(self, style):
# 統計每月還款總額
totPd.append(totPd[-1] + self.paid[i])
totPd = [self.paid[0]]
for i in range(len(self.paid)):
def plotBalance(self, style):
pylab.plot(totPd, style, label=self.legend)
# 統計每月剩餘本金
totPd = [self.paid[0]]
pylab.plot(self.outstanding, style, label=self.legend)
def plotNet(self, style):
# 統計每月支付總利息
equityAcquired = pylab.array([self.loan] * len(self.outstanding)) - pylab.array(self.outstanding)
for i in range(1, len(self.paid)):
totPd.append(totPd[-1] + self.paid[i])
# 先通過數組計算出每月償還的本金（貸款總額 - 每月剩餘本金）
pylab.plot(net, style, label=self.legend)
# 再用每月的總還款額 - 每月償還本金 = 每月償還利息
net = pylab.array(totPd) - equityAcquired 為了能夠繪制出這些曲線，我們還需要定義一個繪圖函數，并且設定标題、标簽等屬性，讓每個圖都更加美觀：
def plotMortgages(morts, amt):
def labelPlot(figure, title, xLabel, yLabel):
pylab.figure(figure) # 指定目前圖，即繪制前要先指定圖的figure值
pylab.title(title) # 設定标題
pylab.ylabel(yLabel) # 設定y軸标簽
pylab.xlabel(xLabel) # 設定x軸标簽
styles = ['k-', 'k-.', 'k:', 'b-'] # 設定各類貸款對應的曲線樣式
pylab.legend(loc='best') # 将描述資訊放在不與曲線沖突的最合适區域
for i in range(len(morts)):
payments, cost, balance, netCost = 0, 1, 2, 3 # 設定圖的figure，對各類曲線按照名額分類
morts[i].plotTotPd(styles[i]) # 總還款額
pylab.figure(payments) # 根據figure值，将各類曲線繪制到對應的圖中
morts[i].plotPayments(styles[i]) # 月還款額
morts[i].plotNet(styles[i]) # 月支付利息
pylab.figure(cost)
pylab.figure(balance)
morts[i].plotBalance(styles[i]) # 剩餘本金
pylab.figure(netCost)
labelPlot(balance, '貸款' + str(amt) + '元的每月本金剩餘情況', '月數', '剩餘未還本金')
labelPlot(payments, '貸款' + str(amt) + '元的每月還款情況', '月數', '月還款金額')
labelPlot(cost, '貸款' + str(amt) + '元的還款總額', '月數', '已支付金額')
labelPlot(netCost, '貸款' + str(amt) + '元的累計利息支付情況', '月數', '支付的累計利息') 最後在比較函數compareMortgages()函數中進行調用即可：
def compareMortgages(amt, years, fixedRate, pts, ptsRate, lowRate, highRate, lowMonths):
# 比較各類貸款的總還款額
totMonths = years * 12
fixed1 = Fixed(amt, fixedRate, totMonths)
fixed3 = FixedWithPts(amt, ptsRate, totMonths, pts)
fixed2 = FixedCapital(amt, fixedRate, totMonths)
twoRate = TwoRate(amt, highRate, totMonths, lowRate, lowMonths)
fixed2.makePayment(m) # 單獨調用包含參數m的等額本金還款參數
morts = [fixed1, fixed3, twoRate] # 先對除等額本金外的其他三類貸款進行還款
for m in range(totMonths):
for mort in morts:
morts.insert(1, fixed2) # 還款完畢後再加入貸款清單
mort.makePayment()
pylab.show()
# 展示四種貸款方式各自的還款總額
# for m in morts:
# print(" Total payments = $" + str(int(m.getTotalPaid())))
# print(m)
plotMortgages(morts, amt)
# 帶入實際的值進行比較：
compareMortgages(200000, 30, 0.07, 3.25, 0.05, 0.045, 0.095, 48)
# 比較結果
Fixed, 7.0%
Total payments = $479017
Fixed Capital, 7.0%
Total payments = $393011
Total payments = $410583
Fixed, 5.0%, 3.25 points
4.5% for 48 months, then 9.5%
Total payments = $551444 五、分析各類曲線
最後我們得到了4張反應貸款各個名額的分析圖：
1.每月還款額的變化：
可以看出，等額本息和固定點數從始至終都維持着恒定的還款金額，但是由于固定點數提前還了一部分的貸款，是以後期支付的金額就會少一些；
等額本金是唯一一個利率呈負增長的貸款，因為每月的還款額與剩餘本金息息相關，是以一開始支付的金額是最高的，但利息會随着本金的不斷減少，到了最後一個月，甚至隻還了558塊多。适合貸款前期有充裕的錢進行還款的人群；
雙利率雖然前48個月的還款額最低，但是後面的300多個月，都不得不付給銀行高額的貸款。
2.整個貸款周期的本金+利息總和：
該圖反映了總還款額随時間變化的情況。如果對比最後貸款結束時的還款金額，很明顯，固定點數 < 等額本金 < 等額本息 < 雙利率。
而在整個還款過程中，總還款額的增長速率也并非一直不變。例如，除了等額本息和固定點數外(每月還款數固定)，等額本金的增長幅度是先快後慢（曲線是一段弧線）；而雙利率的模式則是先慢後快，有一個明顯的拐點。用前期很少的還款額做誘餌，引誘借款人最終償還高達551444元的高額貸款（别緊張，你沒有看錯，200000元的本金+351444元的利息）。
3.剩餘未還本金的情況：
因為4類貸款的本金都是200000萬，是以起點是相同的。曲線越陡峭，則說明，本金的還款速度越快；曲線越平滑，就說明可能每個月給銀行還的錢大部分都用來付利息了。
4.每月累計支付的利息情況：
大體上都呈抛物線，可以看到，即使最劃算的固定點數模式的貸款，在經曆了30年後，也不得不支付高達193011元的利息，基本上已經跟本金差不多了。是以，這就是銀行用複利在賺很多借款人的錢。而大部分人可能還覺得，這樣的還款方式好像還OK，但是如果經過了這樣量化分析後，感覺還是挺吓人的，是以沒事還是少貸款吧。
六、結語
通過這樣一步步的分析，我們在了解了這些貸款的各種資訊後，同時也提高了自己的編碼能力和資料分析的能力，簡直是一舉三得~這本書中還有一些其他很有意思的問題，涉及面很廣，有興趣的同學可以做深入研究。
原文釋出時間為：2018-08-27
本文作者：劉亞輝
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