二階導數的意義

二階導數的意義

簡單來說，一階導數是自變量的變化率，二階導數就是一階導數的變化率，也就是一階導數變化率的變化率。一階導數大于0，則遞增；一階倒數小于0，則遞減；一階導數等于0，則不增不減。而二階導數可以反映圖象的凹凸。二階導數大于0，圖象為凹；二階導數小于0，圖象為凸；二階導數等于0，不凹不凸。

1二階導數

定義

二階導數，是原函數導數的導數，将原函數進行二次求導。一般的，函數y=f（x）的導數yˊ=fˊ（x）仍然是x的函數，則y′′=f′′（x）的導數叫做函數y=f（x）的二階導數。在圖形上，它主要表現函數的凹凸性。

幾何意義

1、切線斜率變化的速度，表示的是一階導數的變化率。

2、函數的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌迹曲線凹的一側）。

函數凹凸性

設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b)内具有一階和二階導數，那麼，

（1）若在（a,b)内f''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。

（2）若在（a,b)内f’‘(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

2一階導數與二階導數

簡單來說，一階導數是自變量的變化率，二階導數就是一階導數的變化率，也就是一階導數變化率的變化率。連續函數的一階導數就是相應的切線斜率。一階導數大于0，則遞增；一階倒數小于0，則遞減；一階導數等于0，則不增不減。

而二階導數可以反映圖象的凹凸。二階導數大于0，圖象為凹；二階導數小于0，圖象為凸；二階導數等于0，不凹不凸。

結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等于零，而二階導數大于零時，為極小值點；當一階導數等于零，而二階導數小于零時，為極大值點；當一階導數、二階導數都等于零時，為駐點。