選自Quantamagazine
作者：Rachel Crowell
機器之心編譯
機器之心編輯部
這一結果可能會幫助研究人員回答一個更重要的問題，即如何将物體從第四維展平到第三維。
計算機科學家 Erik Demaine 和他的藝術家兼計算機科學家父親 Martin Demaine 多年來一直在挑戰折紙的極限。他們複雜的折紙雕塑被紐約現代藝術博物館永久收藏。十年前，PBS 還播出了一部以他們為主角的藝術紀錄片。
這對搭檔在 Erik 6 歲時開始合作，如今，Erik 已經成為了麻省理工學院的教授。他說，「我們有一家名為 Erik and Dad Puzzle Company 的公司，這家公司制作并向加拿大的玩具店銷售拼圖。」
Erik 從他父親那裡學到了基礎數學和視覺藝術，但 Martin 也從兒子那裡學到了高等數學和計算機科學。「現在我們都是藝術家和數學家 / 計算機科學家了，」 Erik 說，「我們合作了很多項目，尤其是那些跨越很多學科的項目。」
他們的最新成果是一項數學證明，去年 10 月份發表在《Computational Geometry》雜志上。
論文連結：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0925772121000298
在這篇題為《使用無數折痕對所有多面體流形進行連續展平》的論文中，Erik 等人表示，他們證明了，如果擴充标準折疊模型以允許無數折痕出現，則可以将 3D 中的任何有限多面體流形連續平展為 2D，同時保留固有距離并避免交叉。
這一結果回答了 Demaine 父子和 Erik 博導 Anna Lubiw 2001 年提出的一個問題。他們想知道是否有可能取任何有限多面體（或 flat-sided）形狀（比如立方體，而不是球體或無限大的平面)，然後用折痕将其折平。
當然，你不能将形狀剪開或撕裂。此外，形狀的固有距離還要保持不變，「也就是說，『你不能拉伸或收縮這個材料』，」Erik 說。而且他指出，這種類型的折疊還必須避免交叉，這意味着「我們不希望紙張穿過自己」，因為這在現實世界中不會發生。「當所有東西都在 3D 中連續移動時，滿足這些限制将非常具有挑戰性」。綜上所述，這些限制意味着簡單地擠壓形狀是行不通的。
Erik 父子等人的研究表明，你可以完成這種折疊，但前提是使用無限折疊政策。不過在此之前，幾位作者在 2015 年發表的一篇論文中也提出了另一項實用技術。
論文連結：https://erikdemaine.org/papers/FlatteningOrthogonal_JCDCGG2015full/paper.pdf
在這篇論文中，他們研究了一類更簡單的形狀的折疊問題：正交多面體，其面以直角相交，并且垂直于 x、y 和 z 坐标軸中的至少一個。滿足這些條件會強制形狀的面為矩形，這使得折疊更簡單，就像折疊冰箱盒一樣。
「這種情況比較容易算出，因為每個角看起來都一樣。這隻不過是兩個面垂直相交而已。」Erik 說到。
2015 年取得成功後，研究人員開始使用這種展平技術來處理所有有限多面體。然而，非正交多面體的面可能是三角形或梯形，适用于冰箱盒子的折痕政策不适用于棱錐體。并且對于非正交多面體來說，任何有限數量的折痕總是産生一些在同一個頂點相交的折痕。
是以 Erik 等人考慮使用其他方法來規避這個問題。經過一番探索，他們找到了一種解決非凸面物體展平問題的方法——立方體晶格（cube lattice），它是一種三維的無限網格。在立方體晶格的每個頂點處，有許多面相交并共享一條邊，這使得在任何一個頂點處實作展平都是非常困難的。
但研究人員最終還是找到了解決方案。首先，他們找到一個「遠離頂點」且可以展平的點，然後再找到另一個可以展平的點，不斷重複這個過程，靠近有問題的頂點，并在移動時将更多的位置展平。
這個過程需要一直持續下去，一旦間斷，就會有更多問題需要解決。本文作者之一、新加坡國立大學的 Jason Ku 表示：「在有問題的頂點附近，利用讓切片越來越小的方法将能夠展平每個切片。」
「在這種情況下，切片并不是實際的切割，而是用于想象将形狀分解成更小塊并将其展平的概念性切片。然後我們在概念上将這些小切片『粘合』在一起，以獲得原始表面。」Erik Demaine 說道。
研究人員将同樣的方法應用于所有非正交多面體。通過從有限的「概念」切片遷移到無限的「概念」切片，他們根據數學上極限的思想建立了一個程式，得到了展開的平面，解決了最初的問題。
美國史密斯學院的計算機科學家和數學家 Joseph O'Rourke 稱贊道：「我從來沒有想過要用無限的折痕，他們以非常聰明的方式改變了構成解決方案的标準。」
Erik Demaine 嘗試将這種無限折疊的方法應用于更抽象的形狀。O'Rourke 最近建議使用該方法将四維對象扁平化成三維。同時，Erik Demaine 表示他們仍然想探索是否可以用有限的折痕來展平多面體，并樂觀地相信這是可能的。
在計算機上玩折紙的神童
說 Erik Demiane 是神童一點也不為過。他 12 歲到加拿大讀書，14 歲拿到學士學位提前畢業。20 歲在 MIT 任教，21 歲就成為教授，23 歲在滑鐵盧大學發表博士論文，并獲得加拿大「總督金牌」和 NSERC 博士獎學金，同年拿到麥克阿瑟獎。
而 12 歲之前，Erik 是在家裡由自己的父親 Martin Demaine 教學文化知識。盡管 Martin 隻有高中學曆，但他卻是知名的藝術家和數學家。
Erik 的主要研究方向就是折紙算法和計算理論，現在和他的父親 Martin 一起在 MIT 任教。他們在計算機中進行大量的算法模拟，仿真折紙的過程，并基于此設計真實世界中的折紙藝術品。同時，通過創作折紙藝術品，Erik Demiane 能夠反推改進算法，改進的算法又進一步激發折紙藝術創作，進而形成一個現實 - 虛拟，算法 - 藝術的循環。
參考連結：https://www.quantamagazine.org/father-son-team-solves-geometry-problem-with-infinite-folds-20220404/
https://www.x-mol.com/paper/1386871662666866688/t
http://www.archcollege.com/mobile.php?m=index&a=appDetails&id=28655