C#資料結構與算法系列（十四）：遞歸——八皇後問題（回溯算法）

1.介紹

八皇後問題，是一個古老而著名的問題，是回溯算法的經典案例，該問題是國際西洋棋棋手馬克斯.貝瑟爾于1848年提出：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇後，使其不能互相攻擊，即

任意兩個皇後都不能處于同一行、同一列、同一斜線。問有多少種擺法（92）。

2.思路分析

第一個皇後先放第一行第一列

第二個皇後放在第二行第一列，然後判斷是否OK，如果不OK，繼續放在第二列，第三列，依次把所有列都放完，找到一個合适

繼續放第三個皇後，還是第一列，第二列。。。知道第8個皇後也能放在一個不沖突的位置，算是找到一個正确解

當得到一個正确解時，在棧中退到上一個棧時，就會開始回溯，即：将第一個皇後，放到第一列的所有正确解，全部得到

然後回頭繼續放第一個皇後放第二列，後面繼續循環執行執行1,2,4步驟

說明：理論上應該建立一個二維數組來表示棋盤，但是實際上可以通過算法，用一個一維數組即可解決問題. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //對應arr 下标 表示第幾行，即第幾個皇後，arr[i] = val , val 表示第i+1個皇後，放在第i+1行的第val+1列

3.圖解

 4.代碼實作

public class EightQueens
    {
        //定義一個max表示共有多少個皇後
        static int _max = 8;

        //定義數組arr,儲存皇後放置位置的結果，比如 arr={0,4,7,5,2,6,1,3}
        static int[] _arr = new int[_max];

        //初始化解法次數
        static int _count = 0;

        //初始化沖突次數
        static int _judgeCount = 0;
        public static void Test()
        {
            EightQueens.Check(0);

            Console.WriteLine($"一共有{_count}種解法");

            Console.WriteLine($"一共判斷沖突的次數{_judgeCount}次");
        }

        /// <summary>
        ///編寫一個方法，放置第n個皇後
        ///Check是每一次遞歸時，進入到Check中都有for(int i=0;i<_max;i++)，是以會有回溯
        /// </summary>
        /// <param name="n"></param>
        private static void Check(int n)
        {
            if (n == _max) //當n=8,說明8個皇後已經方法，因為初始值從0開始
            {
                Print();

                return;
            }

            //依次放入皇後，并判斷是否有沖突
            for (int i = 0; i < _max; i++)
            {
                //先把目前這個皇後n,放到該行的第1列
                _arr[n] = i;

                //判斷當放置第n個皇後到i列時，是否沖突
                if (Judge(n))
                {
                    //如果不沖突，接着放n+1個皇後，即開始遞歸
                    Check(n + 1);
                }

                //如果沖突，就繼續執行arr[n]=i,即将第n個皇後，放置在本行的後移的一個位置
            }
        }

        /// <summary>
        /// 檢視當我們放置第n個皇後，就去檢查該皇後是否和前面已經判斷的皇後沖突
        /// </summary>
        /// <param name="n">表示第n個皇後</param>
        /// <returns></returns>
        private static bool Judge(int n)
        {
            _judgeCount++;

            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                //1._arr[i] == _arr[n] 表示判斷第n個皇後，是否和前面的n-1個皇後在同一列
                //2.Math.Abs(n - i) == Math.Abs(_arr[n] - _arr[i])表示判斷第n個皇後是否和第i個皇後在同一個斜線
                //取個例子：當 n=1的時候 也就是放置第2列 Math.Abs(1-0)==Math.Abs(1-0)=1
                //3.判斷是否在同一行，沒有必要，n每次都在遞增
                if (_arr[i] == _arr[n] || Math.Abs(n - i) == Math.Abs(_arr[n] - _arr[i]))
                {
                    return false;
                }
            }

            return true;
        }

        /// <summary>
        /// 皇後的擺放位置輸出
        /// </summary>
        private static void Print()
        {
            _count++;

            for (int i = 0; i < _arr.Length; i++)
            {
                System.Console.Write(_arr[i] + " ");
            }

            System.Console.WriteLine();
        }
    }      

5.結果圖

0 4 7 5 2 6 1 3
0 5 7 2 6 3 1 4
0 6 3 5 7 1 4 2
0 6 4 7 1 3 5 2
1 3 5 7 2 0 6 4
1 4 6 0 2 7 5 3
1 4 6 3 0 7 5 2
1 5 0 6 3 7 2 4
1 5 7 2 0 3 6 4
1 6 2 5 7 4 0 3
1 6 4 7 0 3 5 2
1 7 5 0 2 4 6 3
2 0 6 4 7 1 3 5
2 4 1 7 0 6 3 5
2 4 1 7 5 3 6 0
2 4 6 0 3 1 7 5
2 4 7 3 0 6 1 5
2 5 1 4 7 0 6 3
2 5 1 6 0 3 7 4
2 5 1 6 4 0 7 3
2 5 3 0 7 4 6 1
2 5 3 1 7 4 6 0
2 5 7 0 3 6 4 1
2 5 7 0 4 6 1 3
2 5 7 1 3 0 6 4
2 6 1 7 4 0 3 5
2 6 1 7 5 3 0 4
2 7 3 6 0 5 1 4
3 0 4 7 1 6 2 5
3 0 4 7 5 2 6 1
3 1 4 7 5 0 2 6
3 1 6 2 5 7 0 4
3 1 6 2 5 7 4 0
3 1 6 4 0 7 5 2
3 1 7 4 6 0 2 5
3 1 7 5 0 2 4 6
3 5 0 4 1 7 2 6
3 5 7 1 6 0 2 4
3 5 7 2 0 6 4 1
3 6 0 7 4 1 5 2
3 6 2 7 1 4 0 5
3 6 4 1 5 0 2 7
3 6 4 2 0 5 7 1
3 7 0 2 5 1 6 4
3 7 0 4 6 1 5 2
3 7 4 2 0 6 1 5
4 0 3 5 7 1 6 2
4 0 7 3 1 6 2 5
4 0 7 5 2 6 1 3
4 1 3 5 7 2 0 6
4 1 3 6 2 7 5 0
4 1 5 0 6 3 7 2
4 1 7 0 3 6 2 5
4 2 0 5 7 1 3 6
4 2 0 6 1 7 5 3
4 2 7 3 6 0 5 1
4 6 0 2 7 5 3 1
4 6 0 3 1 7 5 2
4 6 1 3 7 0 2 5
4 6 1 5 2 0 3 7
4 6 1 5 2 0 7 3
4 6 3 0 2 7 5 1
4 7 3 0 2 5 1 6
4 7 3 0 6 1 5 2
5 0 4 1 7 2 6 3
5 1 6 0 2 4 7 3
5 1 6 0 3 7 4 2
5 2 0 6 4 7 1 3
5 2 0 7 3 1 6 4
5 2 0 7 4 1 3 6
5 2 4 6 0 3 1 7
5 2 4 7 0 3 1 6
5 2 6 1 3 7 0 4
5 2 6 1 7 4 0 3
5 2 6 3 0 7 1 4
5 3 0 4 7 1 6 2
5 3 1 7 4 6 0 2
5 3 6 0 2 4 1 7
5 3 6 0 7 1 4 2
5 7 1 3 0 6 4 2
6 0 2 7 5 3 1 4
6 1 3 0 7 4 2 5
6 1 5 2 0 3 7 4
6 2 0 5 7 4 1 3
6 2 7 1 4 0 5 3
6 3 1 4 7 0 2 5
6 3 1 7 5 0 2 4
6 4 2 0 5 7 1 3
7 1 3 0 6 4 2 5
7 1 4 2 0 6 3 5
7 2 0 5 1 4 6 3
7 3 0 2 5 1 6 4
一共有92種解法
一共判斷沖突的次數15720次