931. Minimum Falling Path Sum

1. 題目

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Given a square array of integers A, we want the minimum sum of a falling path through A.

A falling path starts at any element in the first row, and chooses one element from each row. The next row’s choice must be in a column that is different from the previous row’s column by at most one.

Example 1:

Input: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

Output: 12

Explanation:

The possible falling paths are:

[1,4,7], [1,4,8], [1,5,7], [1,5,8], [1,5,9]

[2,4,7], [2,4,8], [2,5,7], [2,5,8], [2,5,9], [2,6,8], [2,6,9]

[3,5,7], [3,5,8], [3,5,9], [3,6,8], [3,6,9]

The falling path with the smallest sum is [1,4,7], so the answer is 12.

2. 題目分析

在一個n階矩陣中，從第一行的任一進制素開始，找到到達最後一行時的最短路徑，但要求，選擇路徑中的下一個元素，必須與目前元素的距離不超過1，即如果目前元素處于(i.j)，則下一個元素隻能是（i+1,j-1）,（i+1,j）,（i+1,j+1）中的一個。

3. 解題思路

這題其實與找在m*n矩陣中從一個元素開始到達最右下角元素的最短路徑的題型差不多，隻是行走規則和到達的目的地不一樣而已。是以都是動态規劃的題目。按照我之前分析的動态規劃的思路：

• 首先确定狀态，用dp[i][j]表示到達第i行第j列時的最小路徑（從第0行開始）；
• 初始化，對第0行的是以狀态進行初始化，即dp[0][j] = A[0][j];
• 找狀态轉移方程，因為到達(i,j)，隻可能是（i-1,j-1）,（i-1,j）,（i-1,j+1）這三個點，是以隻要比較這三者，找到最小值就行，需要注意的是，如果目前i=0，則，沒喲j-1;如果目前i=length-1；則沒有j+1。

4. 代碼實作（java）

package com.algorithm.leetcode.dynamicAllocation;

/**
 * Created by 淩 on 2019/1/27.
 * 注釋：931. Minimum Falling Path Sum
 */
public class MinFallingPathSum {
    public int minFallingPathSum(int[][] A) {
        int len = A.length;
        if (A == null || len == 0){
            return 0;
        }
        int[][] dp =new int[len][len];
        for (int j = 0; j < len; j++) {
            dp[0][j] = A[0][j];
        }
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < len; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if (j>=1){
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
                }
                if (j+1<len){
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i-1][j+1]);
                }
                dp[i][j] += A[i][j];
            }
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        for (int j = 0; j < len; j++) {
            min = Math.min(dp[len-1][j],min);
        }
        return min;
    }
}