相關問題的讨論
在以上幾節中,我們探讨了内在模分量本質和局部窄帶信号的聯系,也提出了将具有自适應變化參數的時變濾波器作為經驗模态分解的實作方式,比較完整的建立和完善了希爾伯特黃變換的理論基礎和理論體系。因而可以比較深入和更加準确的探讨理論上和實踐上的一些相關問題。
石顯：希爾伯特黃變換理論上的研究—内在模分量IMF的本質zhuanlan.zhihu.com
1關于第五個難點的解釋與最小窗尺度
在3.1.4節中已經說明了希爾伯特時頻分析能夠适用于局部窄帶信号,而且根據Hilbert的線性性質和Bedrosian乘積定理,可以簡單的證明:對局部窄帶信号進行希爾伯特時頻分析,定義和求解瞬時頻率能夠很好的解決前四個沖突(難點)。事實上3.1.3節中提到的幾類信号都不滿足局部窄帶信号或者窄帶信号的要求,進而導緻了無法應用希爾伯特時頻分析方法。
在先前關于第五個難點的讨論中認為,如果要求解信号x(t)在t1時刻的
瞬時頻率,并不需要知道t1時刻之後的資料。現實中處理的資料不可能從
T=-∞初開始記錄,一般的從某個特殊的時間點t=t0開始,進而在希爾伯特
時頻分析中,希爾伯特變換的積分上下限可以修改成[t0,t1],即
上述讨論表明,在希爾伯特時頻分析理論中,由于瞬時頻率是存在且唯一确定的,隻要最後能夠得到合理的結果,可以對信号x(t)的資料進行截短處理。這一個結論對于減小希爾伯特譜分析的運算量是非常有利的,有時候我們并不需要求解整個信号長度上各點的瞬時頻率,而隻對少數幾個點的局部特性感興趣,那麼可以對這個信号分解後的單分量信号(比如内在模分量IMF)進行截斷處理,隻對這些點周圍的資料進行希爾伯特積分運算,進而大大減少資料運算的次數。關于最小窗尺度的要求也表明,作為局部窄帶信号的IMF至少應該持續一個周期的長度,因而必須包含三個極值點,這一點構成了在EMD算法中判斷分解完成的一個準則(判斷殘餘信号是不是可以繼續分解)。此外截短的希爾伯特譜分析同人耳的聽覺模型有着很大程度的相似,是以可以用于語音信号處理的相關領域。
說明:實際上,半個信号周期也基本上能夠滿足Hilberi變換的要求,是以可以将信号對極值點數目的最小要求修改為兩個,這是理論上的結果,還需要具體的EMD算法和實驗來證明。
2邊界處理/端點延拓問題處理
在3.4.1節中認為對局部窄帶信号進行希爾伯特時頻分析,要求信号的最小長度要大于一個最小周期的長度,也就表明運用希爾伯特黃變換對信号進行分析,信号上的任一點都應該包含在一個相鄰尺度内。
在黃最初提出的希爾伯特黃變換理論中,經驗模态分解是通過包絡拟合的方法實作的(2.3.1節),而且包絡拟合的主要依據是信号的極大值點和極小值點。這樣對于信号在邊界部分的點,就不能夠被一個最小周期尺度所包含,是以必須進行端點沿拓。
最近幾年關于希爾伯特黃變換的理論研究成果中,關于邊界效應(端點延拓處理)又提出了包括特征波延拓、鏡像/對稱延拓、全局統計平均法、平行線段延拓、多項式拟合以及神經網絡預測、小波一卡爾曼濾波預測等新方法,在端點處能夠很好的進行包絡拟合進而解決端點效應。然而這些方法都是基于信号在邊界處是短時平穩這一重要假設的,是以,當信号不滿足這一條件,或者在邊界處短時平穩性比較差時,很難找到一種合理的普遍的邊界延拓方法。在經驗模态分解過程中,随着分解的繼續(分解層數的增加),局部尺度變長,端點處的短時平穩性很難得到保證,而且考慮到在小尺度分解造成的邊界效應會影響到大尺度分解的效果,因而邊界效應更加容易影響或者污染處于低頻段的IMF,這與我們實驗的結果是一緻的。
為了更好的解決邊界效應,應當對實驗資料進行預處理。在對語音信号和振動信号的處理技術中,通常的做法是檢測信号邊界,截取我們感興趣的時間片斷;同時進行加窗(分幀)處理(平滑窗的效果更好),使得信号在邊界滿足短時平穩特性,或者在邊界處的能量收斂為0。這樣,可以保證運用端點延拓技術的合理性,減小邊界效應;另外,即使仍然存在邊界效應,由于邊界處的能量極小,對于信号處理也不會造成嚴重的影響。
3關于經驗模态分解的頻率分辨率
關于這一點可以做這樣的解釋,長期以來我們對信号模型的認識都是通過傅立葉變換實作的,而傅立葉變化的基礎是三角函數(比如說餘弦信号),進而使我們相信自然界中所有信号模型都是若幹個餘弦信号的疊加。事實上,這一觀點束縛了我們對自然界中信号的了解。現實世界的許多信号(比如像音頻信号)用AM-FM(調頻調幅信号)建立模型更加合理。而這個調頻調幅信号在通常情況下滿足窄帶信号的要求。在某些情況下,經驗模态分解的頻率分辨率要弱于傅立葉分析,但是它能夠合理的将信号分解成内在模分量之和的形式,進而清楚的得到信号的時頻分析表示,這對于我們認識和了解世界,分析和建立信号的模型是非常有利的。
說明:在國外的有關論文中提到了運用屏蔽信号(maskingsignal)的方法提高EMD分解的分辨率,實作将兩個接近的頻率分離出來。相關資料可以參考有關論文,在此不再贅述。
4經驗模态分解的正交性
關于經驗模态分解的正交性,對于希爾伯特黃變換理論的建立是一個至關重要的問題。它的正交性是從算法上表示的,沒有理論上的證明,因而被它的反對者用來攻擊希爾伯特黃變換理論。下面我們基于3.1節和3.2節的讨論從理論上給出關于EMD正交性的證明。
首先我們讨論一下經驗模态分解的基函數問題。對于傅立葉變換或者傅立葉分析它的基函數是三角函數,因而具有明顯的正交性;對于小波分解,它的基函數是變尺度的小波函數,它具有時域上的緊支撐特性和頻域上的帶通特性,有關的文獻己經證明了不同尺度和不同位移的小波函數是正交的;那麼對于經驗模态分解,它的基函數是什麼,是否具有正交性。
至此,基于3.1節和3.2節的讨論,我們從理論上證明了經驗模态分解方法的正交特性,而且指出,EMD設計的越完善,信号資料點數越大,就能夠更嚴格的實作正交特性。
5希爾伯特黃變換與小波變換的關系
前面的讨論表明EMD分解的本質是具有時變參數的自适應(時變)濾波器,它在時間軸上滑動,根據信号的局部特征點或者局部尺度對信号進行自适應的窄帶濾波。3.4.4節中認為經驗模态分解的基函數是加窗的窄帶信号(進而具有緊支撐特性)。而對于小波的有關研究表明小波分解以及小波函數從頻域看是多尺度的窄帶濾波器網。
是以EMD分解和小波分解從本質上是一緻的,都是作為窄帶濾波器。不同的是在EMD分解中濾波器的參數不僅随着分解層數變化,而且随着時間(局部)尺度變化。而小波濾波器的參數隻随着分解層數變化(一旦標明小波基,這種變化隻展現在濾波器的視窗大小上,對于濾波器的形狀沒有影響)。
對于比較常用的二進小波,小波濾波器隻對應了離散個二進尺度,這些尺度未必能夠很好的适應,或者跟随信号的(局部)尺度變化。而且EMD分解的濾波器具有更好的平坦性和截止特性,是以對信号波形有着更好的适應性;小波變換要求根據不同的信号波形确定不同的小波基,但是即使對于同一個信号,對于不同的分解層數和不同的局部波形,也可能需要不同的小波基,是以小波基不具有自适應特性,這一點是小波變換最緻命的一個缺點。
根據上述讨論,可以推出以下結論:(l)如果有足夠的先驗知識,确認某個小波基對信号的各個尺度(層)和各個局部均适應或者最佳比對(全局最佳),那麼可以利用小波分解實作EMD分解。(2)對小波分解結果的分析可以不通過FFT等基于傅立葉變換的信号分析方法,同樣可以應用希爾伯特時頻分析方法,近似的得到具有實際意義的瞬時頻率和瞬時頻幅表示。(3)二進小波變換也存在類似3.4.3關于分解的頻率分辨率問題。這幾個結論還有待更多的實驗證明和更深層次的探讨。
說明:事實上,迄今為止的研究并沒有給出關于EMD分解對應的最佳(理想)濾波器的具體實作形式,在這裡姑且認為是根據局部尺度自适應變化的具有平坦性和截止特性的窄帶濾波器。
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