本文主要參考：
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378
- https://www.zhihu.com/question/38841975/answer/105878252
1、傅裡葉級數的由來
傅裡葉級數最早提出是想用三角函數的線性組合去表達一個複雜函數。
既然是線性組合，根據線性代數的理論來說，我們最好用彼此線性無關的量去線性表示另一個量，這種情況下會比較友善，而三角函數系的正交性正好滿足彼此無關這一個條件。
是以我們可以比較自然地了解這個原始形式的公式：
那麼三角函數的正交到底是什麼意思呢？
2、三角函數的正交性
向量的正交線上性代數的理論中有非常完整簡潔的定義：兩個向量點積之後結果為0即說明兩相量正交。
比如向量a（a1，a2，a3）與向量b（b1，b2，b3）正交，則a1b1+a2b2+a3b3＝0。
可以看出向量的點積其實是對應分量相乘再累加的過程，而這種關系與連續函數的正交定義是有密切聯系的。
三角函數系的正交定義，比如cosx，與sinx正交，則寫成如下形式：
而其實積分的過程可以看做cosx和sinx分别在某個點的取值後相乘再對應累加（積分）。
說具體些，假設我這裡積分周期選擇0-T，定義一個無窮小的數ξ，則積分可以近似看做如下過程：
可以看出來這種關系與相量正交的形式是相同的，是以可以認為兩個函數相乘積分結果為0則兩函數正交。
而可以證明三角函數系（1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…）的正交關系，如果這一堆函數（包括常數1）中任何兩個不同函數的乘積在區間[-π, π]上的積分等于零，就說三角函數系在區間[-π, π]上正交。
證明如下：
顯然可知，需要證明以下公式成立：
第１第２式可視為三角函數Cos和Sin與１相乘的積分；第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。
除了這5個式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等于n，否則就不屬于“三角函數系中任意兩個不同函數”的定義了，變成同一函數的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時也是二個不同函數。
下面通過計算第4式的定積分來驗證其正确性，第4式中二函數相乘可以寫成：
當 k≠n 時，有：
可見在指定[-π, π]的區間裡，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗證。
3、傅裡葉級數公式的系數求解
那麼對于上述級數，我們該怎麼樣求解各個系數呢？
求解系數的方法就是消項，比如對于a0的求解，我們隻需要把除了a0以外等式所有的項全部消掉不就可以了嗎，那麼怎麼消呢，很容易，a0是唯一一個不包含三角函數的系數，而其他項的三角函數的周期均為2π(注意：我說的是周期，而不是最小周期，其實cosx的周期是2π，cos2x周期為π，……cosnx的周期為2π/n，不過大家周期的最小公倍數都是2π，是以2π是所有這些三角函數的周期)，是以我們隻需要對等式兩端同時進行-π到π的一個積分，就會隻留下a0，處理過程是這樣：
解得：
這就求得了第一個系數A0的表達式，接下來再求an和bn的表達式，這裡要應用到三角函數系的正交法則，舉個例子，比如我們要求解an的值，就意味我們必須把除了an以外所有項都消掉，而an和cosnx相乘，是以我們讓整個式子乘上cosnx再積分，利用正交性消去其他項：
這裡的公式有一點問題，積分上下限是-π到π的話，應該是對wt進行積分的，但這裡寫成了對t積分
根據三角函數系的正交性，紅色積分為0，藍色項中僅當 k=n 時積分不為0，其餘項積分為0，是以有：
同理兩邊乘sinnx再積分，可以解得bn：
我們發現 A0 的分母為 2pi 而 an、bn 為 pi ,為了統一分母我們令 a0 = 2A0，是以有：
是以級數公式變形為：
代入T=2pi之後，我們可以得到：
4、傅裡葉級數指數形式
根據歐拉公式有：
是以代入後有：