凸優化和非凸優化的差別

數學中最優化問題的一般表述是求取

，使

，其中

是n維向量，

是

的可行域，

上的實值函數。

凸優化問題是指

是閉合的凸集且

上的凸函數的最優化問題，這兩個條件任一不滿足則該問題即為非凸的最優化問題。

其中，

是 凸集是指對集合中的任意兩點

，有

，即任意兩點的連線段都在集合内，直覺上就是集合不會像下圖那樣有“凹下去”的部分。至于閉合的凸集，則涉及到閉集的定義，而閉集的定義又基于開集，比較抽象，不贅述，這裡可以簡單地認為閉合的凸集是指包含有所有邊界點的凸集。

注意：中國大陸數學界某些機構關于函數凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一緻的，也就是和數學教材是反的。舉個例子，同濟大學高等數學教材對函數的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。

為什麼要求是凸函數呢？因為如果是下圖這樣的函數，則無法獲得全局最優解。

為什麼要求是凸集呢？因為如果可行域不是凸集，也會導緻局部最優

• 目标函數

  

  如果不是凸函數，則不是凸優化問題
• 決策變量

  

  中包含離散變量（0-1變量或整數變量），則不是凸優化問題
• 限制條件寫成

  

  時，