劉丹亭/文
一
首先我必須坦白，促使我打開大衛·福斯特·華萊士這本數學專著《穿過一條街道的方法：無窮大簡史》的，絕不是對數學的熱情（這種熱情在我身上一絲都沒有），而是八卦心理——一位傳奇作家寫的數學專著！大衛·福斯特·華萊士，受上天眷顧的幸運兒，他掌握了文字和數字兩套符号體系，既是“我們這個時代最偉大的美國作家之一”，也是系統接受過哲學、數學和模态邏輯學專業訓練的知識精英。
無疑，文字和數字是建構華萊士神秘莫測的精神世界的基石。在他童年記憶裡，教授哲學的父親和身為英語老師的母親總保持着對知識和語言的敏感：母親會在“詞窮”時自創單詞來表達；一次夏日旅行中，父母與華萊士約定，隻要提到派這種點心，就要用π的數值3.1415926…來替代。
π是一個無理數，在《穿過一條街道的方法》中，華萊士對于這類以無線不循環的方式抵達無窮的實數有專門論述。對于他，數學就像無處不在的π，向來與他的生活和成長交織在一起。他曾在作品《弦理論》中追憶過自己作為少年網球手的往事，他有很高的網球天賦，這也要歸功于他超強的運算能力，他會在比賽中計算網球的運動路線，将比賽視為破解二次函數方程的過程，甚至将風力因素也考慮在其中。數學，在某種程度上是現實經過高度抽象後，呈現在華萊士眼中的鏡像。
同樣是在《弦理論》裡，他寫到：“在知道無限小的符号代表鐵軌，積分是一種圖式之前，我僅靠肉眼觀察就可以在這些寬曲線邊上發現天地相接處的一塊區域。在東部丘陵地帶學習數學讓人頓悟，它将記憶打碎，重制腦海。微積分确實很像兒時的遊戲。”他在筆端重建個人化記憶的同時，将數學定理和知識雜糅其中，令它們參與叙述。它們不僅僅作為理性的知識載體，更承載了個人知覺、感受和潛意識，與文字共同建構出一種雙軌的叙事模式。
這種雙軌模式也是他标志性的風格之一，它給予他的作品無限張力，以及難以破解的複雜性。他不僅在現實中采撷意象，也借助數學呈現現實背後的那些純粹、形式的關聯。它們構造出一種超越語言的存在，一片理性與虛無交錯的無盡無序的荒原。
誰膽敢涉足那片荒原，就必然迷失其中。華萊士自己也不能幸免。
穿過一條街道的方法: 無窮大簡史
[美] 大衛 福斯特·華萊士 /著
萬有引力 /廣東人民出版社
胡凱衡 /譯
2021年11月
二
9歲時，華萊士第一次表現出抑郁和焦慮的症狀。這種被他母親稱為“牙齒上的黑洞”的問題此後對他一再糾纏。他曾借人物之口說：“遲鈍與心靈的痛處相連。”或許正是以，他沉溺于數學和哲學的世界，并認定隻有思考才能讓自己擺脫腦子裡“特别的嗡嗡聲”。大學時，他讀了品欽的作品，在其中看到了自己的寫作之路。
25歲時，他完成了自己的第一部作品，即受維特根斯坦思想啟發的《系統的掃帚》，這是一部繁蕪叢雜的作品。但它的繁冗和艱澀遠比不上華萊士的下一部作品，《無盡的玩笑》。據華萊士回憶，《無盡的玩笑》被編輯删去了近三分之一，但它仍有接近50萬字的體量，以至于在新書釋出會上，有人開玩笑地問，真有誰讀完過全書嗎。這部書入選了美國《時代》周刊評選的1923年以來世界一百部最佳英語長篇小說。有評論家盛贊華萊士是“這個時代最偉大的作家之一，具有寫出任何東西的才能”。
在《無盡的玩笑》之後，華萊士還出版了多部短篇小說集和散文集。而《穿過一條街道的方法》則是他沉重華麗的桂冠上的另一顆寶石，一本獨一無二的數學專著。考慮到華萊士小說閱讀的困難程度，或許這本數學專著反倒通俗一些。
“穿過一條街道”這個書名來自古希臘哲學家和數學家芝諾的二分悖論：“你站在一個街角，你試圖穿過街道。請注意‘試圖’這個字眼，因為在你用盡辦法穿過整條街道之前，你顯然不得不經過街道的一半，而你經過一半之前，不得不經過一半的一半。而在你經過一半的一半之前，你顯然必須經過一半的一半的一半……”這個悖論的實質，是把過街這種我們每天都要完成很多回的活動，分解為無窮多個動作——既然是“無窮”，意思就是這些動作的次數沒有終點。于是，一個恐怖的結論出現了：人在邏輯上是過不了街的。
二分悖論的可惡之處，在于成功地把人引入了無窮的迷途。日常生活裡，每每無窮這個詞出現，總伴随着人們對它的稱頌、崇拜，它廣博、浩瀚，不受限制，趨近于完美，是人類所不可能企及的。然而，倒映在數學家眼中的無窮，卻完全與此背道而馳。就像亞裡士多德所言：“無限的本質就是缺失，不是完美無缺而是有限的缺失。”如何去尋找、證明缺失的存在？這看起來是一個不可能完成的任務。華萊士力圖在《穿過一條街道的方法》中揭示的，正是數學家們如何以自身的有限去發現（或者說創造，這在數學界一直有争議）無窮的曆史。
要追蹤無窮在數學史上的蹤迹，我們必須跟随華萊士回到古希臘。出人意料的是，熱愛數學的古希臘人不僅不欣賞、不崇拜無窮，還對它抱有厭惡、懷疑的态度。在古希臘人參與到數學研究之前，古巴比倫-埃及人就獲得了很高的數學成就，但他們對于數學的興趣完全源自于生活實踐，數學于他們是一種解決現實問題的工具。希臘人将數學抽象化了，他們相信，抽象的數學實在完全不同于人類所熟悉的那種經驗實在，而數學論證的是和人類可感覺的現實與熟悉的經驗範疇完全無關的世界，雖然現實世界諸多現象背後也隐藏着純粹的、形式的數學關系。對此，我們可以這麼了解：當面對5個橘子加減的問題時，前人感興趣的是橘子，而古希臘人感興趣的則是5。他們不關心可觸可感的物，并将數字從具體的特性、感性經驗中剝離出來。至此，數學獲得了抽象這一本質的特性。
三
然而，即便對于熱愛抽象思考的古希臘人，無窮也是極其麻煩的存在，恰如亞裡士多德所指出的那樣，無窮是一種對于抽象的抽象，一個人需要在頭腦裡抽象掉所有的有限，才能得到這個代表無窮的符号∞。可當我們試圖定義“無窮”的概念時，又發現這是一個更大的問題。
當然，無論是華萊士，還是作為本書普通讀者的我們，都不是最先意識到問題所在的人。華萊士在書中提到，亞裡士多德早在《實體學》第六卷探讨二分悖論（又來了！）的時候就注意到無窮概念的含混之處，他指出：“長度、時間以及任何連續的東西在兩種意義上可以被稱為‘無窮’的，即可分性和大小的意義上。”也就是說，無窮既可以意味着無窮大、無窮小、無窮長、無窮短，也可以表示有限之物的無窮可分性。
但不要以為折磨人的無窮至此放過了我們，因為亞裡士多德接着又把無窮分成了“實無窮”和“潛無窮”。是以，我們不得不再一次回到二分悖論——如果我們把街道不斷地二分，就會出現無數個分割點，這些點作為一個完整的實體存在，這些點的集合就是實無窮。如果我們把每天上午都會出現的“6:54”看成一個集合，我們就必須承認，所有的“6:54”從來沒有并存過，這便是潛無窮……
繼續探讨這類問題八成會讓正在閱讀本文的人十分煩躁，但相對于《穿過一條街道的方法》所展示給我們的那個關于“無窮”的浩瀚無際的宇宙，一切麻煩才剛剛開始。雖說古希臘人早已将抽象賦予數學，但直到17世紀，數學才從根本上成為一種來源于抽象而不是來源于現實世界的形式系統。借助這個系統的機制，數學家得以并且敢于真正去觸碰∞。
面對人類這種僭越行為，∞必然要加以回擊。這個擁有令人連連眨眼的特異外形的怪胎，展示出更多怪誕的難以理喻的面目，想要引人誤入歧途。它的反擊包括以下這個事實：一個無窮集合的子集含有和這個集合一樣多的元素。任何一個神志清醒的人在面對這個事實時恐怕都會感到理性崩塌。∞施加在人類身上的酷刑還沒有結束，因為牛頓和萊布尼茨又先後發現了微積分。無窮小量的存在對于微積分來說是不可或缺條件，它的善變令人忍無可忍，計算需要0時它就是0，不需要0時它就大于0。有誰見過比它更沒有底線的變色龍、牆頭草嗎？為了挽救微積分，牛頓為它進行了“有力”的辯解：它不是無窮小量，而是流數，是一個基于時間變量的變化率。但這隻是引發了更多的疑惑，以及更多的辯解……
有鑒于此，閱讀《穿過一條街道的方法》對于我這樣從未被允許踏入過“高數”聖殿的人來說，是痛苦交織着片刻頓悟的神奇體驗，也是一場真正的精神冒險。我在華萊士這位知識淵博、頭腦敏銳的向導的指引下，前往完全未知的領域，一路上艱險不斷，我不知道自己能夠走多遠——也确實沒走太遠。當來到華萊士最推崇、最贊賞的康托爾面前時，我的腦子已經亂成一團，完全理不出任何頭緒。但我仍慶幸自己鼓起勇氣開始了這次旅程，并是以得以窺探古往今來，唯有數學家才被允許凝望的禁忌之景。
我甚至有所領悟——鋪設在書中的那條大道不隻是二分悖論分割點的集合，也是一條由數學家卓絕的智力所開拓的無形之路。它宛如一條有始而無終的數軸，在書中短暫現身的一位位數學家則是小小的坐标點，他們不能窮盡數軸，也不能抵達數軸的盡頭，但他們延展了人類認知的長度，從現實的背面挖掘出一個宏偉的潛在世界。
四
《穿過一條街道的方法》講解的是潛在的數學世界的故事，是一個純粹理性世界的概況。但是，從這本無意與個體生命和私人經驗發生牽連的著作裡，我們仍能拾到一些華萊士生命的碎片。
在全書開篇，華萊士隆重推出康托爾和他的超窮理論，同時免不了提起了數學家們宿命一般的悲劇結局——康托爾性格複雜多變，精神病院是他的終生歸宿；哥德爾，死于精神病；波爾茲曼，死于自殺……華萊士引用切斯特頓的話總結道：“詩人不會發瘋，但國際象棋選手會；數學家、出納員會發瘋，但有創造力的藝術家很少會。我不是在攻擊邏輯——我隻是說這種危險不是在想象中，而确實存在于邏輯中。”不過，華萊士馬上糾正，危險的不是邏輯，而是令人崩潰的“抽象”，也就是把一切歸結到最基本層面的行為，它意味着努力思考對大多數人無法努力思考的事物。而這是令人無法承受的。
或許大多數人安于“有限”和渾渾噩噩的生活，是出于生理上的自我保護機制。華萊士知道數學的危險、思考的危險，并且輕松自如地指出它們，仿佛一切盡在掌握。但這樣的明智并沒有阻止他自己的人生以慘劇落幕，反而成就了預言和谶語。衆所周知，華萊士于2008年在家中自缢身亡，年僅46歲。當時的他并不像他所欣賞的悲劇英雄康托爾那樣孤立無援，走投無路——華萊士聲譽正隆，還有密切關注他精神狀況的新婚妻子。（關于婚姻，華萊士在本書中一條注釋裡寫道： “奇怪的事實：曆史上幾乎所有偉大的哲學家都未婚。海德格爾是僅有的例外。偉大的數學家大約是一半對一半，結婚率依然低于一般人的水準。對這一點沒有令人信服的解釋，大家可以自由發揮。”我相信他在這一問題上所做的思考，遠不像這條輕飄飄的注釋所展現的那般輕松。）而他的人生也沒能遵循切斯特頓的論調，因為混入了文學這種普遍認為門檻低、邏輯弱的成分而扭轉走向。
華萊士的悲劇告誡我們，數學帶來的最大危險不是挂科補考，而是讓人迷失在對抽象的執着中永無出路。不過，《穿過一條街道的方法》同樣也讓我放心了，原來我對數學這一領域最深入的了解也隻停留在古代，和令人誤入歧途的現代數學隔着阿喀琉斯與烏龜之間的難以跨越的天塹——雖然華萊士在書裡運用明示、暗示，大張旗鼓、草蛇灰線地反複預告和鋪陳劃時代的數學天才康托爾的超窮理論，但等一頭霧水的我終于來到那一章時，卻遺憾地發現隻有和超窮同為超字輩的超人，才能了解這些文字和符号的真正含義。
至少我安全了。這次冒險之旅讓我再一次确認，并不是所有人都有幸能被數學帶來的厄運所揀選。不幸而幸運的大多數人，終生都不會進入數學中那個完全獨立于現實存在的秘境，也不會受到無限的傷害。
合上書，我可以繼續過夏蟲不可言冰的快樂生活，把可怕的無窮丢在腦後，為自己擁有完美的有限而竊喜不已。