 關于為什麼寫這些文章： 數學專業畢業已久，總想為以前所學做個紀念，而苦于找不到一個入口。最近研究所需又重新接觸到了原先所學的矩陣方面知識。溫故而知新，有感而發便想把自己想到的東西寫下來，于是利用幾天的空餘時間寫下自己的感想，誰知越寫越多，主題便随之不明确起來，幹脆分成若幹段來寫。随着主題增多，我發現每一個主題我都無法講的很好，仿佛隔靴撓癢蜻蜓點水一般，現在我仿佛發現了為什麼主題多往往都是泛泛而談的道理了。主題多了我的知識儲備完全達不到能夠深入淺出的程度，往往落到自己想寫的想法而自己有無法确認的境地，在重新翻看書本以及在網上搜尋各種名詞的過程中，我發現了很多主題相關的文章，如<漫談高數系列>文章就是其中的好文，讀之有如第一次讀到林達華的部落格的感想：那是一種望塵莫及與望洋興歎的失落感：我想到的他們全想到了，我沒想到的，他們都想到了。 回首看看自己已經寫了的幾篇，已經快成為了“拾人牙慧”，是以，有心發到自己的QQ上也算是一種勇氣吧。倘若它時回過頭來，倒也算作一種紀念吧。 想來數年前看過電影《MATRIX》（中文譯名如雷貫耳：黑客帝國），感覺不同凡響。如果說數學能給人帶來什麼？誇大一點，數學可以讓你擁有救世主NEO一樣洞穿世界的能力：眼中的世界不是表象，而是本質：一個矩陣 不過為了嚴謹些，neo眼中的世界是個計算機虛拟的産物，本質是個矩陣并無任何偏頗的地方，而我們應看到，現今在電腦中看到的聽到的不僅包括圖檔，音樂或者視訊實質上都是矩陣。 矩陣這個數學名詞所包含的并非僅僅是這些，可以說，我們日常看到那些形形色色的矩陣仍然是其表象，其蘊含的本質并不是僅僅那麼一列列一行行的數字。 我在大學裡剛接觸矩陣時，對那麼生硬的一列列數字很不習慣，各種運算相對于單變量的運算看起來也那麼的不顯然，例如矩陣的乘法就顯得十分的讓人難以了解，有時課下也推了一推，發現矩陣這樣定義運算并沒有任何的沖突之處。最後真正接納矩陣這個概念的是通過大家所熟悉的線性方程組，于是腦子也似乎就為矩陣定下了格，它就是線性方程組的系數陣。方程組的有解無解的判别就靠他了。 現在想來，上面的了解其實隻是矩陣本質的一個現象。仿佛是大的結果的小小特例。把矩陣了解成一個線性變換倒是可以很好的描述更多的矩陣的特征。而我正想通過小小的一些例子來說明矩陣的各種了解： 對于一個二維線性空間（試用平面幾何的觀點了解），往往存在以下的幾種變換：（引自wiki） 1. 平移（移動原點） 2. 旋轉 3. 反射 4. 拉伸 5. 壓縮 以及他們的組合。 事實上，我們将會發現除了平移對于2*2矩陣來說不那麼明顯外，幾乎其他的均可以很好的通過矩陣完成。 關于這點，我們首先需說明，為什麼在平移這項上2維方陣出現了無能為力的現象， 其實答案很簡單，當你發現對于原點，方陣并不能使之發生平移，是以對于其他的向量矩陣無能為力也就在情理之中了，至少我是這樣了解對于空間中的向量事實上并沒有起點這一說的，向量是有方向的定長線段，簡單的說向量是不會固定位置的， 而定義向量，我們又似乎需要一個基本的出發點，那就是原點；原點都動不了，自然空間也不會發生平移。基于這個結論，對空間中的點進行平移用2維方陣确實是不可行的。 不過對于這個問題在計算機圖形學中可以得到解決，當然這個變換的矩陣也就不再是2維。 讓我們回到主題，對于這幾種變換對應的矩陣是怎樣的呢？ 有過線性代數學習經驗的同學大概都有很深的認識，當然用幾何的觀點來看代數中的概念本身就是一件很有意思的事，那麼，就讓我比較不專業的用圖像來解釋吧！ 下面就是一些例子（wiki）： § 逆時針旋轉 90 度:A = [0,-1;1,0];  上面的例子給了我們最為簡單和直覺的說明：矩陣他到底幹了些什麼？ 其實我們這隻是很小的一部分，對于一個矩陣他的能力我們怎樣進行分析： 例如對于那些量，矩陣改變了他們什麼？ 這些問題是作為特征值以及特征向量進行描述的，這裡不妨舉一個簡單的例子來說明矩陣的這些問題，我們知道對于病态的線性方程組我們的數值算法往往會産生很大的誤差，其中本源就在于系數矩陣是一個病态矩陣，那麼病态的矩陣會産生什麼樣的變換效果呢？ 這裡我們取經典的希爾伯特矩陣為例： 其實也很簡單 H = [1 ,1/2 1/2,1/3 ]; 觀察它對我們的機關圓做了些什麼？ 結果是不是很畸形，呵呵，難怪我們稱它為病态了。 我現在總是想為以前的數學所學找意義，不管是幾何意義或者是實體意義也好，發現一個現實中問題能夠映射回書本上的概念總是讓我欣喜異常，時而陷入苦思，擔心我所得的“意義”也許是我的主觀的一廂情願，時而輾轉反側，因為我找到的意義似乎與書上的結論并不符合。但我至少認為： 數學上的真理總能找到其幾何意義或者實體意義， 沒有幾何或實體意義的命題往往是錯的， 或者是我們沒有找到。 |