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【思路要點】
題目中對矩陣的限制等價于如下兩點:
( 1 ) (1) (1) 、同一條副對角線上的元素單調不增。
( 2 ) (2) (2) 、若同一條副對角線上相鄰的兩個位置相等,那麼它們右下方的一個矩陣的每一條一條副對角線上的元素均相等。
- 用搜尋實作該算法,并利用上述兩個性質剪枝。
- 注意到搜尋的每一個分支都至少有一個答案,是以其時間複雜度為 O ( A n s ( N , M ) ) O(Ans(N,M)) O(Ans(N,M)) 。
- 打表觀察發現對于任意 M > N + 1 M>N+1 M>N+1 ,有 A n s ( N , M ) = 3 ∗ A n s ( N , M − 1 ) Ans(N,M)=3*Ans(N,M-1) Ans(N,M)=3∗Ans(N,M−1) ,是以我們至多需要計算 A n s ( N , N + 1 ) Ans(N,N+1) Ans(N,N+1) ,剩餘部分可用快速幂解決。
- 時間複雜度 O ( A n s ( N , N + 1 ) + L o g M ) O(Ans(N,N+1)+LogM) O(Ans(N,N+1)+LogM) ,其中 A n s ( 8 , 9 ) = 10879488 Ans(8,9)=10879488 Ans(8,9)=10879488 。
【代碼】
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 15; const int P = 1e9 + 7; typedef long long ll; typedef long double ld; typedef unsigned long long ull; template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); } template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } template <typename T> void read(T &x) { x = 0; int f = 1; char c = getchar(); for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f; for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0'; x *= f; } template <typename T> void write(T x) { if (x < 0) x = -x, putchar('-'); if (x > 9) write(x / 10); putchar(x % 10 + '0'); } template <typename T> void writeln(T x) { write(x); puts(""); } int n, m, delta, ans, a[MAXN][MAXN]; bool same[MAXN][MAXN]; void work(int x, int y) { if (x == n + 1) { ans++; return; } int tx = x, ty = y + 1; if (ty >= m + 1) ty = 1, tx += 1; for (int i = 0; i <= 1; i++) { if (i < a[x - 1][y + 1]) continue; if (same[x - 1][y] && x - 1 >= 1 && y + 1 <= m && i != a[x - 1][y + 1]) continue; a[x][y] = i, same[x][y] = a[x - 1][y] == a[x][y - 1] || same[x - 1][y] || same[x][y - 1]; work(tx, ty); } } int power(int x, int y) { if (y == 0) return 1; int tmp = power(x, y / 2); if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P; else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P; } int main() { freopen("game.in", "r", stdin); freopen("game.out", "w", stdout); read(n), read(m), delta = max(0, m - (n + 1)); chkmin(m, n + 1); for (int i = 1; i <= n; i++) a[i][0] = 8; for (int i = 1; i <= m; i++) a[0][i] = -8; work(1, 1); if (n == 1) writeln(1ll * ans * power(2, delta) % P); else writeln(1ll * ans * power(3, delta) % P); return 0; }