壓縮感覺回顧與展望
在衆多壓感的研究中，其中各個矩陣的命名不一，這篇文章就算是對這些命名的一個統一吧，個人覺得還挺貼切。
1、N維實信号 x 的稀疏表示：
其中
叫正交基字典矩陣，
叫系數向量。
2、采用一個與正交基字典
不相關的觀測矩陣
，
是一個
的扁矩陣，即，
，
的每一行可以看作一個傳感器，它與系數相乘，擷取了信号的部分資訊。
對信号 x 執行一個壓縮觀測，就可以得到 M 個線性觀測
，這些少量的觀測中則包含了重構信号 x 的足夠資訊。
3、從觀測向量 y 中恢複 x 是一個解線性方程組的問題，但由于
是一個未知數個數大于方程個數（
）的病态方程（M是方程個數，N是未知數個數），它有無窮多解。
但由
可知：
, 雖然從 y 中恢複
也是一個病态問題，但因為
是稀疏的，這樣未知數個數大大減少，使得信号重構成為可能。
到此還是有迷惑的，到底要滿足什麼樣的具體條件，信号重構能夠實作呢？
（已經證明）：隻要矩陣
中任意 2K 列都是線性獨立的 ,那麼至少存在一個 K-稀疏的系數向量 θ 滿足
。換言之 ,在滿足上述要求的情況下 ,通過求解一個非線性優化問題就能從觀測 y 、觀測矩陣
和字典矩陣
中近乎完美的重建信号 x。
4、壓縮感覺的條件：
從信号的壓縮觀測中實作信号的重建是需要滿足一定條件的 :首先 ,對于由正交基字典矩陣
确定的表示系統 ,要滿足信号在
下的稀疏性或可壓縮性 ,即信号需要在變換空間下的展開系數足夠的稀疏 ;其次 ,假設在表示系統中能夠獲得 K-稀疏的系數 , 對于由觀測系統
所确定的 CS 資訊算子
, 需要滿足任意 2K列都是線性無關的 .在這兩個條件都同時滿足時 ,就可以通過求解如下問題 :
（1）
獲得一個唯一的确定的解
，将它與字典相乘，就可以得到信号
.
但由于上式式一個NP-hard非凸優化問題，是以我們需要另尋方法。
由 Candès 和 Donoho 提出的
範數下的凸化壓縮感覺恢複架構是一個裡程碑式的工作 ,它的基本思想是将式(5)的非凸的優化目标用
範數來代替 ，如下：
（2）
這就将式（1）的優化問題變成了一個凸優化問題 , 可以友善地轉化為線性規劃問題求解 , 是以稱之為凸化的壓縮感覺架構 。
5、壓縮感覺的關鍵要素：
從上述數學模型可知 ,壓縮感覺理論的實作包含三個關鍵要素 :稀疏性 、非相關觀測 、非線性優化重建 ,其中信号的稀疏性是壓縮感覺的必備條件 ,非相關觀測是壓縮感覺的關鍵 ,非線性優化是壓縮感覺重建信号的手段 。
信号的稀疏性是壓縮感覺理論的一個重要前提 ,并且直接影響着信号感覺的效率。
附上兩張手寫圖：