假如你在做一個抛硬币實驗。硬币朝上的機率是 p，但是你不知道具體是多少，你想通過實驗确定 p。
你做了 A + B 次實驗，抛出 A 次正面，B 次反面。請問 p 是多少？
什麼？你說
？
太不專業了吧，我們是統計科學家，什麼事情都要看個機率。
最符合我們的實驗結果，固然可能性最大，但是我們也不能忽略其他取值的可能性。
比如說吧，如果說
，那我們能不能扔出 A 次正面，B 次反面？可能啊，而且可能性很大，如果
，那我們的實驗結果也幾乎完全符合預期。再比如說，就算
，那我們扔出 10 次正面，0 次反面，有沒有可能？好像也有可能，隻是可能性很小。
看到沒有，這個 p 始終有可能是 0 到 1 當中的任何一個值。而當我們觀測到 A 次正面，B 次反面之後，能做的隻是給它一個機率分布，就像上面說的，
的可能性很大，而
的可能性很小。
那麼，這個機率分布到底是什麼呢？有的同學可能知道了，就是貝塔分布。
但是先别急着看結論。這個問題其實并不難，我們先來自己動手算一下，實踐出真知：
我們在對這個硬币一無所知的情況下，認為
是 0 到 1 的任何值都是等可能的。是以，在觀測到一些實驗結果之後，我們可以按照極大似然估計的思想 —— 參數
下我的實驗結果的可能性，就是參數
的靠譜程度——得到參數
的分布。
假設這個硬币出正面的機率是
，我們一共做了 A + B 次實驗，那麼我們得到 A 次正面的機率可以簡單地算出來，從 A + B 次實驗裡面有 A 個正面的情況數量是
，每個情況的出現機率是
。綜合起來，A 次正面的機率是：
這個機率
就是所謂“參數
下我的實驗結果的可能性”，同時也是
的靠譜程度，也就是似然。
那麼我們把
的靠譜程度做成函數，其實就是把上面等号左邊的形式改一下：
然後我們把這個靠譜程度的函數歸一化一下，讓它的積分為 1，變成一個機率分布。直覺上看，要把一個正函數變成一個機率分布，就是要讓函數的圖像面積為 1. 是以做法就是給這個函數除以它的圖像面積，也就是這個函數的積分。于是就有：
你如果知道 Beta 分布的公式的話，相信你已經看出來怎麼回事了。我們得到的，其實就是 Beta 分布的機率密度函數。下面我把維基百科的 Beta 分布密度函數粘貼過來，同學們可以對比一下：
Beta 分布的 x，就是我們要估計的
，也就是這枚硬币正面朝上的機率。
就是我們的 A + 1，
就是我們的 B + 1，也就是代表我們已經觀測到的正面/背面朝上的次數。至于為什麼差個 1，可能隻是為了
與
函數的簡潔。
那麼我們總結一下，什麼叫 Beta 分布？
所謂的以
為參數的 Beta 分布
，其實描述的就是我們在做抛硬币實驗的過程中，我們目前如果已經觀測到
次正面，
次反面，那麼此時硬币正面朝上的真實機率的可能性分布。