本文是關于一個虛構的對象，稱為帶一個元素的域，有時表示為F_un。F表示域，而“un”表示1。當我第一次聽說這個的時候，我以為這是一個笑話。對象是“Fun”，它并不存在。
但是很多偉大的數學家已經在這方面做了很多研究，如雅克·提茨(Jacques Tits)，阿蘭·康尼斯(Alain Connes)，尤裡·曼甯(Yuri Manin)等等。
一個精妙的公式可能會對數學的多個分支産生重大影響，包括計算複雜性理論、非交換幾何學和代數數論等。
本文将集中讨論為什麼它可能對黎曼猜想有所幫助。讓我們開始吧。
域是什麼？
域是數學的基本對象之一。域是一個具有兩個操作(加法和乘法)的集合，其中有一個加法的機關(0)和一個乘法的機關(1)，每個元素(除了0)對這兩個操作都有一個逆。
域有很多種，其中實數域 最容易了解。每個實數都有一個加法的逆元素。例如，3的加性逆元素是-3，因為3+(-3)=0。每一個非零實數都有一個乘法的逆元素。例如，3的乘法逆元素是(1/3)。這是因為3*(1/3)=1。
同理，有理數集 也是一個域。還有 ，也就是複數(虛數)的集合也是一個域。
并不是所有數字系統都是域。整數集合 不能構成一個域，因為雖然有加法和乘法運算，但3沒有乘法逆(1/3不是整數)。
并不是所有的域都是無限的。實際上，帶有“mod 3”算術的整數(表示為 /3)是一個包含三個元素的域。
Mod 3算術可以正常的加和乘，然後像時鐘一樣循環：0，1，2，3 = 0，4 = 1，5 = 2，6 =0，……(負号也可以，-1=2，等等)。
我們可以驗證一下：
1 + 2 = 0。這表明1是2的加法逆元素(反之亦然)。
2 * 2 = 4 = 1。這表明2是它自己的乘法逆元素。
這是唯一兩個很難驗證的數字，是以 /3确實是一個域。
在這一點上，域是很容易了解的。注意到在有限域的情況下會發生一些奇怪的事情。如果你把1和它自己相加3次，你會得到加法恒等式1+1+1=0。但如果你在無限域中這樣做，這永遠不會發生。
如果将1和它自身相加有限次得到0，相加的次數被稱為域的特征。我們用字母p表示。 /3的特征是3。
如果1和它本身相加不管你做多少次都不會得到0，那麼這個域的特性就是0。
重要術語：我将在本文中繼續提到正的特性。這是表示特征不等于0的标準方法。換句話說， p>0。
大多數關于抽象代數的第一門課程都會證明一個驚人的事實，即在有限域的情況下，這個特征總是一個素數！此外，有限域的元素數總是這個素數的幂，即p (p是這種域的特征)。
相反，對于任何素數幂，都有一個顯式的構造，用于包含這麼多元素的域。是以，域有2個元素，3個元素，4個元素，5個元素，7，8，9，等等。沒有包含6個或10個元素的域。
為了完備起見，并不是所有的無限域都具有0的特征。這種有限的解釋很容易讓人産生錯誤的印象。
這給我們帶來了一個關鍵問題，沒有一個域隻有一個元素！(也就是說，1不是素數幂)。
在深入讨論這個問題之前，讓我們先繞個圈子，看看為什麼有人會希望有這樣一個東西。
有限域上的黎曼假設
這才是真正酷的地方。
事實證明，在正特征域上“做幾何”通常比在0特征上更容易。我就不細說原因了。
是以，有時這是一個很好的工具，你可以把你想要證明的東西通過 簡化為正的特性，在那裡證明它，然後試圖以某種方式把它提升到0特征(這實際上是本文的一個主要觀點)。
要定義幾何在正特性中的含義有點複雜，但我們可以依靠一個相當準确的類比。 或 上的幾何隻是研究由多項式的零集形成的形狀。
是以，如果在 上，有兩個變量，一個多項式p(x，y)=y-x ，當它等于0時，你得到的幾何圖形就是抛物線：
x = 0
或者大家更熟悉的y=x ：
後續我将在另外兩篇文章中讨論 上的其他理論(霍奇猜想、法爾廷斯定理和莫德爾猜想猜想)。
當你在 上這樣做時，你會發現拓撲結構和整數解的數量(費馬最後定理等)之間有一個有趣的互相作用。
我們可以在有限域上做同樣的事情。域 /3上的多項式p(x，y)=y-x 的幾何形式來自于代入并檢查零集。它更難想象成“幾何圖形”，但實際上更容易處理，因為它是有限的。
實際上，我們可以确定{(0，0)，(1，1)，(2，1)}是僅有的三個點。我省略了一些重要的細節，但這種思考方式對于擷取要點來說已經足夠好了。
ζ函數(Zeta Functions)
假設我們從一個有限域開始，該域上有p個元素，比如F，和一條“曲線”C(為簡單起見，多項式的零集)。
我們可以計算C的點數，N(1)。
然後我們可以在有p^2元素的域上看同樣的方程，把它叫做N(2)等等。
是以N是一個函數。N(k)就是C在有p^k個元素的域上的點數。
下一部分看起來很複雜，但它會大大簡化。
考慮到函數：
C的局部ζ函數定義為：
這可能看起來很瘋狂，但我們可以通過一個例子很容易地看出，定義的構造是為了消去和簡化。
如果我們從多項式p(x)=x開始，那麼任意域上x=0的唯一解就是x=0。
無論我們檢查多少個域，都隻有一個點。是以，對于所有k, N(k)=1。
讓我們代入：
是以：
韋爾猜想是由安德烈·韋爾(André Weil)在1949年提出的關于任意X(不隻是曲線或點，也包括高維空間)的Z(X，t)猜想。從那時起，他們一直是代數和算術幾何研究的主要驅動力之一。
數學家們用了幾十年的時間證明了它們，并且發現了許多現代的替代證明。關鍵的結論是，韋爾猜想之一就是這些函數的“黎曼猜想”。韋爾自己證明了有限域上曲線的黎曼猜想。
通過适當的幾何機制，證明是相對容易的。
隻有一個元素的域
我們終于準備好讨論隻有一個元素的域了。
記住，它不存在。
但我們的想法是建立一些東西讓我們可以做一種廣義幾何。思考一下 ，它的性質是“減少mod p”，對于任何素數p都會給我們一個有p個元素的域(這是我們之前定義有p個元素的域的方式)。
這個事實可以用幾何的方法來重新表述。有一個幾何空間，X=Spec( )，是以，對于每個質數p，減少mod p得到有p個元素的域上的1個點，F 。
我們已經算出了一個點的局部ζ函數，它是1 / (1 - t)。
但是我們通過減少mod p來得到一個局部的ζ函數。當你将這些結合在一起得到X的“全局”ζ函數時，正确的方法是相乘并追蹤素數 (tp )，我們可以得到：
黎曼ζ函數的乘積形式。這就是我們一直在找的東西。
如果有一個叫做F_un的東西,它的作用就像一個有限域，我們可以把X=Spec( )當做它上面的一條曲線然後，用韋爾定理來證明黎曼猜想。
數學家們在這方面已經做了一些非常了不起的工作。也許有一天我們會有一個證明黎曼猜想的Fun。