柯西過程（Cauchy process）

在機率論中，柯西過程（Cauchy process）是一種随機過程。 柯西過程有對稱和不對稱形式。術語“ Cauchy過程”一般指對稱柯西過程。

柯西過程具有許多特性：

1. Lévy過程；
2. 穩定過程（stable process）；
3. 純跳躍過程（pure jump process）；
4. 其矩是無限的(infinite moments)。

對稱柯西過程屬于Lévy過程的子類，可以用布朗運動或維納過程來描述。Lévy從屬者是與具有位置參數{\ displaystyle 0}和比例參數{\ displaystyle t ^ {2} / 2}的Lévy分布關聯的過程。[7] Lévy分布是反伽馬分布的特例。是以，使用{\ displaystyle C}表示柯西過程，并使用{\ displaystyle L}表示Lévy從屬者，對稱柯西過程可以描述為：{\ displaystyle C（t; 0,1）\;：= \ ; W（L（t; 0，t ^ {2} / 2））。}Lévy分布是布朗運動第一次撞擊時間的機率，是以柯西過程本質上是兩個獨立布朗運動的結果過程。[7]對稱柯西過程的Lévy–Khintchine表示是具有零漂移和零擴散的三元組，給出的Lévy–Khintchine三元組為{\ displaystyle（0,0，W）}，其中{\ displaystyle W（dx）= dx / （\ pi x ^ {2}）}。[8]對稱柯西處理的邊際特征函數具有以下形式：[1] [8] {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = e ^ {-t | \ theta |}。}對稱柯西過程的邊際機率分布是柯西分布，其密度為[8] [9] {\ displaystyle f（x; t）= {1 \ over \ pi} \ left [{t \ over x ^ {2} t ^ {2}} \ right]。}非對稱柯西pr