HDU 1695 （莫比烏斯入門）

題意：

從區間[1,B]選擇一個x,從區間[1,D]選擇一個數y，使得gcd(x,y)==k 的方案數。

莫比烏斯反演學習，感覺百度百科就非常好，其他的沒有什麼大的差別。

解題思路：

下面分兩種辦法進行求解。

首先，當然得用到莫比烏斯函數以及莫比烏斯反演了

1.采用莫比烏斯反演進行計算。

先将題意簡化，那麼

就可以表達為：

那麼求前者的個數就相當于求後者的個數。

設：

表示

的個數

表示

 ( 

 的倍數 )  的個數

為什麼要這麼設呢，

一方面：因為當

時

就是所要求解的答案

另一方面：便于使用下面這兩個公式：

                             (1)

                     (2)

對于公式（1）如果按照上面那種方法進行設，那麼

計算的結果就是（n的倍數的個數）。

并且你會發現

                   （3）

再帶入公式（2）先将（3）中

中的

換為

，再令

中的

即可計算得到答案。

令k==1即可算得。

2.采用莫比烏斯進行計算。

因為    

那麼将n換成

，可得：

那麼，可以看出來：

直接套公式：

然後枚舉d，顯然有

于是将d提到前面去，則

都是

的倍數，化簡一下，得

那麼現在既可以計算答案了，用整除分塊再進行優化。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=1e5+10;

bool vis[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
int sum[maxn];

void get_mu(){
    memset(vis,0,sizeof vis);
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<maxn;j++){
            if(i*prime[j]>maxn) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }else{
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

ll solve(int x,int y){
    int lit=min(x,y);
    ll ans=0;
    for(int i=1,j;i<=lit;i=j+1){
        j=min(x/(x/i),y/(y/i));
        if(j>lit) j=lit;
        ans+=ll(sum[j]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);
    }
    return ans;
}

int main(){
    get_mu();
    int t,a,n,b,m,k;
    scanf("%d",&t);
    int Case=1;
    while(t--){
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&n,&b,&m,&k);
        ll ans=0;
        if(k){
            if(n>m) swap(n,m);
            ans=solve(n/k,m/k)-solve(n/k,n/k)/2;
        }
        printf("Case %d: %lld\n",Case++,ans);
    }
    return 0;
}
//