并查集是我暑假從高手那裡學到的一招,覺得真是太精妙的設計了。以前我無法解決的一類問題竟然可以用如此簡單高效的方法搞定。不分享出來真是對不起party了。(party:我靠,關我嘛事啊?我跟你很熟麼?)
來看一個執行個體,杭電1232暢通工程
首先在地圖上給你若幹個城鎮,這些城鎮都可以看作點,然後告訴你哪些對城鎮之間是有道路直接相連的。最後要解決的是整幅圖的連通性問題。比如随意給你兩個點,讓你判斷它們是否連通,或者問你整幅圖一共有幾個連通分支,也就是被分成了幾個互相獨立的塊。像暢通工程這題,問還需要修幾條路,實質就是求有幾個連通分支。如果是1個連通分支,說明整幅圖上的點都連起來了,不用再修路了;如果是2個連通分支,則隻要再修1條路,從兩個分支中各選一個點,把它們連起來,那麼所有的點都是連起來的了;如果是3個連通分支,則隻要再修兩條路……
以下面這組資料輸入資料來說明
4 2 1 3 4 3
第一行告訴你,一共有4個點,2條路。下面兩行告訴你,1、3之間有條路,4、3之間有條路。那麼整幅圖就被分成了1-3-4和2兩部分。隻要再加一條路,把2和其他任意一個點連起來,暢通工程就實作了,那麼這個這組資料的輸出結果就是1。好了,現在程式設計實作這個功能吧,城鎮有幾百個,路有不知道多少條,而且可能有回路。 這可如何是好?
我以前也不會呀,自從用了并查集之後,嗨,效果還真好!我們全家都用它!
并查集由一個整數型的數組和兩個函數構成。數組pre[]記錄了每個點的前導點是什麼,函數find是查找,join是合并。
int pre[1000 ];
int find(int x) //查找根節點
{
int r=x;
while ( pre[r ] != r ) //傳回根節點 r
r=pre[r ];
int i=x , j ;
while( i != r ) //路徑壓縮
{
j = pre[ i ]; // 在改變上級之前用臨時變量 j 記錄下他的值
pre[ i ]= r ; //把上級改為根節點
i=j;
}
return r ;
}
void join(int x,int y) //判斷x y是否連通,
如果已經連通,就不用管了 //如果不連通,就把它們所在的連通分支合并起,
{
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy)
pre[fx ]=fy;
}
為了解釋并查集的原理,我将舉一個更有愛的例子。 話說江湖上散落着各式各樣的大俠,有上千個之多。他們沒有什麼正當職業,整天背着劍在外面走來走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大俠們有一個優點就是講義氣,絕對不打自己的朋友。而且他們信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,隻要是能通過朋友關系串聯起來的,不管拐了多少個彎,都認為是自己人。這樣一來,江湖上就形成了一個一個的群落,通過兩兩之間的朋友關系串聯起來。而不在同一個群落的人,無論如何都無法通過朋友關系連起來,于是就可以放心往死了打。但是兩個原本互不相識的人,如何判斷是否屬于一個朋友圈呢?
我們可以在每個朋友圈内推舉出一個比較有名望的人,作為該圈子的代表人物,這樣,每個圈子就可以這樣命名“齊達内朋友之隊”“羅納爾多朋友之隊”……兩人隻要互相對一下自己的隊長是不是同一個人,就可以确定敵友關系了。
但是還有問題啊,大俠們隻知道自己直接的朋友是誰,很多人壓根就不認識隊長,要判斷自己的隊長是誰,隻能漫無目的的通過朋友的朋友關系問下去:“你是不是隊長?你是不是隊長?”這樣一來,隊長面子上挂不住了,而且效率太低,還有可能陷入無限循環中。于是隊長下令,重新組隊。隊内所有人實行分等級制度,形成樹狀結構,我隊長就是根節點,下面分别是二級隊員、三級隊員。每個人隻要記住自己的上級是誰就行了。遇到判斷敵友的時候,隻要一層層向上問,直到最高層,就可以在短時間内确定隊長是誰了。由于我們關心的隻是兩個人之間是否連通,至于他們是如何連通的,以及每個圈子内部的結構是怎樣的,甚至隊長是誰,并不重要。是以我們可以放任隊長随意重新組隊,隻要不搞錯敵友關系就好了。于是,門派産生了。
下面我們來看并查集的實作。 int pre[1000]; 這個數組,記錄了每個大俠的上級是誰。大俠們從1或者0開始編号(依據題意而定),pre[15]=3就表示15号大俠的上級是3号大俠。如果一個人的上級就是他自己,那說明他就是掌門人了,查找到此為止。也有孤家寡人自成一派的,比如歐陽鋒,那麼他的上級就是他自己。每個人都隻認自己的上級。比如胡青牛同學隻知道自己的上級是楊左使。張無忌是誰?不認識!要想知道自己的掌門是誰,隻能一級級查上去。 find這個函數就是找掌門用的,意義再清楚不過了(路徑壓縮算法先不論,後面再說)。
int find(int x) //查找我(x)的掌門
{
int r=x; //委托 r 去找掌門
while (pre[r ]!=r) //如果r的上級不是r自己(也就是說找到的大俠他不是掌門 = =)
r=pre[r ] ; // r 就接着找他的上級,直到找到掌門為止。
return r ; //掌門駕到~~~
}
再來看看join函數,就是在兩個點之間連一條線,這樣一來,原先它們所在的兩個闆塊的所有點就都可以互通了。這在圖上很好辦,畫條線就行了。但我們現在是用并查集來描述武林中的狀況的,一共隻有一個pre[]數組,該如何實作呢? 還是舉江湖的例子,假設現在武林中的形勢如圖所示。虛竹小和尚與周芷若MM是我非常喜歡的兩個人物,他們的終極boss分别是玄慈方丈和滅絕師太,那明顯就是兩個陣營了。我不希望他們互相打架,就對他倆說:“你們兩位拉拉勾,做好朋友吧。”他們看在我的面子上,同意了。這一同意可非同小可,整個少林和峨眉派的人就不能打架了。這麼重大的變化,可如何實作呀,要改動多少地方?其實非常簡單,我對玄慈方丈說:“大師,麻煩你把你的上級改為滅絕師太吧。這樣一來,兩派原先的所有人員的終極boss都是師太,那還打個球啊!反正我們關心的隻是連通性,門派内部的結構不要緊的。”玄慈一聽肯定火大了:“我靠,憑什麼是我變成她手下呀,怎麼不反過來?我抗議!”抗議無效,上天安排的,最大。反正誰加入誰效果是一樣的,我就随手指定了一個。這段函數的意思很明白了吧?
void join(int x,int y) //我想讓虛竹和周芷若做朋友
{
int fx=find(x),fy=find(y); //虛竹的老大是玄慈,芷若MM的老大是滅絕
if(fx!=fy) //玄慈和滅絕顯然不是同一個人
pre[fx ]=fy; //方丈隻好委委屈屈地當了師太的手下啦