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本文将使用三種方法使模型适合曲線資料：1）多項式回歸；2）用多項式樣條進行B樣條回歸；3） 進行非線性回歸。在此示例中，這三個中的每一個都将找到基本相同的最佳拟合曲線。
多項式回歸
多項式回歸實際上隻是多元回歸的一種特殊情況。
對于線性模型（lm），調整後的R平方包含在summary（model）語句的輸出中。AIC是通過其自己的函數調用AIC（model）生成的。使用将方差分析函數應用于兩個模型進行額外的平方和檢驗。
對于AIC，越小越好。對于調整後的R平方，越大越好。将模型a與模型b進行比較的額外平方和檢驗的非顯着p值表明，帶有額外項的模型與縮小模型相比，并未顯着減少平方誤差和。也就是說，p值不顯着表明帶有附加項的模型并不比簡化模型好。
Data = read.table(textConnection(Input),header=TRUE)### Change Length from integer to numeric variable### otherwise, we will get an integer overflow error on big numbersData$Length = as.numeric(Data$Length)### Create quadratic, cubic, quartic variableslibrary(dplyr)Data = mutate(Data, Length2 = Length*Length, Length3 = Length*Length*Length, Length4 = Length*Length*Length*Length)library(FSA)headtail(Data) Length Clutch Length2 Length3 Length41 284 3 80656 22906304 65053903362 290 2 84100 24389000 70728100003 290 7 84100 24389000 707281000016 323 13 104329 33698267 1088454024117 334 2 111556 37259704 1244474113618 334 8 111556 37259704 12444741136 複制
定義要比較的模型
model.1 = lm (Clutch ~ Length, data=Data)model.2 = lm (Clutch ~ Length + Length2, data=Data)model.3 = lm (Clutch ~ Length + Length2 + Length3, data=Data)model.4 = lm (Clutch ~ Length + Length2 + Length3 + Length4, data=Data) 複制
生成這些模型的模型選擇标準統計資訊
summary(model.1)Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) -0.4353 17.3499 -0.03 0.98Length 0.0276 0.0563 0.49 0.63Multiple R-squared: 0.0148, Adjusted R-squared: -0.0468F-statistic: 0.24 on 1 and 16 DF, p-value: 0.631AIC(model.1)[1] 99.133summary(model.2)Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -9.00e+02 2.70e+02 -3.33 0.0046 **Length 5.86e+00 1.75e+00 3.35 0.0044 **Length2 -9.42e-03 2.83e-03 -3.33 0.0045 **Multiple R-squared: 0.434, Adjusted R-squared: 0.358F-statistic: 5.75 on 2 and 15 DF, p-value: 0.014AIC(model.2)[1] 91.16157anova(model.1, model.2)Analysis of Variance Table Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) 1 16 186.15 2 15 106.97 1 79.178 11.102 0.00455 ** 複制
其餘模型繼續此過程
| 四個多項式模型的模型選擇标準。模型2的AIC最低，表明對于這些資料，它是此清單中的最佳模型。同樣，模型2顯示了最大的調整後R平方。最後，額外的SS測試顯示模型2優于模型1，但模型3并不優于模型2。所有這些證據表明選擇了模型2。 | |||
|---|---|---|---|
| 模型 | AIC | 調整後的R平方 | p值 |
| 1 | 99.1 | -0.047 | |
| 2 | 91.2 | 0.36 | 0.0045 |
| 3 | 92.7 | 0.33 | 0.55 |
| 4 | 94.4 | 0.29 | 0.64 |
對比與方差分析
AIC，AICc或BIC中的任何一個都可以最小化以選擇最佳模型。
$Fit.criteria Rank Df.res AIC AICc BIC R.squared Adj.R.sq p.value Shapiro.W Shapiro.p1 2 16 99.13 100.80 101.80 0.01478 -0.0468 0.63080 0.9559 0.52532 3 15 91.16 94.24 94.72 0.43380 0.3583 0.01403 0.9605 0.61163 4 14 92.68 97.68 97.14 0.44860 0.3305 0.03496 0.9762 0.90254 5 13 94.37 102.00 99.71 0.45810 0.2914 0.07413 0.9797 0.9474 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) 1 16 186.15 2 15 106.97 1 79.178 10.0535 0.007372 ** ## Compares m.2 to m.13 14 104.18 1 2.797 0.3551 0.561448 ## Compares m.3 to m.24 13 102.38 1 1.792 0.2276 0.641254 ## Compares m.4 to m.3 複制
研究最終模型
Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -9.00e+02 2.70e+02 -3.33 0.0046 **Length 5.86e+00 1.75e+00 3.35 0.0044 **Length2 -9.42e-03 2.83e-03 -3.33 0.0045 **Multiple R-squared: 0.434, Adjusted R-squared: 0.358F-statistic: 5.75 on 2 and 15 DF, p-value: 0.014Anova Table (Type II tests)Response: Clutch Sum Sq Df F value Pr(>F) Length 79.9 1 11.2 0.0044 **Length2 79.2 1 11.1 0.0045 **Residuals 107.0 15 複制
模型的簡單圖解
檢查模型的假設
線性模型中殘差的直方圖。這些殘差的分布應近似正态。
殘差與預測值的關系圖。殘差應無偏且均等。
###通過以下方式檢查其他模型：
具有多項式樣條的B樣條回歸
B樣條回歸使用線性或多項式回歸的較小部分。它不假設變量之間存線上性關系，但是殘差仍應是獨立的。該模型可能會受到異常值的影響。
### --------------------------------------------------------------### B-spline regression, turtle carapace example ### --------------------------------------------------------------summary(model) # Display p-value and R-squaredResidual standard error: 2.671 on 15 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.4338, Adjusted R-squared: 0.3583F-statistic: 5.747 on 2 and 15 DF, p-value: 0.01403 複制
模型的簡單圖解
檢查模型的假設
線性模型中殘差的直方圖。這些殘差的分布應近似正态。
殘差與預測值的關系圖。殘差應無偏且均等。
非線性回歸
非線性回歸可以将各種非線性模型拟合到資料集。這些模型可能包括指數模型，對數模型，衰減曲線或增長曲線。通過疊代過程，直到一定的收斂條件得到滿足先後找到更好的參數估計。
在此示例中，我們假設要對資料拟合抛物線。
資料中包含變量（Clutch和Length），以及我們要估計的參數（Lcenter，Cmax和a）。
沒有選擇參數的初始估計的固定過程。通常，參數是有意義的。這裡Lcenter 是頂點的x坐标，Cmax是頂點的y坐标。是以我們可以猜測出這些合理的值。 盡管我們知道參數a應該是負的，因為抛物線向下打開。
因為nls使用基于參數初始估計的疊代過程，是以如果估計值相差太遠，它将無法找到解決方案，它可能會傳回一組不太适合資料的參數估計。繪制解決方案并確定其合理很重要。
如果您希望模型具有整體p值，并且模型具有僞R平方，則需要将模型與null模型進行比較。從技術上講，要使其有效，必須将null模型嵌套在拟合模型中。這意味着null模型是拟合模型的特例。
對于沒有定義r平方的模型，已經開發了各種僞R平方值。
### --------------------------------------------------------------### Nonlinear regression, turtle carapace example### --------------------------------------------------------------Data = read.table(textConnection(Input),header=TRUE)Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) Lcenter 310.72865 2.37976 130.57 < 2e-16 ***Cmax 10.05879 0.86359 11.65 6.5e-09 ***a -0.00942 0.00283 -3.33 0.0045 ** 複制
确定總體p值和僞R平方
anova(model, model.null) Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F) 1 15 106.97 2 17 188.94 -2 -81.971 5.747 0.01403 *$Pseudo.R.squared.for.model.vs.null Pseudo.R.squaredMcFadden 0.109631Cox and Snell (ML) 0.433836Nagelkerke (Cragg and Uhler) 0.436269 複制
确定參數的置信區間
2.5 % 97.5 %Lcenter 305.6563154 315.800988774Cmax 8.2180886 11.899483768a -0.0154538 -0.003395949------Bootstrap statistics Estimate Std. errorLcenter 311.07998936 2.872859816Cmax 10.13306941 0.764154661a -0.00938236 0.002599385------Median of bootstrap estimates and percentile confidence intervals Median 2.5% 97.5%Lcenter 310.770796703 306.78718266 316.153528168Cmax 10.157560932 8.58974408 11.583719723a -0.009402318 -0.01432593 -0.004265714 複制
模型的簡單圖解
檢查模型的假設
線性模型中殘差的直方圖。這些殘差的分布應近似正态。
plot(fitted(model), residuals(model)) 複制
殘差與預測值的關系圖。殘差無偏且均等。