環面及其變體
要玩轉環面，先要構造出環面，然後才可以談其它。本節将介紹如何從環面出發，用數學公式讓它發生各種形變，以及如何變化參數，生成動畫。
01
構造環面
我們都很熟悉圓的參數方程，比如對一個半徑為 R 的圓心位于原點的圓，圓上的點的坐标 (x, y) 滿足以下方程：
這個方程雖然準确，卻不容易根據它直接畫出圖形。為了能構造性的生成曲線，采用所謂“參數方程”比較友善，也就是把 x、y 當作另一個參數 t 的函數。上述圓方程的一種可能的參數方程是：
參數 t 可以看作圓上的點和圓心所連成的直線和 x 軸的夾角，t 從 0 取到 2π，就完成了繞圓一周，也就畫出了一個圓。有了圓的參數方程，就不難構造出環面的參數方程。直覺想象一下，把一個圓 B 放在 xy 平面上，再有一個垂直于 xy 平面的立起來的圓 A，A 的圓心 O 始終落在 B 上，朝向是 B 上 O 點處的切線方向。隻要圓 A 繞 B 一周，就形成了一個環面。如下圖所示，紅色的就是圓 A，黑色的就是圓 B。
為不失一般性，不妨假設紅圓的半徑是 r，其圓心在黑圓上的點 (R Cos[u], R Sin[u], 0) 處。該怎麼才能畫出紅圓呢？我們需要知道此時紅圓的"局部标架"，也就是上圖中綠色部分的三個箭頭代表的三個機關向量。垂直向上的箭頭很好辦，就是 (0, 0, 1)；垂直于紅圓，也就是往裡的那個箭頭不影響繪制紅圓可以不管；而剩下的朝右的那個箭頭和圓心是共線的，是以就是 (Cos[u], Sin[u], 0)。于是假設紅圓的參數為 v，可計算其參數方程如下：
圓心坐标+上箭頭向量 r sin(v)+右箭頭向量 r cos(v)
用 Mathematica 計算化簡
于是我們定義環面參數方程函數如下。說明一下這個函數還有個可選的設定 L 用于控制環面在 z 軸方向的拉伸程度。預設就是 1，放在這裡主要是為了繪制某種曲面時能複用這部分代碼，省得重新定義計算。
這個函數定義有點特别，設定好 R、r、L 後傳回的是 Function，一個代表曲面的向量值函數。傳回的函數有兩個參數 u 和 v：u 從 0 到 2\[Pi] 的話，就相當于繞大圓一圈，而 v 從 0 到 2\[Pi]，則相當于繞小圓一圈。u、v 彼此獨立，則互相交織形成了環面。可以用 ParametricPlot3D 把它畫出來，就是一個甜甜圈的樣子：
02
變化環面
我們得到了環面的參數方程，并把它畫了出來，從視覺方面驗證了這個方程的正确性。下面我們就可以在之前計算的基礎上，變換花樣了。
改變環繞曲線
前文說了，環面是一個圓 A 繞另一個圓 B 形成的曲面，但 A 和 B 隻要拓撲上還是個圓，也就是自身不相交的閉合曲線，那麼這麼繞圈操作之後，拓撲上得到的就還是一個環面。這裡我們考慮一種特殊的曲線：内擺線。内擺線定義如下，它将是我們這一節讨論的，不同于圓的環繞曲線。
在這一小節，我們隻讨論改變 A 的情形，下一節“環面上的曲線”會讨論推廣的改變 B 的情形。現在我們就定義一個可以任意指定環繞曲線 A 的環面函數：
這個定義和 torusSurface 十分相似，無非是把 r Cos[v] 換成 c[[1]]，把 r Sin[v] 換成 c[[2]] 而已。接下來我們把橫截面曲線和對應生成的環面對比的繪制出來，環面隻繪制出了四分之三，空出一角并加了厚度，讓橫截面更加清晰可辨。
從定義和上面幾幅圖可以看到，閉合曲線 A 在環繞過程中并不發生變化。注意内擺線的形狀都是某種正 k 邊形，我們可以考慮讓 A 在環繞過程中自身繞中心旋轉，隻要旋轉速率适當，就可以在環繞一周後，仍然形成閉合曲面。經過一番思考，可以把這個想法寫成如下函數：
這個函數裡的 k 表示了截面是正 k 邊形，n 則表示自身旋轉扭曲的程度，相比原來多旋轉了 n/k 圈。下圖展示了 k 分别為 3、4、5 時的環面：
再來一張固定 k 為 3，n 分别為 1、2、3 時的環面，從頂部看：
我們構造的當 k = 3、n = 1 時的扭曲環面，和雕塑家 Helaman Ferguson 的著名作品“Umbilic Torus SC”的整體形狀相當一緻：
改變表面起伏
對于環面上任意一點，都存在一個平面剛好和環面相切，我們稱之為環面在這一點的切平面。垂直于切平面的機關向量稱之為環面在這一點的法向量，垂直于平面的法向量有兩個，一個朝上一個朝下。環面是一個閉曲面，把空間劃分成了内外兩部分，是以環面上一點的兩個法向量可以說一個朝裡一個朝外。讓環面沿着其法向量的方向有規律的起伏，可以形成一些有趣的形狀。
從法向量的定義可以知道，要計算法向量，關鍵在于計算切平面，而環面上一點切平面則取決于該點上兩個不共線的切向量。我們的環面參數方程可以看作二進制向量函數，它的兩個一階偏導數剛好就可以用作切向量，它們叉積的方向就是該點上一個法向量的方向，改變叉積順序就能得到相反方向。我們可以适當選擇叉積順序來得到朝外的法向量，以友善後續計算。
利用 Mathematica 的符号好計算功能，我們很容易得到環面上法向量的公式，計算很直接，求偏導數，求叉積，然後在歸一化，因為法向量是機關向量。
據此我們可以定義環面上的法向量函數如下：
然後我們就可以定義不同的 “起伏函數” 來改變環面的形狀了。起伏函數是一個标量函數，表示沿法向量起伏的高度就可以了。新形狀參數式總是這樣的：環面 + 起伏 * 法向量
下面我們舉幾個例子，首先可以讓環面沿被環繞的大圓的方向漲縮，定義起伏函數如下，m 表示起伏高度，num 表示漲縮次數：
我們也可以讓環面長出一些尖刺：
更有意思的是，我們可以給上述計算再添加一個參數 t，根據不同的 t 生成不同的圖像，然後輸出成動畫。特别是我們可以精心挑選 t 的範圍，讓這個動畫能夠首尾平滑連接配接，形成無限循環的 GIF 動畫效果。下面就是在尖刺圓環的起伏函數的 v 方向，即環繞的小圓方向上加上參數 t，形成一種不斷吞噬的效果：
然後輸出成 GIF 動圖：
上圖的尖刺分布有點太過“平實”了，我們還可以定義一個新的起伏函數，讓尖刺能夠交錯分布：
然後一樣我們可以生成動圖：
上面定義的兩個起伏函數都不小于零，可以說有起無伏，為了讓起伏函數名副其實，我們再定義一個，看看效果：
環面上的曲線
橫向彈簧
之前的計算裡，我們都用了 u、v 兩個互相獨立的參數來生成曲面。如果它們不是互相獨立的會怎麼樣呢？單個參數會生成曲線，而由于我們用環面函數做基礎，那麼很大可能我們得到的是環面上的曲線。這就來試試看好了：
這看起來就像是一圈彈簧，為什麼是這個形狀呢？這是可以解釋的：前面環面函數 torusSurface[R, r][u, v] 中，u、v 彼此獨立互相交織，形成環面。現在不是獨立的了，u 繞大圓的同時，v 以 9 倍于 u 的速度繞小圓，這不就形成螺旋了嘛。上面把 v 固定成 9u 得到的是很均勻的"彈簧"形狀，未免有點無趣，我們可以把 v 變成更加複雜的關于 u 的函數，再加上和之前類似的添加額外參數 t 的技術，就可以得到比較有意思的動畫了：
動畫雖然有趣，但光這樣的線條還是有些單調了，我們可以把它變成管狀。這就是我們之前提到的用圓 A 繞圓 B，但現在 B 不再是一個圓的情形。所用的方法和一開始我們從圓得到環面是一樣的：找到沿着曲線的一個局部标架，然後就可以得到參數方程了。幸運的是，微分幾何中提供了空間曲線一種局部标架：Frenet 标架。要計算這種标架，先要知道的是曲線的一階和二階導數，這可以說是 Mathematica 的強項：
有了一階和二階導數就可以得到組成 Frenet 标架的三個機關向量，進而定義上述"彈簧"管狀版本的函數：
我們用和之前相似的做法，可以到的上述管狀曲線的 GIF 動畫：
縱向彈簧
還可以交換一下 u 和 9u 的位置，曲線變成小圓旋轉一圈時，大圓旋轉了九圈，這樣就是一個縱向的彈簧了，而且由于環面的關系，這個彈簧是内外兩層連在一起形成的。為了美觀，我們拉伸了環面 Z 方向的高度。
動畫效果也還不錯：
然後我們仍然可以得到一個管狀版本，并輸出動畫：
上述的計算過程非常繁瑣，運作速度比較慢，我用這種方法隻是為了展示"管狀化?imageView2/2/w/1620"的數學原理。Mathematica 裡提供了一個 Tube 函數，可以把折線、曲線"管狀化"，我們用它的話速度會非常快，直接計算曲線上的 1000 個點，然後用 Tube 轉換成管狀：
環面扭結
前面的兩個例子展現了曲線 torusSurface[R, r][u, 9u] 和 torusSurface[R, r][9u, u] 兩種情況，如果最後的參數是一般性的 [n*u, m*u] 會是什麼樣子呢？當 n 和 m 互素時，我們得到的是一大類紐結，叫做"環面紐結"。下面就用 Tube 展示了幾種環面紐結：
從頂部看這些環面紐結是這個樣子的：
進一步推廣
我們最後再舉一個例子。著名的荷蘭畫家 Escher 有一幅版畫 Spirals，可以看作四條螺旋帶組成的，不斷縮小小圓半徑的環面：
我們隻要讓環面函數 torusSurface[R, r][u, v] 裡的 r 随着 u 不斷變化，同時限制 v 的變化範圍，就能生成一條螺旋帶，然後把四條這樣的螺旋帶放在一起，就可以構造出和 Spirals 裡極為相似的圖形了。這裡我們再次用到了 ParametricPlot3D 裡的 PlotTheme->"ThickSurface" 選項，讓曲面帶有厚度：
在環面上能做的變化還有很多很多，限于篇幅這裡就不繼續列舉下去了。希望目前為止的這些展示能讓讀者有所啟發，有興趣的讀者可以進一步繼續探索其它可能的變化。
END