現在是 2022-1-1，我簡單的點評一下今年各位老師的出卷，如果讀者想刷這一年的，可以作為參考
如果是剛開始刷套卷，建議先把曆年真題做完，這樣在刷各老師套卷的時候，難易度就多少有點自己的把握了
例如像張宇今年的八套卷和四套卷，做了幾套之後我就知道沒有做的必要，出的很多就不是考研範圍内的東西
刷完真題後，大家可以每天上午預定 8:30 - 11:30 做一張數學卷子模拟考試狀态
然後中午或下午花 1～2 個小時對整張卷子做一個總結，可以參考我的做法
對于 22 年的模拟卷，首先是難易度rank：（張8+4就不排了，沒有任何難度參考性）
真題奇數年 < 李林六套卷 < 餘丙森五套卷 < 真題偶數年 ~ 李林四套卷 < 合工大超越 << 李豔芳三套卷
上述隻是一個模糊的排名，具體每個套卷中會有一兩套特别難或者特别簡單的
以及今年的李豔芳三套卷的前兩套出的異常難，可以不掐表做，收獲還是很大的
李豔芳雖然是最難的，但是我還是推薦刷，并且仍不推薦張宇8+4
因為他們難的次元不一樣，李豔芳是在考研範圍内，命題了很多新的設問角度，做過之後都是連連拍手
張宇的8+4完全就是在玩自己教的東西，什麼矩陣QR分解，拉格朗日第二型...，考研就沒考過，完全是他18講自己加的
有些還是研一要上的《矩陣論》裡的東西，對于不學競賽隻是考研的同學，不具有任何參考意義
以及有人說張宇今年壓中考題的，現在拿到真題的各位，可以認真比對一下兩題
首先張宇自稱壓中的那題，每一個輔導書上都有，那是經典的琴生不等式
而今年那道真題，是證明充要性，各位的輔導書上證明的是充分性
充分性的證明我願稱有手就行，直接令變上限積分求兩次導找單調性就好了，還比張八上的泰勒展開不知道簡單多少
是以并不是誰最先發微網誌，誰就是壓中題的，還請讀者保有批判的思維去看一件事
然後說一下刷套卷的順序
先刷真題，真題從 05 年刷到去年，可以根據需要留 1 套即可
由于李四和合工大是12月才出，後期很可能會沒時間刷，不要留超過 1 套
然後順序是：李六 -> 張八 -> 餘丙森 -> 李豔芳 -> 張四 -> 李四 -> 合工大
這個難度曲線是一個雙峰函數，刷完李豔芳到達第一個極大值點，之後好好總結能力會有巨大的提升
張八/四我還是寫進去了，大家做的時候也可以不掐表做這兩個，作為做過真題的你，這個時候應該知道哪些是根本不會考的知識點，自己也可以不必鑽牛角尖，直接把那些張宇題給跳過
這一套最晚開始時間是10月，我就是這個時間開始的，看完 Ti10 之後開始從 05 年真題刷的
總而言之，加油吧同學 (w)
合工大超越
卷一
選擇題
- 等價無窮小，泰勒展開，湊導數定義
[
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{f(x)} =
\lim_{x\to0}\frac{x}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}} =
\lim_{x\to0}\frac{x}{f'(0)} = 1
]
可知
f'(0) = 0
，又通過保号性易知，為極小值點 本題還可以用等式脫帽法來做，展開後就可以直接洛必達了，否則不能使用洛必達
- 簡單題
- 餘丙森五套卷出過，幾何上易得，數學證明上做差，然後拆分區間，再換元到相同區間即可
[
\begin{aligned}
I - J &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx =
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx
\\\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx +
\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \dfrac{\sin x - \cos x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx
\\\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx +
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx
\\\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \cdot (\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2})dx > 0
\end{aligned}
]
- 李林四套卷出過，構造輔助函數求二階導即可
- 利用解的結構反向構造二階常系數非齊次微分方程
- 利用可微定義，洛必達求極限
- 二重積分定義，建議看這個視訊學習一下這類問題 定積分定義求極限的題
- 二次函數不能分解的問題
- 感覺題目出錯了，不然就是顯然
- 簡單題
填空題
- 高階導數，泰勒展開
- 先代還
x = e^t
再兩側同時積分即可
- 多元函數求一點處的導數，可以用先代再求的技巧
- 比較瑕點的階
- 二重積分極值互化
- 慣性定理，利用零慣性指數為1，行列式為零
解答題
- 這題不能出現
f''(x)
故不能使用洛必達法則，可以在
x = 0
處用泰勒展開
- 多元函數無條件極值，條件極值部分直接用不等式放縮即可
- 武老師每日一題出過，簡單題
- 變量可分離的齊次型，解出來後是一個圓，計算量中等
- 二重積分，積分域對稱性化簡，然後極值互化做
-
第一問用到了特征值之和等于迹
第二問注意給的矩陣
A
不是對稱陣，先手動配置設定一下系數再正常做即可
卷二
選擇題
- 等式脫毛法，泰勒展開都可
- 常用結論，求
x=0
的左右導數令相等易得
- 利用解的結構構造齊次線性微分方程，也考了太多次了
- 簡單題，幾何直覺顯然
- 都是經典的範例，不多解釋
- 隐函數存在定理，餘五中提過了，這裡再寫一次：
F
在點
(x_0,y_0)
某鄰域
D
内連續
F(x_0,y_0) = 0
（通常稱為初始條件）
F
在某鄰域
D
記憶體在連續偏導數
F_y(x,y)
F_y(x_0,y_0) \ne 0
（一般是驗證最後一個條件）
- 先算二重積分，再解一個定積分，簡單題
- 常用結論
- 說一下我的做法，由四個等式易得：
[
\begin{cases}
\alpha_1 - \alpha_2 - 2\alpha_3 + \alpha_4 = 0 \\\\
-\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3 - \alpha_4 = 0 \\\\
-2\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 - 4\alpha_4 = 0 \\\\
-\alpha_1 - 4\alpha_2 - \alpha_3 + \alpha_4 = 0
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & 1 \\\\
-1 & 1 & -2 & -5 \\\\
-2 & 1 & 1 & -4 \\\\
-1 & -4 & -1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha_1\\\\\alpha_2\\\\\alpha_3\\\\\alpha_4
\end{pmatrix} = 0
]
易得
r(A) = 3
，可得
r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) \le 1
，又
r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) \ge 1
故
r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) = 1
10. 是一個方程組構造問題
[
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\\\
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha, \beta
\end{pmatrix} = 0
]
且
r(A) = 2
，故
r(\alpha, \beta) \le 2 = 4 - 2 = S - r(A)
填空題
- 一點處的高階導數，考慮泰勒展開，需要先解一個微分方程
[
\begin{aligned}
f(x) &= \int_0^x e^{-f(t)} dt \Rightarrow f'(x)e^{f(x)} = 1 \Rightarrow e^y\dfrac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow e^y = x + C
\end{aligned}
]
代入初值後，易得：
f(x) = \ln (x + 1)
，然後泰勒展開：
f(x) = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k}
找到第
n
次幂項：
\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n
，求
n
階導有：
(-1)^{n-1}(n-1)!
本體難題在于一開始想到用微分方程解出原函數
- 反函數的二階導數公式，先推不難
- 多元函數線性變換後鍊式求導，屬于正常題
- 二重積分極值互化，變上限積分洛必達求極限
- 曲率半徑公式
- 常用的伴随矩陣秩的公式：
r(A^*) = \begin{cases} n & r(A) = n \\\\ 1 & r(A) = n - 1 \\\\ 0 & r(A) \le n - 1 \end{cases}
解答題
- 換元什麼手段都用不了，直接想到了二重積分換序，沒想到标答也是一樣的思路 然後湊變上限積分微分即可，不難
- 無條件極值，用黑塞矩陣判别式即可
- 第一問求三次導可得，第二問的放縮用的是第一問輔助函數中一階導進行放縮的
- 二重積分，對稱性化簡，分段函數讨論積分域進行拆分，然後極直互化硬算，計算量中等偏上
- 硬算，第二問可以用質點法
- 正常題
卷三
選擇題
- 易知
x = 0, x = \dfrac{1}{\ln -b}
為兩個間斷點，分類讨論即可
a = 0
時，
x = 0
為可去，
x = \dfrac{1}{\ln -b}
時
- 當
b = -e
時，為可去間斷點
- 當
b \ne -e
時，為無窮間斷點
a \ne 0
時，
x = 0
為跳躍，
x = \dfrac{1}{\ln -b}
時
- 當
b \ne -e
時，為無窮間斷點
- 當
b = -e
時，為可取間斷點
- 不要去解微分方程，兩側求導代值即可
- 構造輔助函數，求導易得
- 巧妙利用反函數反向構造的題
[
\int f^{-1}(x)dx = xf^{-1}(x) - \int xdf^{-1}(x) = xu - \int f(u)du = xu-F(u)-C
]
-
同解問題，一般線代考的居多，考到了微分方程還是第一次，但是還是很簡答
求一個帶一個，易得
- 隐函數求導，消參易得
- 解兩個二重積分，純計算，一個極直互化，一個直接算
- 由
r(A) = 2
易得：
r(A^{*}) = 1
，又
A^{*}A = |A|E = 0
故
A
的列向量都是
A^{*}
的解向量，然後選出線性無關的兩個即可
- 反推：
AP = C
，則
\begin{pmatrix}A&C\\\\0&B\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_n&-P\\\\0&E_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\\\0&B\end{pmatrix} \Rightarrow r(A) + r(B)
正推不成立，反例讀者自構不難
- 簡單題
填空題
- 參數方程求二階導數，直接套公式即可
- 先用一下"區間再現"消掉分子，分母再用一下輔助角公式就出來了
- 分别對方程關于
x
和
y
求偏導，然後聯立方程解
f_1(1,1)
即可
- 對隐函數求導，解出
y'
和
y''
，然後對
y
泰勒展開，代入即可
- 二重積分換序，簡單題
- 簡單的恒等變形，簡單題
解答題
- 先解一個二階常系數非齊次微分方程，然後代入初值消參，在計算一個極限，簡單題
-
答案有點複雜，說說我的做法：
欲求
z
的最大最小值，等價于求
z^2
的最大值，等價于求
1 - x^2 - y^2
的最小值
等價于求
x^2 + y^2
的最大值
就有目标函數：
x^2 + y^2
和限制條件：
3x^2 + 3y^2 + 2xy - 3 = 0
兩者屬于齊次式，構造拉格朗日乘子然後
xL_x - yL_y
即可
詳情見我個人編寫的 【專題】多元函數極值專題
- 由
\displaystyle\int_0^1 xf'(x)dx = 1
易得：
\displaystyle\int_0^1 f(x)dx = -1
被題目限制掉了很多做法，一開始有想直接萬能構造羅爾，但是沒給到足夠的兩個端點資訊
然後又去試了多項式拟合法，也是構造不了的，本題正确做法應是再往回還原一階，然後用泰勒展開
說一下為什麼會這麼想，因為題目隻給了一側端點
f(1)=0
，和一個未知點
f(x_0) = -1
在這一階上，無法湊出羅爾的條件，是以考慮還原成
\displaystyle\int_0^xf(t)dt
就有了兩個點的資訊
分别是：
\displaystyle\int_0^0f(t)dt = 0
和
\displaystyle\int_0^1f(t)dt = -1
，考慮直接泰勒展開
展開點選取
x = 1
，原因很簡單，有具體
f(1) = 0
的資訊
有
\displaystyle\int_0^x f(t)dt = -1 + \dfrac{f'(\xi)}{2} (x-1)^2
然後令
x = 0
有：
f'(\xi) = 2
-
将方程問題和極限連在一起考，很新穎
做法和普通方程問題一下，首先分離參數和變量，構造輔助函數求導找單調性
最後是求一個
x \to +\infty
的極限
- 有手就行
-
答案求行列式去了，猛男，我說一下我的更簡單的做法
直接配方法即可：
f = \dfrac{1}{2}x_1^2 + \dfrac{1}{2}(x_1-x_2)^2+ \dfrac{1}{2}(x_2-x_3)^2 + \cdots + + \dfrac{1}{2}(x_{n-1}-x_n)^2 + \dfrac{1}{2}x_n^2
易得：
f \ge 0
，欲使
f = 0
，當且僅當
x_1=x_2=\cdots = x_n = 0
故正定
第二問就是 分塊矩陣的初等變換，沒有什麼好講的
第三問我的做法也和答案一樣，大家直接參考答案就好了
卷四
選擇題
- 變上限積分等價無窮小，有手就行
- 真題出過一次，在
x=0
處連續是通過左右側夾逼計算的極限
- 比較在瑕點的階，簡單題
- 二階導數存在，一階連續，然後保号，簡單題
- 先分離參數，然後求導繪制大緻圖像，找出最值
- 求偏導，套黑塞矩陣判别式，化簡消元，不難
- 二重積分，對稱性化簡，判斷被積函數在積分域上正負
- 分快矩陣求伴随，正常題
- 注意第一個命題有
c=0
的特例
- 白給題
填空題
- 一階非線性微分方程
- 區間再現化簡，然後求
\int sec^3x dx
湊微分分布積分
- 隐函數求偏導
- 這個考到一個常用公式，分子分母同除
x
構造即可
對于周期為
T
的函數
f(x)
有
[
\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\displaystyle\int_0^x f(t)dt}{x} = \dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)dt
]
簡單證明： 令
a_n = \displaystyle\int_0^{nT} f(t)dt
，
b_n = nT
顯然
\lim\limits_{n\to\infty} b_n = +\infty
，且
b_n
單調遞增
故
\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1}-b_n} = \dfrac{\displaystyle\int_{nT}^{nT+T}f(t)dt}{T} = \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)dt}{T}
最後由海涅定理可得：
[
\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\displaystyle\int_0^x f(t)dt}{x} = \dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)dt
]
- 二重積分換序
- 分塊矩陣求行列式，求逆，求伴随
解答題
- 拉格朗日求極限
-
第一問是經典高斯曲線，怎麼做都行
第二問直接分布積分，就出來了
-
無條件極值，用黑塞矩陣判别式
我可以給一個不同的思路，是條件極值的一個技巧 —— 極值互化
換成三角函數後，确定好
(r,\theta)
的區間範圍，找極值
-
拉格朗日的幾何意義，是一道我在 【專題】中值定理證明題 中舉的例題，我比答案寫的好多了
直接搬運原題過來，讀者稍微改改就好了
【2013年】證明：若函數
\varphi(x)
具有二階導數，且滿足
\varphi(2) > \varphi(1)
，
\varphi(2) > \displaystyle\int_2^3\varphi(x) dx
，則至少存在一點
\xi \in (1,3)
，s.t.
\varphi''(\xi) < 0
【分析】首先，根據題幹找出所有端點資訊，考慮對積分
\displaystyle\int_2^3\varphi(x)dx
用積分中值定理有：
\varphi(x_0) = \displaystyle\int_2^3\varphi(x) dx
，其中
2 < x_0 < 3
，成功找出所有的端點資訊：
\varphi(1),\varphi(2),\varphi(x_0)
根據題幹的不等關系，初步繪制圖像，如下：
在三個端點相鄰的區間使用 Lagrange 中值定理，估計出一點的斜率，然後用割線斜率代替，如下：
得到一個一階導數大于 0 的
\xi_1
和一階導數小于 0 的
\xi_2
，然後我們繪制
\varphi'(x)
與
x
的圖像：
\xi_1
大于 0，位于
x
軸上方；
\xi_2
小于 0，位于
x
軸下方
然後我們繼續利用 Lagrange 中值定理，估計出了第三個中值
\xi_3
等于 該段區間的割線斜率
<0
即答案所要求的點
\varphi''(\xi) < 0
該幾何法，成功幫助我們梳理了一遍證明思路，直接根據上述步驟，轉化為數學語言寫出即可
【解】由 積分中值定理 可得：
\exists x_0 \in (2,3)
，s.t.
\varphi(x_0) = \displaystyle\int_2^3 \varphi(x) dx
由 Lagrange 中值定理：
\exists \xi_1\in(1, 2)
，s.t.
\varphi'(\xi_1) = \varphi(2) - \varphi(1) > 0
由 Lagrange 中值定理：
\exists \xi_2\in(2,x_0)
，s.t.
\varphi'(\xi_2) = \varphi(x_0) - \varphi(2) < 0
由 Lagrange 中值定理：
\exists \xi\in(\xi_1, \xi_2)
，s.t.
\varphi''(\xi) = \varphi'(\xi_2) - \varphi'(\xi_1) < 0
QED
- 二重積分極值互化，計算量很小
- 白給題
卷五
選擇題
- 正常題：
(
奇函數
)'
= 偶函數，
(
偶函數
)'
= 奇函數
\displaystyle\int_a^x
奇函數
dx
= 偶函數，
\displaystyle\int_0^x
偶函數
dx
= 奇函數
- 簡單題，值得注意的是正負無窮共享同一條斜漸近線，是以不能算作兩條
- 這題解析給的有問題，我說一下做法，條件已知：
f(x) - \displaystyle\int_0^x f(t)dt \le 0
考慮中值定理還原原函數，構造
F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)dt
，有
F'(x)-F(x) \le 0
利用積分因子法還原：
(F(x)e^{-x})' \le 0
故可知函數
G(x) = F(x)e^{-x}
單調遞減
又
G(0) = F(0) = 0
，故
G(x) \le 0
，即
\displaystyle\int_0^x f(t)dt \le 0
要麼題錯了，要麼答案錯了
- 顯然兩個積分都找不到原函數，标準做法，按住一個不動，另一個換元分布積分，進而消元
- 連續定義，導數定義，計算題
- 等式脫帽法易得：
f(x,y) = x^2 + y^2 + xy^2 + o(x^2 + y^2)
，于是有
[
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2 + y^2 + xy^2 + o(x^2 + y^2)}{x^2+y^2}
]
又
0 \le |\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}| \le |\dfrac{y}{2}|
，易得：
\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)}{x^2+y^2} = 1
故
\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0
進而可以得到：
f(x,y)
可微
且
A = B = f(0,0) = 0
- 二重積分極值互化
- 簡單題，真題出過了，
B = E_{32}(2)E_{12}A
則
|B| = -|A|
，
B^{-1} = A^{-1}E_{12}E_{32}(-2)
故
-B^{*}=A^{*}E_{12}E_{32}(-2)
A^2=0
故隻有特征值
，若要
A
可相似對角化，則
r(A) = 0
，即
A = 0
又
A\ne 0
故不可相似對角化
實對稱陣的特征值必為實數，故解得：
\lambda = 1
，又
A
可相似對角化，故
r(A - E) = 0
，解得：
A = E
後兩個顯然
- 簡單題，不多解釋
填空題
- 定積分定義，兩種劃分做法都可 區間
[0,1]
劃分成
n
塊，選擇每一塊的中點劃分：
\dfrac{2k-1}{2n}[
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\dfrac{2k-1}{2n})^2}} =\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx = \ln(1 + \sqrt{2})
]
區間
[0,2]
劃分成
n
塊，選擇每一塊的中點劃分：
\dfrac{2k-1}{n}[
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1\times2}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{4 + (\dfrac{2k-1}{n})^2}} =\displaystyle\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{4+x^2}}dx = \ln(1 + \sqrt{2})
]
- 二階常系數非齊次微分方程，分段解，然後利用連續性消參，代入條件，最後解出答案
- 給定初值，一般就是要積分，把
y
視作常數，先看微分方程：
f'(x) + f(x) = 0
解得：
f(x,y)\cdot e^{x} = \varphi(y)
代入初值：
f(0,\dfrac{\pi}{2}) = 1 = \varphi(\dfrac{\pi}{2})
再求y的偏導：
f'(y)=\varphi'(y)e^{-x} = \cot y \cdot \varphi(y)e^{-x}
化簡微分方程得：
\varphi'(y) - \cot y \varphi(y) = 0
，解得：
\varphi(y) = C\sin y
代入初值：
\varphi(\dfrac{\pi}{2}) = C = 1
，故
\varphi(y) = \sin y
是以：
f(x,y) = e^{-x}\sin y
，
f_{xx} = f(x,y), f_{yy} = -f(x,y)
故：
f_{xx} + f_{yy} = 0
dS = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})^2 + \dfrac{dy}{dt})^2} dt
- 二重積分換序，然後變上限積分求導
- 又平方和易知
f
為半正定矩陣，是以各個平方項為0存在非零解
解答題
- 分離參數，構造輔助函數，求導繪制函數圖像，簡單題
-
真題考過一次類似的，不過比這個簡單
本題難點是對
y' = \tan \alpha
變型：
[
\begin{aligned}
y' &= \sqrt{\sec^2\alpha - 1} \\\\
y'^2 + 1 &= \sec^2\alpha \\\\
y'^2 + 1 &= \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \\\\
\sqrt{y'^2 + 1} &= \dfrac{1}{\cos \alpha}
\end{aligned}
]
然後回代到微分方程中計算：
2y^2y'' = (1 + y'^2)^2
即可
- 單純的算，沒什麼好說的
- 二重積分，根據取整函數分段，然後本題答案是錯的，正确答案應為：
\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{3}
- 數列極限，下界
1
用第一數學歸納法易證
單調性用
x_{n+1}-x_n = \sqrt{x_n}\ln x_n + 1 - x_n
構造輔助函數
F(x) = x\ln x + 1 - x
求兩次導即可出答案
- 考
A^TA
的問題，一般不用去求出
A^TA
的具體型，不然就是題目出的稀爛
利用
Ax = 0
與
A^TAx = 0
同解，做第一問
利用
x^TA^TAx = (Ax)^T(Ax) = ||Ax||^2 \ge 0
做第二問
第三問正常題
李林沖刺六套卷
卷一
選擇題
- 已知極限反求參數，方法很多，标答給的是除
x^3
解極限 我這裡直接把後面一項在加号處拆開，然後用等比級數泰勒展開做的
- 考了一個數列常用極限 $ e^{nx} =
[\begin{cases}
\infty &,x > 0 \\\\
1 ,& x = 0 \\\\
0, &x < 0
\end{cases}]
$
- A、B考拉格朗日構造函數，在
[0,x]
和
[x,1]
上分别拉一下
然後利用凹凸性找單調性，建立不等式
C、D 利用
f(0)=f(1)
移項，然後利用單調性建立不等式
- 考微分方程解的結構，ez難度
-
考可微定義：
存在
A,B, s.t. f(x,y) - Ax - By - f(0,0) = o(\sqrt{x^2+y^2})
秒選的題
-
考反常積分斂散性，A、B直接比較在瑕點的階，秒殺
C、D利用奇偶性
- 之前真題遇到過，上次不會，這次會了，直接泰勒展開，然後兩側取積分結束
-
這算是比較新的一道題了
答案用的是
f(0) = |-A|-|A^{-1}| = -2
和
f(1) = |1-A| - |A^{-1}| = -1
然後拉一下：
f'(\xi) = 1
找到切線與
y=x
平行的點
我的方法是直接寫出 特征多項式，由于
1
是三重根，故
|xE-A| = (x-1)^3
則
f(x) = (x-1)^3-1 \Rightarrow f'(x) = 3(x-1)^2 \Rightarrow f'(0) = 3, f'(1) = 0
由 導數介值定理（達布定理） 可知
f'(\xi) = 1
我覺得我的方法比答案好
- 提公因式，屑題
- 更屑，口算題，甚至可以把算也給去掉
填空題
- 反函數的導數問題，然後求極限，拉一下
- 幂指函數求極限，取指對數
- 隐函數求全微分，三種方法
- 湊定積分定義，然後算4個定積分，答案用了奇偶性幹掉了兩個
- 考了一個跨階湊導數定義，也可以直接泰勒展開（本質一樣）
- 屑題，慣性定理
錯了第14題，連求4個定積分最後加起來的時候正負号沒搞好，寄了
解答題
- 屑題，答案寫的很麻煩，上來可以直接被積函數等價無窮小，把
\sin x
幹掉
然後正常換元去積分符号就好了
- 二重積分極轉直，然後瘋狂的湊微分就結束了
- 裸題，沒意思，第一問的提示不給，隻給第二問也是裸題
-
出的真屑啊，考多元函數極值，前面還鋪墊這麼多模拟題意的過程？？
模拟到最後，是兩個分式相加，各有3次的系數，會出題？？？算高中圓錐曲線呢？
我做到這就不想寫了，太屑了
最後是解一個拉格朗日乘子，可以用我在專題 多元函數極值 中寫到的很多方法
二次型、齊次式、對稱式，反正極值這部分考的很簡單
前面鋪墊的那麼惡心的模拟題意是真不會出題是吧
- 二階變系數微分方程，少 x 的第二型，令
p = y'
第二問，求旋轉體體積，二重積分莽上去就完事了
- 屑題，常識告訴我們
A
與
A^*
共享相同特征值下的特征向量
是以直接把
A
正交對角化，求出的正交變化
Q
也能是
A^*
對角化
答案賊煩瑣，相當于證了一遍我一開始說的那個常識，真沒必要。。。
總分 138 填空題 No.14 計算錯誤 + 解答題 No.20 被出題人惡心 （不會出題可以不出）
卷二
選擇題
- 可以換元，也可以直接利用被積函數等價無窮小秒殺
- 求間斷點，比第一套還簡單
- 邊上限積分天生具有連續性，驗證可導性，隻需驗證被積函數在該點是否連續即可
- 泰勒展開，拉格朗日，求漸近線，簡單難度
- 套娃，之前考
f(x)
左高右低，現在考
f'(x)
正負性，多加一階導數研究，本質沒差別
還是一點不能推鄰域，但是少一階鄰域的資訊是有的，屬于數學常識
- 先解微分方程，再求反常積分，計算題
- 極坐标
r,\theta
換序
- 秩的不等式：
A_{m\times n}B_{n\times s} = 0 \Rightarrow r(A) + r(B) \le n
A^* A=|A|E=0
，則
A
的列向量都是
A^*
的解向量
- 合同變換，然後慣性定理（室友行列式相等秒殺了，y1s1 選項出的不好）
填空題
- 分母是指數，猜對了是
（室友用的積分中值定理，答案用的放縮，答案方法推薦）
- 隐函數求導，簡單難度
- 弧微分
- 弧微分，連考兩題還行
-
沒做出來，室友直接換序做出來了
對于
\iint \sqrt{x^2-y^2}d\sigma
的二重積分，先
y
後
x
會簡單
- 答案用的 伴随與逆 的等式，我的方法更好，直接用按列展開定理，把最後一列替換成
1
構造新的行列式
然後原行列式，每一列全部加到最後一列，提出
a
結束
第一題猜對了 第五題沒搞出來，試過轉極坐标，沒成功就沒多想，因為覺得
xy
對稱性較強，換序作用不大 實際上換序作用很大，一個積出來是
\cos x
，一個是
\ln|\sin x + \sec x|
解答題
- 很簡單，先求導，再
x
換
-x
，聯立就求出來了
雖然但是，步驟都對，但是還是求錯了，寄
- 多元函數極值，目标函數是一個三次型，不過
L_x + L_y
該消的都消光了，别忘記讨論端點值
- 弧微分建立微分方程，最後算得的方程是
y+\sqrt{y^2-k^2} = g(x)
，這個方程是可以求出
y
的
以前真題考過，那次不會，這次搞出來了
-
二重積分，劃分積分區域分别積，一個極直互化，一個直接計算
直接算的那個，差點莽上去了，室友莽上去了，居然還算出來了，牛。。。實際用輪換對稱性就消光了
-
方成列問題，14年考過，問的方法都一摸一樣，第一問零點定理 + 單調性
第二問方程兩側取極限，找到
\sin x
的極限，然後幂指函數取指對數，再連續成函數極限
求出極限後，用海涅準則還原成數列極限
Q^{-1} A Q = \Lambda \quad\Rightarrow\quad Q^T A^T(Q^T)^{-1} = \Lambda^T = \Lambda \quad\Rightarrow\quad Q^{-1} A Q = Q^T A^T(Q^T)^{-1}\Rightarrow (Q^T)^{-1}Q^{-1} A Q Q^T = A^T
隻需算一次矩陣乘法（超簡單），按照答案的方法，先求
A^T
的特征值，在分别求了三個特征向量
然後構造
C^{-1}AC = Q^{-1}A^TQ \Rightarrow QC^{-1} A CQ^{-1} = A^T
然後算一個逆矩陣
Q^{-1}
，和一次矩陣乘法
CQ^{-1}
，屬實不配作為标答
第一題算錯了，直接寄
總分 136 填空題 NO.15 沒做出來，換序積會更友善（再次證明了二重積分隻考對稱性、極直互化、換序） 解答題 No.17 算錯了，10分全部扣光，直接寄
卷三
選擇題
- 利用連續 + 可導建立兩個方程，求出兩個未知數
- 偏導數連續 ，利用
z_{xy} = z_{yx}
建立方程求出參數
- 構造輔助函數
F(x) = \frac{f(x)}{x}
，求導找單調性
- 我在 【專題】中值定理 中介紹過這種題的做法，羅爾秒殺
- 反常積分斂散性問題，找被積函數在瑕點的階
- 積分比大小，換元到同一上下限後，比較被積函數大小即可，記得都是一個系數帶上一個
f(x)
，比較系數即可
- 先用三角和差公式把被積函數中的三角函數分離:
\sin(x-t) = \sin x\cos t - \cos x \sin t
接着就是考函數奇偶性與原函數奇偶性之間的關系
這裡給的是下限為0的邊上限積分
\int_0^xf(x)dx
，故若
f(x)
偶，則
F(x)
奇
- 考初等矩陣，簡單難度
- 考對稱矩陣不同特征值之間的特征向量正交，構造方程解即可
-
答案用的特值法，我是直接看出來的，因為原來無關，延長後必定無關；原來相關，延長後不一定相關
利用這個準則，把
D
列分塊或者行分塊都可，然後就很顯然了
填空題
- 定積分定義
- 實體應用，考的水壓力
F = P S = \rho g h S
，終于做對一次實體應用了，淚目
- 考極限的局部保号性
- 考隐函數求偏導，計算題
- 二重積分，換序，算錯了，寄
- 直接令特值
A = E
就做出來了；證明方法是：
|E - A^2| = |A^TA - A^2| = |A|^2|A^T \cdot A^T - E| = |A^2 - E|
于是有：
|E - A^2| = (-1)^{2n+1}|E - A^2|
，則
|E - A^2| = 0
考試的時候，兩個方法都寫了一遍，因為特值出的太突然了，感覺題目沒這麼簡單，事實證明，出得真不行
解答題
- 洛必達去積分符号，幂指函數取指對數，等價無窮小，簡單題
- 分類讨論來去積分符号，求導找單調性，最後極小值算錯了，寄
- 定積分幾何應用，求面積這裡可以直接用 形心坐标公式逆用 秒出，第二問旋轉體體積，用 割補法
-
超級簡單的條件極值，根據我寫的 【專題】多元函數極值，這一題可以用的方法可太多了
我是用的 二次型 來做，求一個
2 \times 2
的矩陣特征值就和國小加減乘除一樣快速
然後第二問也是直接秒出的
這題應該還可以用：對稱式，三角換元，齊次式來做
不等式放縮應該不行，因為隻能向一個方向上放縮，但是這題最大最小值都要求（可能也可以反向放？沒細想過）
- 這題寄了，以為是心形線，實際上隻是一個凸面，算第二問也可以用 形心坐标公式逆用 解出
\iint yd\sigma
- 思路是簡單題，
B^2 = A = Q\Lambda Q^T = (Q C Q^T)(Q C Q^T)
，推出
B = QCQ^T
這個可以證明唯一性，證明可以不用會，知道這麼一個做法即可
總分 134 填空題 NO.15 計算錯誤 解答題 NO.18 最後一步計算錯誤 解答題 NO.21 圖形都看錯了，直接寄 壞起來了，現在大題穩定要寄一道
卷四
選擇題
- 和上一套一模一樣，連續和導數定義建立兩個方程兩個求解兩個未知數
- 本質應該是考導數定義，結合極限保号性，不過這個就是證明過導數介值定理個過程，可以直接秒出答案
- 利用定積分可拆性，去掉絕對值，然後求導判單調性，找極值點，這題計算錯誤了
- 實體應用，又做對了，好起來了，是一個變化率問題:
\frac{\mathbf{d}V}{\mathbf{d}t} = \frac{\mathbf{d}V}{\mathbf{d}h} \cdot \frac{\mathbf{d}h}{\mathbf{d}t}
-
先求二重積分，再代入求極限即可
答案用的 二重積分的中值定理
先證明在積分區域上 連續，然後就可以直接用了
\iint f(x,y) d\sigma = \frac{1}{S_D}\iint f(\xi, \eta)d\sigma
-
多元函數極限證明連續，分子次數大于分母，應該存在，是以直接放縮分母即可
偏導數顯然連續，可微直接寫出可微定義式，然後再求一個多元函數極限
- 積分域關于
y=-x
對稱，被積函數具有輪換對稱性：
f(x,y) = -f(-y, -x)
，故二重積分值為
答案是拆開來看的，也行，就是有點麻煩
PA = B
行分塊結束
- 這題眼瞎了，看到慣性指數為
1
，看到标準形，直接選了
B
，然而求的是
A^*
的标準形
利用那個表轉換特征值就行了
- 送分題，超過
1
分鐘都慢了
錯了兩道選擇題，一個是計算錯誤，一個是題目看錯 明明打了那麼久比賽，最大的收獲就是要認真讀題和注意資料範圍，回到應試考試又變回來了。。
填空題
- 先算不定積分，再代入求一個極限
- 弧微分，還是沒有把極坐标下的公式背出來，又現場推了一遍
- 模拟題，最後求一個極限
- 微分方程，這題我出大問題了，直接就求導了，被積函數裡還有未知數
x
，要先換元
感覺這種問題，在積分裡參數變多的時候就會忽視，需要注意
- 看到平方和還有不轉極坐标的人嘛
- 和選擇題第 9 題考的是一個東西
NO.14 出大問題了，以後變上限積分函數求導去積分符号的時候一定要先檢查被積函數
解答題
- 第一題的數列極限一般就是送，單調有界準則秒殺，第二問先連續化，再海涅定理還原
- 多元函數求偏導，看計算能力的題
-
第一問直接用我在 【專題】中值定理證明題 中提到的 萬能構造法 求一個不定積分，原函數就出來了
求導判别單調性，證明"至多"，再結合"至少"，夾逼即可
-
二階變系數微分方程，真題考過，先用換元化簡成二階常系數微分方程，然後經典：齊通 + 非奇特 = 非奇通
這題求出來後還要換回去，我考試的時候沒讀懂什麼叫 原微分方程通解，看了答案才知道原來是把換元還原回去
第二問，代入初值解出參數，沒什麼好說的
- 二重積分，積分域是大圓套小圓，用割補法，然後極直互化，處理小圓直接平移極坐标原點
- 送分題，正常肯定不會這麼考啊，這題就是算兩個矩陣乘法，誰線代大題這麼出的。。
這次大題沒寄，隻是 NO.20 換元最後沒有換回來（主要是沒讀懂要換回來）
總分 132 小題錯的有點多，再次暴露了計算能力不行的痛病 選擇題 NO.3 求導求錯了，NO.9 題目讀假了 填空題 NO.14 在被積函數有
x
時沒換元直接求了 解答題 NO.20 沒讀懂題意，換元最後沒換回來
卷五
應該是前五套裡，最難的一套了，感覺很符合今年的命題風格，也預示了我要 寄 的必然結果
選擇題
- 變上限積分求極限
-
這題做的時候沒有想到正解，用的幾個已知結論反向構造的
如果
x\to+\infty
時，
f'(x) = A \ne 0
，易證
f(x) = \infty
故
f'(x) = 0
，直接移項出結果
答案是先算了微分方程通解，用變上限積分替代任意常數，然後求一個變上限積分的極限
- 極直互化和換序
- 導數定義 + 微分方程
- 拐點的充分條件第三條
- 實體應用，變化率問題
- 答案用的拉格朗日做的，也可以直接解出定積分，還不丢失精度
- 方程解問題
- 相似的基本概念，以及 可逆矩陣 等價于 機關矩陣
- 直接用合同變換做更快
全對，第二題可以回顧一下
填空題
- 隐函數求偏導
-
高階導數問題，答案先求了原函數，再用級數找的高階導數，我直接求了三階找的規律
回過頭看這題長的确實像微分方程，應該先求原函數的
- 隐函數和極限結合，導數定義
- 二重積分，換序後換元
- 可微定義，
f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f_x\Delta x - f_y \Delta y - f(x_0,y_0) = o(d)
注意到，是
-f_y\Delta y
，前面有一個負号，我大意了
- 短路了，沒做出來，向量組的問題，利用現有等式，構造具體方程求解行列式
[
AP = (A\alpha,A^2\alpha,A^3\alpha) = (A\alpha,A^2\alpha,3A\alpha - 2A^2\alpha)=(\alpha, A\alpha,A^2\alpha) \cdot \begin{pmatrix}
0&0&0\\\\
1&0&3\\\\
0&1&-2
\end{pmatrix} = PB
][
|A - E| = |P^{-1}||A-E||P| = |P^{-1}AP - E| = |B - E|
]
解答題
- 求極限，導數定義，定積分
- 實體應用，質點法yyds，再也沒錯過了
- 沒有任何性質的多項式，直接寫答案，扣個答案分差不多了（可以考慮
L_x
、
L_y
先削掉
\mu
）
-
第一問分部積分，第二問出的賊呀，雙中值一般都是拆區間拉格朗日，這題不是
先積分中值，再拉格朗日，利用的是第一問中證明的等式
-
二重積分加微分方程，出得妙啊
左側湊微分，給他搞出來，右側輪換對稱性幹掉一個，另一個換元
- 數學系的孩子們，直接掏出矩陣合同變換法秒了吧，非數學系的就配方法吧 第二問沒讀懂，答案也看不懂，但可以确定的事，第一問合同變換搞出來的
C
也滿足第二問的等式
直接令
P = C
就結束了
答案的意思估計是如果第一問求出來的
C
，使得
D=C^{-1}AC
不是對角矩陣，則可以考慮把
D
通過正交變化化成
\Lambda
，而對于新的可逆變換
P = CQ
，有
(QC)^{-1}BQC = C^{-1}Q^{-1}BQC = C^{-1}EC = E
那你下次能不能好好出題
這套大題有點難度的，闆子題不多，都有一定的思維量
條件極值沒去算，中值定理第二問想了巨久，主要是潛意識裡一直覺得是拆區間兩次拉格朗日
下次還是優先考慮通過給定等式往回推導的方法
二重積分這個是真想不到，處理
\iint f(x+y)d\sigma
，換序肯定是沒用的，因為有輪換對稱性
正确做法居然是換元，令
x+y=u
，幾何上來看，由于邊界是
x+y=t
，這樣的換元效果會讓其中一個積分的上下限編成定值
總分 125
犯病的地方有，但分低的主要原因是幾個大題沒有思路
線代還是出的稀爛，但是這套有幾題是真不錯，說的就是 16、20、21
卷六
選擇題
- 極限 + 導數定義，兩個方程兩個參數
- 極值的充分條件，可以求高階導數，也可以用鄰域直接在二階導的時候寫出答案
- 先求導找出
f(x)
的表達式，代入
x=0
即為斜率，就結束了
- 移項：
a = \frac{x^2}{e^x}
求導找曲線單調性，畫出大值圖像，找三個交點的區間
-
數形結合快，利用凹函數的性質，切線在曲線下方
答案用的泰勒展開做的，利用二階導數大于零，進行放縮
- 反常積分，利用收斂以及瑕點處的階數，寫出一個參數的值，然後求一個不定積分
-
這題卡了好一會兒，主要是算是算出來了，被選項搞了
這是一道經典模型，之前都是考的積分等式：
f(x)=g(x)+\int_a^b f(x)dx
其中，
f(x)
為抽象函數，題目不給出，
g(x)
為具體函數，題目會直接給出
由于定積分是一個具體的數字，直接令
A = \int_a^b f(x)dx
，在等式兩側取積分：
A = \int_a^b g(x)dx + A(b - a)
就可以反解出
A
了
然後這題就變成二重積分了：
f(x) = xy + \iint f(x)dx
用輪換對稱性：
A = 0
，求出來後，我就蒙蔽了，因為選項都是一個倍數關系
卡了一會兒，最後發現 C選項 偷偷藏了一個
D
積分域上的函數，挺能藏
- 實對稱不能保證，正定能保證，反例答案給了
- 特征值多項式的轉換
r(A) \le 3 < 4
一定有無窮多解
錯了第一、第二題，腦子短路了，是這樣的
填空題
- 幂指函數求極限
- 隐函數求導
-
微分方程，一階非齊次型，再加上旋轉體體積，求出一個二次函數，找頂點問題
犯病了，解微分方程的時候用的變量可分離方法，然後齊次換元，最後忘記換回來了
- 旋轉體體積
- 二重積分換序
- 口算題
第三題犯病了
解答題
- 不等式問題，多項乘積，考慮取對數，求兩下導就出來了
-
二階常系數非齊次微分方程，這裡利用初值求參數的時候算錯了一個
然後定積分的部分很簡單，顯然左邊分部積分一下就變成右邊了
- 二重積分，注意一下
\theta
範圍是
[0, \frac{\pi}{2}]
&
[\pi, \frac{3}{2}\pi]
-
數列極限，單調有界準則，這裡答案證了一下有界性，我沒證
題目裡說了
f(x)
是定義在
[0,1]
上的函數，等式又是建立在該函數上的
那麼顯然有界，否則等式不成立
證明有界性也很不難，答案用的中值定理，我驚了
已知結論和遞推關系，肯定先想到第一第二數學歸納法呀
利用 {
x_n
} 有界，不難證明 {
x_{n+1}
} 有界（連續函數有界性）
-
第一問聯考難度；第二問一看就是定積分定義，都幫你湊好了，找一下可愛因子就好了
放縮到
g(x)
的兩端，先削變量
x
，右側顯然，左側做的時候沒想到好的方法
看了答案發現自己确實短路了
\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot e^{\frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n+2} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot e^{\frac{k}{n}} = 1 \cdot \displaystyle\int_0^1xe^{x}dx
- 送分題
大題做的不好，做的時候也挺抗拒那些計算的，寫一半去看了會兒 王師傅和小毛毛
第一問去了對數，求了導，但是不想算下去了，整理式子好累。。
第二問參數求錯了，答案最後就差一個系數
第五問放縮定積分定義都想到了，左邊那個當時沒想出來怎麼處理
總分 123
題目很簡單，感覺是最近學的有點累了，很多計算式子一出來，方法都懂，但是不想下筆
寫完六套卷休息一天，接下來寫張八高分版
李林沖刺四套卷
卷一
粗略點評一下，填選很多都在共創第一套裡見過了，整體難度中等
命題風格比較符合今年的架勢，很推薦刷一下
線代部分還是有點白給
選擇題
- 泰勒展開做個多項式乘法，找等價關系
- 大緻繪制一下函數圖像，就知道在
\pm1
不平滑，不用去讨論，肯定不可導
分段求導即可選出
-
共創第一套的原題，李六一道原題的更新版
因為隻有二階導數大于0的資訊，故單調性判别的時候考慮去湊
f'-f'
的形式，進而利用上
f''>0
這裡就用到了拉格朗日：
xf'(x) - f(x) = xf'(x)-f(x)-f(0) = xf'(x)-xf'(\xi)
- 利用瑕點的階寫出
a = 1
，然後求一個定積分即可
- 等比級數展開，答案寫的好複雜
- 可微定義，多元函數求偏導
-
商的求導公式還原，再用對數函數還原
答案用的少 x 的第二型降階做的
- 秩一矩陣特征值的結論：
\mathbf{tr}(A)
(1重)，
(n-1重)
證明是可逆變換，然後列分塊線性表出
- 合同定義
- 這裡要揣測出題人的意思，是讓你證明矩陣是否是對稱陣，然後就很簡單了
填空題
- 弧微分
- 參數方程求導
- 實體應用，根式換元求定積分
- 二重積分換序
- 隐函數求偏導數
- 很簡單的一道題，但是要小心，求的矩陣是 6 階的，他是拼起來的
解答題
- 幂指函數求極限
- 第二問按照題目意思模拟，最後會把參數 a 消掉，就很簡單了
- 和李三最後一套裡的微分方程差不多，齊次型化簡
-
全微分求偏積分還原原函數，然後計算一個二重積分
這裡要先用三角恒等變形化簡，否則會很痛苦
-
和20年數一的證明題類似，第一問直接用拉格朗日分段估計
第二問湊微分分布積分還原，最後套絕對值放縮，很簡單
- 屑題
卷二
選擇題
- 正常題，等比級數展開
- 答案用的導數定義，也可以直接泰勒展開，變成幂函數來求導，會更快
- 常用極限結論：
e^{nx} = \begin{cases}+\infty & x>0 \\\\1 & x=0 \\\\0 & x<0\end{cases}
-
本題就是 導數零點定理 證明過程中的一小步
幾何上畫出那個圖就懂了；書寫上用極限保号性配合左低右高
- 題幹給的是：
f'(x) - f(x) > 0
，考慮積分因子法還原：
[e^{-x}f(x)]' > 0
然後構造輔助函數：
F(x) = e^{-x}f(x)
，利用單調性有：
e^{-x}f(x) > e^0f(0)
即：
f(x) > e^x
，再兩側積分有：
\displaystyle\int_0^1 f(x)dx < e - 1
-
多元函數求偏積分，再代值求偏導數
這裡我犯病了，
\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx = \ln |x| + C
這裡是有一個絕對值的，最近不定積分見少了
- 簡單題
- 李六第一套裡出過類似的，這題再額外多了一步的屑題罷了
(A + 2 E)(A - E) \alpha = 0
有非零解
\alpha \ne 0
，故
|A+2E| \cdot |A - E| = 0
若
|A+2E|\ne 0
，則
A\alpha = \alpha
，得出
\alpha
是
A
特征值為 1 的特征向量，與題意不符
若
|A-E|\ne 0
，則
A\alpha = -2\alpha
，得出
\alpha
是
A
特征值為 -2 的特征向量，與題意不符
故
A
同時有特征值：
2,1
，于是有：
f(2)=f(1) = 0
，用 Rolle 定理易得：
f'(\xi) = 0
-
這題 1，2 考的是同解問題，需要構造拼秩，但是 3 的錯誤很明顯，是以還是屑題
（A）：
A^T\alpha = 0, \beta^T\alpha = 0
，易得：
\alpha
是
A^Tx=0
和
\begin{pmatrix}A^T \\\\ \beta^T\end{pmatrix}x = 0
有同解：
\alpha
故
r(A) = r(A^T) = r\begin{pmatrix}A^T \\\\ \beta^T\end{pmatrix} = r(A,\beta)
，得出結論：
Ax=\beta
有解
（B）：反證法，設出解
x
，回代易得
\alpha^T Ax = 1
，又
\alpha^TA=0
沖突，易知無解
- 屑題，二次型入門題，分别乘
\alpha, \beta, \gamma
（
\gamma
是與
\alpha,\beta
兩兩正交的正交向量）
易得特征值為：
1, 2, 0
再又慣性定理寫出答案即可（答案用的秩的不等式，大可不必）
填空題
- 考點和第三題一模一樣
- 參數方程求導，套公式最快：
\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \dfrac{y''x' - x''y'}{x'^3}
- 易得：
x=e
取最小值，考慮沒有電腦的時候如何比較：
2^{\frac{1}{2}}
和
3^{\frac{1}{3}}
比較他們的六次方即可：
\dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{9}
- 背景是幾何應用，實際考的是二重積分換序
-
給的形式看上去是考變量可分離型，實際考的是一階線性微分方程，用積分因子還原即可
> 自從學會積分因子法後，很少去套公式了，做起題來也快了（公式法狗都不用）
> 什麼是積分因子法：2022考研數學高等數學部分—微分方程的優化解法
- 屑題
解答題
- 幂指函數求極限，分類讨論 "
0^0
"型 和 "
\infty ^0
" 型
一開始也可不讨論，用 洛必達的推廣型 做，在最後一步分類讨論即可
-
抽象函數等式，考慮構造任意點的增量型導數定義建立微分方程
由
f(x)f(y) = f(x+y)
構造：
f(x+\Delta x) = f(x) \cdot f(\Delta x)
，由增量型導數定義：
[
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} =
\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x)[f(\Delta x) - 1]}{\Delta x} = f(x)f'(0)
]
化簡易得：
f'(x) + f(x) = 0
，由積分因子法易得：
f(x) = e^{-x}
第二問比較簡單，注意極值點可能是駐點或導數不存在的點
-
比較裸的題，怕你拉格朗日乘子解不出來，還直接把解給你了，讓你反求參數，淚目
先構造，然後代入
x,y
的值，反解
a,b
計算量很小
-
積分域沒有任何的對稱性化簡，轉極坐标也比較複雜，我直接在直角坐标下分段積了，計算量中等吧
答案是極值互化後
\theta ,r
換序了，答案的方法更好
- 利用弧微分計算曲線長度建立微分方程，是二階微分方程的少
y
第二型
換元降階，然後瞎搞搞就出來了，計算量不大
- 屑題，太裸了
卷三
選擇題
- 分離參數，求導繪制大緻函數圖像，然後找交點個數
- 結論題：連續函數 開區間 内如果存在 唯一極值點，那該 極值點 就是 最值點
- 分段用拉格朗日中值定理放縮
- 二重積分，極值互化
- 隐函數方程求偏導數
- 二階微分方程少 y 第二型降階
- 極值互化後
r,\theta
換序
- 用相似轉換研究對象
- 方程組有解問題，
r(A) = m < nr(A,b_m) = m < n
有無窮解
r(A^T) \le r(A^T,b_n) \le n
可能無解
- 數專最快速的方法是 合同變換法 ，非數專 配方法 即可
填空題
- 參數方程求導
- 考曲率半徑的公式，構造好方程後求導找單調性和極值點即可
- 不定積分，根式換元
- 二重積分換序，然後變上限積分求導
-
19年考過一次大題，22年的張四也拙劣的模仿過，求和積分統一化做（通法）
答案用的是區間再現去的絕對值，不過如果是真題的形式：
e^{x}\sin x
區間再現就用不了了
- 研究特征值的問題，簡單題
解答題
- 被積函數中把求導參數換元，再洛必達即可
- 先用對稱性幹掉分母，再極值互化
- 積分不等式中最簡單的一類：變上限積分法，把所有的 a 換元成 x 構造輔助函數，确定初值後求導
- 二階偏導數連續，建構微分方程，換元後是一階線性，用積分因子法還原
- 放縮定積分定義
- 第一問就是構造，湊一湊就出來了；第二問裸題
卷四
選擇題
- 正常題，泰勒展開，合并項
- 由題易得：
x\to +\infty
時，有
f(x) = -x - 1 + o(1)
，直接選出即可
- 利用二階偏導數連續，
u_{xy} = u_{yx}
建立恒等式，反求參數
- 1和3用一下區間再現和2比較，做差放縮都沒用到，比較簡單的積分比大小題
- 根據定積分換元定積分定義
- 易得
k^{-\frac{1}{2}}
是極小值點，故最大值在兩端取到
- 先易得特征根為
\lambda = -a \pm \sqrt{a^2-b^2}
，然後寫出通解：
\overline{y} = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2 x}
欲求
\displaystyle\int_0^{+\infty} y(x) dx
存在，又已知
\lim\limits_{x\to+\infty}y(x) = \lim\limits_{x\to+\infty}y'(x) = 0, y(0) = y'(0)=1
，不妨考慮用微分方程反解
[
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} y(x)dx
&=
-\dfrac{1}{b^2}\int_0^{+\infty} [y''(x) + 2ay'(x)] dx
\\\\
&=
-\dfrac{1}{b^2} \int_0^{+\infty}d[y'(x) + 2ay(x)]
\\\\
&=
\dfrac{1}{b^2} (1+ 2a)
\\\\
\end{aligned}
]
- 拼起來初等行變換，簡單題
- 行向量組等價，說明可經過有限次初等行變換互化：
PA=B
于是有
Ax = 0 \Rightarrow PAx=0
同理可證得
Bx = 0 \Rightarrow P^{-1}Bx = 0
- 特征值出來，行列式的值就出來了，然後代還伴随矩陣即可
填空題
- 隐函數求導，簡單題
- 求導反解參數，俗稱模拟題
- 取對數然後湊定積分定義，簡單題
- 這裡要注意
x
的範圍，不能隻計算
[0,\pi]
的區間（指我自己）
具體做法和卷三15題基本一緻（我指的是我的通法，不是标答給的方法）
- 二重積分極值互化
- 按行展開定理反向構造行列式
解答題
- 卷二的第18題原題，利用導數定義建立微分方程
- 正常題裡穿插了二重積分的計算，還是正常題
- 偶數年考過一次一模一樣的，做法完全一樣
- 高階導數的兩種方法：
- 求導找規律
- 萊布尼茨公式
這題找一下規律就出來了，顯然
第二問答案複雜了，利用上
f^{(n)} > 0
除了
f^{(n-1)}
的單調性，還可以對
f^{(n-1)}
再求一次導，顯然
- 第一問易得，說一下第二問
-
标答的思路：單調有界準則
顯然，遞推函數
f(x) = \dfrac{1}{4}(x + f(x))
是單調遞增的，有已知結論可知
f(x_{n + 1}) - f(x_n)
與
f(2) - f(1)
一緻
然後配合單調性，用單調有界準則
-
我的思路：壓縮映像原理
将第一問的
\xi
代入方程易得：
F(\xi) = \dfrac{1}{4}[\xi + f(\xi)] = \xi
考試的時候我直接用第一型壓縮了。這題也可用第二型，壓縮因子放縮易得，如下：
[
F'(x) = \dfrac{1}{4}(1 + f'(x)) < k = \dfrac{1}{2} < 1
]
第二型的證明方法如下：
[
\begin{aligned}
|x_{n+1} - \xi| = |F(x) - F(\xi)| = |F'(\xi_n)| \cdot |x_n - \xi| &\le \dfrac{1}{2} \cdot |x_n - \xi|
\\\\
&\le \cdots \\\\
&\le \dfrac{1}{2^n} |x_1 - \xi|
\end{aligned}
]
故
\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \xi
-
- 正常屑題，李林四套卷的線代出的真的屑
李豔芳三套卷
卷一
選擇題
- 數列極限，轉函數極限，分母用拉格朗日中值定理，我的做法和答案基本一緻，就不多做闡述了
- 考的概念題，比較基礎
- 利用奇偶性來做的，
\displaystyle\int_a^x
奇函數
dx
= 偶函數，然後分布積分一下，找答案即可
- 參數方程的旋轉體體積問題，想防止柱殼法寫錯，可以直接用二重積分法
- 先找齊次的解的形式，然後對照寫出非齊次特解，比較正常
- 考的二進制極限，
f_1
用平方差拆開化簡，
f_2
由于分子比分母次數低，肯定不連續
- 凱哥選填班有類似題目，如果
a > \frac{1}{2}
，則是極小值點，用等式脫帽法做即可
- 用相似理論來做，首先
A
是秩一矩陣，可以直接寫出特征值：
0,0,0
于是
(E+A)^n
的特征值為：
1,1,1
，故
(E+A)^n
的 trace 為
3
，deg 為
1
标答用的秩一矩陣求高次矩陣，然後二項展開答案做的，也是一個不錯的思路
- 由于
A,B
正定，故
(A^{-1}B)^T(A^{-1}B) = B^{-1}AA^{-1}B = E
可知：
A^{-1}B
也正定
又
(A^{-1}B)^T = B^{-1}A
故兩矩陣對稱，是以有相同的特征值（讀者自證不難，行列式取轉置）
又
B(A^{-1}B)B^{-1} = BA^{-1}
，故
A^{-1}B \sim BA^{-1}
推出 2 錯誤
又
Ax=Bx
有非零解
\alpha
，故
B^{-1}A\alpha = 0
，且
A^{-1}B\alpha = 0
，存在公共特征向量
這題就是按照題目的意思去構造即可
- 找特征值的題，把系數
\dfrac{1}{3}
一開始就提出，會變得簡單一點
填空題
- 非常新的一道題，給定一個曲線方程：
x^3+y^3=y^2
，求斜漸近線
求漸近線，則漸近線一定存在，故不妨令
\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{y}{x} = k
來反求
這題出的也太牛了
- 參數方程問題，式子整理需要用到一定量的三角恒等變形
- 不定積分，三角換元，湊微分
- 全微分解最快，偏導數也可
- 實體應用
- 水題，水的有點過分
解答題
- 多元函數極值，沒什麼好手段，但是顯然
L_y
很好解，從他入手讨論消參
-
餘丙森考過類似的二進制題，真題考的是一進制，方法一樣，兩側取積分做
解一個二重積分，對稱性化簡，極值互化
-
數列極限，比較簡單，有界性用第一數學歸納法即可，單調性利用有界性做商證明
我的方法與答案一樣，不多闡述
-
李林、餘丙森和真題考過第一問，鍊式求導化簡微分方程
第二問比較新，其實就是求一個高階導數
任意點的高階導數，方法就兩個：找規律和萊布尼茨公式法
這題顯然找不到規律，求一階導後，湊出幂函數，然後用萊布尼茨公式即可
-
這題也太新了，真題應該不會這麼考，萬萬沒想到考的是中值定理
第二問比較簡單，值得注意的是答案是錯誤的，已知極限反求參數不能用洛必達法則
正确做法是，先換序，然後求導，然後被積函數等價無窮小，然後積分，然後代初值消 C
- 考了數量積的運算：
\alpha^T\beta = \beta^T\alpha
其他都比較正常
卷二
選擇題
- 兩個無定義點，讨論一下就好了，簡單題
f(x) = x^x
的函數圖像知道的話，秒殺難度
I_1
和
I_2
直接看出來，然後和
I_3
做個差即可（被積函數）
-
被積函數在一個周期上的積分值為 0，則變上限積分也為周期函數，按照這個性質推出 1 2
然後對3 4 用周期函數定義即可
- 區間再現，然後加起來，化簡
-
條件極值，比較簡單，就 3 個方程，随便搞一下就出來了，然後随便取一個點比較一下，判斷是最大還是最小
答案用的無條件極值做的，利用限制條件，消掉了一個參數，然後就是二進制函數問題了
-
積分比大小，但是不同于第3題，這裡要整體做差，然後判斷正負号（因為被積函數做差判别不了）
有一個小放縮挺妙的，不過也可以直接用幾何看出來
[
\begin{aligned}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx
&=
\int_0^{\frac{\pi}{6}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx +
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx
\\\\
&>
e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_0^{\frac{\pi}{6}}(2\sin x - 1)dx +
e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x - 1)dx
\\\\
&=
e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x - 1)dx
\\\\
&=
e^{\frac{\pi^2}{36}}(2-\frac{\pi}{2}) > 0
\\\\
\end{aligned}
]
r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)
故
A
列滿秩，又左乘列滿秩不改變矩陣的秩，易得
- 是一個遠古習題，
A^2\alpha \ne 0,A^3\alpha=0
，可構造無關向量組：
P=(\alpha, A\alpha,A^2\alpha)
則
P^{-1}AP = P^{-1}(A\alpha,A^2\alpha,0) = P^{-1}(\alpha,A\alpha,A^2\alpha)\begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 1&0&0\\\\ 0&1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 1&0&0\\\\ 0&1&0 \end{pmatrix}
剛學向量組的時候，應該都接觸過這題，不過本題難點在于反向構造出來
P
tr(AA^T) = \sum\limits_{i=0}^n a_{ii}^2 = 0 \Rightarrow A = O
2用分塊計算行列式顯然易得，3可以參考一下我下面寫的東西
4考的是一個構造問題，比較難想到（指我沒想到）
> 這裡分享一個利用順序主子式正負求慣性指數的方法，首先把順序主子式按序列如下展開：
[
1, A_1, A_2, \cdots , A_n
]
> 則正慣性指數為相鄰順序主子式之間的保号數，負慣性指數為變号數
> 舉一個簡單的例子：若 4 階矩陣的順序主子式值為：
1, 2, 3, -2, -3
> 易得正慣性指數保号數為 3 即：
(1,2), (2,3), (-2,-3)
> 負慣性指數變号數為 1 即：
(3,-2)
> 【注】有 0 出現的時候，該法不适用
填空題
- 根式換元，簡單題
-
一點處的高階導數一般有兩種做法，泰勒展開和求極限
但是本題并不是在
x=0
處展開，故代入後高階不會消失，是以不能用一點處的高階導數做法
剩下就是任意點高階導數做法了，即找規律和萊布尼茨公式，考慮求幾階找規律
最後統一代入
- 瞎搞搞出來了，實際考的是鍊式求導法則:
[
r = z_r = z_x \cdot x_r + z_y \cdot y_r = \cos \theta z_x + \sin\theta z_y
]
- 參數方程求導
- 二重積分，比較簡單，還原積分域，然後對稱性化簡，極值互化
-
對于構造能力的要求過于高了（不會），放在最後一題，然後給個第一問還是可以做一做的
利用了行列式的單列/行可加性拆分，分離參數
b
：(這一步不太容易想到)
[
c = \begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&b\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}A&0\\\\\alpha^T&b\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&0\end{vmatrix} =
b|A| + \begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&0\end{vmatrix}
]
隻需求出右邊的行列式，即可解出
|A|
然後就很簡單了，用行列式的恒等變形化成分塊上三角行列式即可：
[
\begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}A&0\\\\\alpha^T&-\alpha A^{-1}\alpha^T\end{vmatrix} = -\alpha A^{-1}\alpha^T \cdot |A|
]
又
A
為反對稱矩陣，故
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = -A^{-1}
，即
-\alpha A^{-1}\alpha^T = \alpha A^{-1}\alpha^T
易得：
\alpha A^{-1}\alpha^T = 0
，故
|A| = \dfrac{c}{b}
解答題
-
第二個考到二重積分中值定理的題（第一個出自李六）
由于
\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \ne 0
，故可以用二重積分中值定理化簡，提出
f(\xi,\eta)
直接用連續性代值
然後求一個内擺線的面積
- 設問很新，其實隻要按照題意模拟即可，先對特解
y^{*}
求導，然後代入微分方程化簡
-
真題考過兩次了，一次是1999年數二（完全抽象型），一次是2011年（調和級數）
答案的放縮比較麻煩，最友善的做法是求和符号和積分符号統一做法
[
a_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}dx - \int_0^n\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx =
\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1} (\dfrac{1}{\sqrt{k}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}})dx + \dfrac{1}{\sqrt{n}} - 2 \ge -2
]
-
多元函數結合微分方程的考法，真題見的不多，武忠祥每日一題很多
（可以直接在部落格下找微分方程tag，我沒記錯的話，每日一題微分方程都是結合多元函數的）
比較簡單，不多解釋了，具體可以參考答案
- 第一問比較簡單，直接求導比較麻煩，不妨化簡一下結論，構造輔助函數
F(x)=1+x^2-e^{x^2}
标答的輔助函數還是有些複雜，然後說一下第二問，這個構造，實在不容易想到（我不會的意思）
至少他也應該把
\sqrt{n}
開局放在左邊吧，不然很難想到是一個積分數列的問題
關于這個積分數列問題，真題考過一次（2019年）
[
I_n = \int_0^{+\infty} \dfrac{1 - x^2+x^2}{(1+x^2)^n}dx = I_{n-1} - \int_0^{+\infty}xd[(1+x^2)^{-(n-1)}]
]
- 屑題，就是按照題目意思構造，然後利用構造的東西反複代入即可
卷三
選擇題
- 先求導，然後利用變上限積分等價無窮小來做最快
- 導數定義
- 根據選項構造輔助函數，然後求二階導判斷正負性
- 幾何上來看最快，由
F(x)
大于 0，故積分域越大，平均值越大
- 看瑕點的階
- 二重積分換序，極值互化
- 黑塞矩陣判别式，邊界靠多元函數極限來确定
(x \pm y)^2
在
(0,0)
顯然不是極值點，路徑
y=\mp x
-
向量組的問題，B 雖然難證明，但 ACD 容易舉反例，我大概說一下我的想法：
如果
\alpha_1\ne 0
則
\alpha_1
至少占掉了
1
維，後
n-1
個向量至多額外占
m-1
維空間
故
n-1
的向量中，對答案有貢獻的最多隻有
m-1
個向量，又
n>m
考慮極端情況，
n=m+1
則必定有一個向量的貢獻為
，是以
\alpha_1, \cdots, \alpha_n
線性相關
- 簡單題
- 想推出
E-A
可逆，等價于推出
(E-A)x=0
隻有零解
x^T(E-A)^Tx = x^T(E-A)x \Rightarrow ||x||^2 - x^TAx = ||x||^2 - x^TA^Tx
若
A^T = -A
，則
x^TAx = x^TA^Tx = -x^TA^Tx = 0
，故
||x||^2 = 0
得證隻有零解
填空題
- 隐函數求偏導
- 齊次解還原微分方程，主義虛根是二重根
- 實體應用，這裡的速度是指沿着AB方向的速度
- 模拟題意
- 換序湊微分
- 解行列式
解答題
- 對稱性化簡，極值互化
- 模拟題意，求多元函數偏導，然後解方程
-
第一問直接構造輔助函數，利于單調性證明
第二問按照第一問放縮，再定積分定義
- 變量可分離型齊次微分方程，直接用等腰三角形建方程即可，答案複雜了
- 看似三中值，實際就是雙中值問題，給的第三個中值是在提醒你它就是分點 利用積分因子還原，易得顯然易見，沒什麼好說的
- 設問方式很怪，實際就是利用相似傳遞性，對于未知的A，去解已知的B，做到轉換研究對象的目的‘
第三套挺簡單的，設問有點新，難度系數挺符合今年的
餘丙森五套卷
卷一
選擇題
- 用等價無窮小湊，填選可以試試洛必達（雖然是錯誤做法，但大多數情況都是對的）
- 泰勒展開，高階導數正負，以及左右變号
- 瑕點的階
- 極直互化
- 求導，找單調性，然後找到零點，結束
- 可去間斷點處即是連續也不一定可導：
|x|
- 基本公式，推一下也沒問題
-
向量組的關系問題，要知道兩個線性無關的向量組不能互相表示時，可能占有相同的次元
借助對方其他的次元，是有可能表示出來的，也有可能不能表示出來
不過總體首先是一定存在一方次元超維另一方，是以拼起來秩增加
- 題幹意思是
\beta
可以由
A
列向量線性表示
- 利用特征值找慣性指數
填空題
- 倒代還
- 對稱性化簡，然後分子分母約掉
- 求偏導數代值
- 二重積分換序
- 泰勒展開等比級數
(A^{*})^{-1} = |A^{-1}| \cdot (A^{-1})^{-1}
解答題
- 正常題
- 模拟題意，然後得出一個微分方程，按少
y
的第一型降階，然後按變量可分離型做
- 有點創新，但不夠創新，二重積分，被積函數是一個
max
函數，找到分段點，拆成分段函數後，正常做
- 偏導數，模拟題意
- 雙中值，（專題還沒寫到）要到的方法是先設出分段點，然後化簡結論後，讨論分段點位置
-
第一問是一個經典證明，群裡給人答疑過一次，是利用方程組問題來求解的
第二問張八李六都考過了，不多解釋
卷二
選擇題
- 第一套出過了，求導繪制大緻圖像，找零點
- 區間再現，分離求導變量和積分變量，然後積分就好了
- 真題考過了，逆用牛頓萊布尼茨公式
- 張八考過，繼續對
f(x,x^2) = x^3e^{-2x}
求關于
x
的偏導數，解一個方程即可
- 隐函數存在定理：
F
在點
(x_0,y_0)
某鄰域
D
内連續
F(x_0,y_0) = 0
（通常稱為初始條件）
F
在某鄰域
D
記憶體在連續偏導數
F_y(x,y)
F_y(x_0,y_0) \ne 0
（一般是驗證最後一個條件）
- 積分再現後并在一起，答案用的負代還：
[
\int_{-1}^1 \frac{x\arctan x}{1+e^x}dx =
\dfrac{1}{2}\int_{-1}^1 \frac{(x\arctan x)(1+e^x)}{1+e^x}dx =
\int_{-1}^1 x\arctan xdx
]
- 求導找各個區間上的單調性，然後繪制大緻圖像，根據極值定義去找點
- 向量組線性無關的問題，簡單題
- 我沒有被分塊的結論，當場直接求的
- A 選項是正定的定義，不難驗證：
(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}) = 0 \Rightarrow 2Ax = 0
，
(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j})= 0 \Rightarrow 2Ax = 0
D 選項考的是正定矩陣 合同于 機關矩陣，正确表述應把 秩一分解 換成 合同分解
填空題
- 張八還是李林出過了，放縮然後定積分定義：
[
1 \leftarrow \dfrac{n^2}{n^2+n} \cdot \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n} e^{\frac{k}{n}} \le \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 + k} e^{\frac{k}{n}} \le
\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n} e^{\frac{k}{n}} \rightarrow 1
]
- 求導代值，求導的時候就可以發現左邊不求的項代值後為零，進而直接略過運算後面的複雜求導
- 二階常系數齊次微分方程利用特解形式求出齊次形式下的參數，然後反解出特解的參數
- 參數方程表面積，套弧微分公式就好了
- 極限比較複雜，可以适當分解假分數後，拆極限來算
[
\begin{aligned}
\lim_{x\to\infty}(\dfrac{x^2+1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}} - x) &=
\lim_{x\to\infty}(xe^{\frac{1}{x-1}} - \dfrac{x-1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}} - x) \\\\
&=
\lim_{x\to\infty}x(e^{\frac{1}{x-1}} - 1) - \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}}
\\\\
&= \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x-1} - \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-1}{x+1}\\\\ &= 1 - 1 = 0
\end{aligned}
]
- 利用相似傳遞性轉移研究對象：
P^{-1} (A - E) P = B \Rightarrow P^{-1}AP = B + E \Rightarrow A \sim B + E
有：
|A| = |B + E|
解答題
- 隐函數連續求導，極限用洛必達
-
多元函數最值，先找區域内的駐點，在找邊緣上的極值
因為有三條曲線的限制，關于
x=0
的可以直接令
x=0
然後線上上找
對于
x^2 + y^2 = 16
也可以直接令，然後線上上找
進而化為多個一進制函數極值問題求解
- 簡單題，通過
sgn
函數對積分域分段，然後分别利用對稱性化簡
- 考可微定義：
\lim\limits_{(x_0,y_0)\to(0,0)} [f(x,y) - A(x-0) - B(y-0) - f(0,0)] = o(\sqrt{x^2 + y^2})
- 求導找單調性，第二問利用第一問的結論判别單調性
A \simeq B \Rightarrow A
的零慣性指數為
2 \Rightarrow A
有二重特征值
0 \Rightarrow |A| = 0
且
r(A) = 1
第二問太正常了：
P^TA^2P = P^TAP \cdot P^TAP = \Lambda^2
卷三
選擇題
- 極限求參數，可以直接倒代換
- 漸近線求極限，分别是水準漸近線/鉛錘漸近線/斜漸近線，注意
e^x
趨于無窮的極限不一樣
- 正常做泰勒展開，選擇題可以洛必達，雖然是錯誤做法，但一般都是對的
- 變上限積分函數等價無窮小
- 做差比大小，求導判單調性
- 通過通解形式反求微分方程，求出齊次後，對通解求導帶入求出右側形式即可
- 對條件處理出
f(x)
然後代入右邊
- 秩相等的同解問題
- 合同變換是可逆變換
r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)
填空題
- 反函數求導：
\dfrac{d^2x}{dy^2} = -\dfrac{y''}{y'^3}
- 一進制函數可微定義：
\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)
，其中
A = \dfrac{dy}{dx}
-
任意點的高階導數處理方法：1.找規律，2.萊布尼茨公式
本題用萊布尼茨公式
- 通過通解反求微分方程
- 簡單的定積分，答案用的求和法把積分拆開，然後湊定積分定義，則
[
I = \sum_{k=1}^{n}\int_{k-1}^k \frac{x}{n^2+x}dx =
\sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n^2+\xi_k}dx
]
常見的放縮形式：
[
\frac{1}{2} \leftarrow \frac{n^2}{n^2 + n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n} \le
\sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n^2+\xi_k} \le
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n} \rightarrow \int_0^1 xdx = \frac{1}{2}
]
- 同解問題：
r(A) = r\begin{pmatrix}A\\\\B\end{pmatrix} = r(B)
解答題
- 參數方程求導，好屑的計算題
- 模拟題意，建立微分方程，少
x
的第二型降階求解，最後要化簡（真題考過）
- 前天的每日一題
- 張八還是李六考過了，大圓套小圓，割補法
- 第一問單調性，第二問是直接求，沒法找出遞推關系用單調有界準則，第三問簡單
[
\begin{aligned}
e^{x_n} + x_n^{2n+1} &= 0 \\\\
x_n^{2n+1} &= -e^{x_n} \\\\
x_n &= -e^{\frac{x_n}{2n+1}} \\\\
\end{aligned}
]
由于
x_n
有界，故
\lim\limits_{n\to\infty}x_n = -\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{x_n}{2n+1}} = -e^0 = -1
-
正常題，表達式不唯一說明列向量線性相關，是以行列式為 0，然後利用非齊次有解篩掉錯誤答案
第二問求 A 的正交變換
卷四
選擇題
\epsilon - N
定義
- 簡單題，重點在于要有一個無窮小量低消
\sin x
的振蕩，才會形成可去間斷點，否則就是震蕩間斷點
- 利用瑕點收斂的階可以确定參數
a=b
，然後解一個不定積分即可
[
\int\dfrac{b}{2x^2+bx}dx = \int \dfrac{b+2x-2x}{x(2x+b)} dx =
\int (\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+b}) dx
]
- 偏導數連續，建立等式消元即可
- 均值不等式放縮：
0\le 2xy \le x^2 + y^2 \le 1 \Rightarrow 0 \le \pi xy \le \dfrac{1}{2}\pi0\le 2\sqrt{xy} \le x + y \le 1 \Rightarrow 0 \le \pi xy \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi
- 按照定義去做就好了
- 齊次解形式确定出齊次線性微分方程，然後利用特解代入求出非齊次線性微分方程
- 簡單題
- 列分塊，真題考過了
- 特征重根的特征向量可以利用基礎解系任意給出，但不能帶上其他特征根的特征向量（超維行為）
填空題
- 求導，求極限，可以先把對數拆開再求導
- 先分離求導變量和積分變量，先确定初值，然後求導，再解微分方程，再代入求導前确定的初值
- 弧微分，可以直接用心形線的參數方程來求
- 答案用的有理函數分解做的，也可以直接拆項：
[
\int \dfrac{1 + x - x}{x^2(1+x)} dx =
\int (\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1 + x - x}{x(1+x)}) dx =
\int (\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1 + x}) dx
]
- 極值互化，轉直角坐标的參數方程（參數是極坐标下的
\theta
），然後就是參數方程求導問題
- 按最後一列展開，可以直接獲得遞推式，然後求一個等差數列即可
解答題
-
正常題，泰勒展開，（大題不能洛必達）
可以直接背出這個展開：
(1+x)^{\frac{1}{x}} = e - \dfrac{e}{2}x + \dfrac{11e}{24}x^2 + o(x^2)
- 依稀記得李六第一套出過了，不過這題比較簡單，直接分區間拆絕對值，然後求導代值，很正常
- 真題考過原題，答案都一摸一樣（這題要求
a > 0
，是以最後兩個答案要二選一，真題是兩個都保留）
- 輪換對成性化簡，然後極值互化，計算量不大
- 用萬能構造法易得輔助函數：
F(x) = e^{\frac{-x}{b-a}}[f(x) - f(a)]
有初值：
F(a) = 0
，需要找到另外一個零點，即可 Rolle 出答案，但是本題隻給了
f'(c) = 0
根據之前寫的【專題】中值定理證明題，除了羅爾，還有一個費馬引理可以處理這個問題
若
f(c) = f(a)
秒殺
讨論
f(c) \ne f(a)
不妨設
f(c) > f(a)
，易得
F'(c) < 0
，故極大值在
(a,c)
内部取到
有
F'(\xi) = 0
-
第一問如果直接莽上去也可以算，因為他給的矩陣太具體了
正常做法應該是列分塊湊特征值定義
第二問，出題人還是想考特征值定義
因為
r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = 3
，則可以寫出線性表示：
\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3
，有：
[
A^{2022}\beta = k_1A\alpha_1 + k_2A\alpha_2 + k_3A\alpha_3 =
k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + 2^{2022}k_3\alpha_3
]
于是有等式：
k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + 2^{2022}k_3\alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3
，易得
k_3 = 0
然後就很簡單了，利用
\alpha_1
和
\alpha_2
線性表示出
\beta
即可
卷五
選擇題
- 由于極限存在，故
f(0) = f'(0) = 0
，故可湊導數定義：
[
\lim_{x\to0}\dfrac{f(x) + f'(x)}{x} =
\lim_{x\to0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x} + \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x) - f'(0)}{x} =
f'(0) + f''(0) = 2
]
- \(\displaystyle\int_a^x\) 奇函數 \(dx\) = 偶函數，\(\displaystyle\int_0^x\) 偶函數 \(dx\) = 奇函數 \((\) 奇函數 )' = 偶函數，\((\) 偶函數 )' = 奇函數
- 可以從幾何上直接看出來，嚴謹數學證明用組合積分思想：
[
\begin{aligned}
I - J &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx =
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx
\\\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx +
\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \dfrac{\sin x - \cos x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx
\\\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx +
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx
\\\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \cdot (\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2})dx > 0
\end{aligned}
]
- 區間再現，然後求兩次導，判單調性和凹凸性，簡單題
- 選擇題可以直接特值法
f(x) = x
，嚴謹證明用到了微分中值的二次構造思想：
\xi f'(\eta) = f(\xi) - f(0) \Rightarrow \xi = \dfrac{f(\xi) - f(0)}{f'(\eta)}[
\begin{aligned}
\lim_{x\to0} \dfrac{\xi}{x} = \lim_{x\to0} \dfrac{f(\xi)-f(0)}{xf'(\eta)} &=
f'^{-1}(0)\lim_{x\to0} \dfrac{\displaystyle\int_0^xf(x)dx-xf(0)}{x^2}
\\\\
&=
f'^{-1}(0)\lim_{x\to0} \dfrac{f(x)-f(0)}{2x} = \dfrac{1}{2}
\end{aligned}
]
- 利用非齊次特解形式，求出齊次方程，然後帶入特解解出非齊次方程
-
連續好判斷，但是這題用考研範圍内的數學極限，判斷不了函數是否可微
可以轉換思想，直接去看他的偏導數是否連續，一個條件強弱的常識：
偏導數連續 > 可微 > (偏導數存在 && 函數連續)
- 簡單題，利用相似對角理論秒殺
- 右乘行滿秩不改變矩陣的秩：
r(A) = r(AB) = 3 = 4 - 1
，然後易得：
r((AB)^{*}) = 1
- 給出的兩個向量線性無關，有：
A = 2E + \alpha\beta^T \Rightarrow A\alpha = -\alpha
以及：
r(A-2E) = r(\alpha\beta^T) = 1
，故有特征根：
\lambda = 2
(二重)，
-1
(一重)
填空題
- 簡單題
- 求偏導，簡單題
- 套形心坐标公式，簡單題
- 求偏積分，然後解參數，簡單題
- 直接對方程兩側求積分，對于
y''
項的處理用分布還原：
[
\begin{aligned}
\int_0^1 x(x-1)y'' dx &= \int_0^1 x(x-1) dy' = 0-\int_0^1 y'(2x-1)dx \\\\
&= -\int_0^1 (2x-1)dy = -0+2\int_0^1ydx \\\\
\end{aligned}
]
隐約記得，真題考過一年，不過是考二重積分的形式，但做法類似，也是通過連續分布積分湊
李六最後一套好像也考過了
- 特征多項式問題，簡單題
解答題
- 答案用求導找的極值，更快速的方法是直接用均值不等式：
[
\dfrac{1}{4a} + \dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{3} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{2}{3}
]
- 無條件極值加隐函數，求偏導找駐點，湊黑塞矩陣判别式，正常題
-
真題考過一年，李六第三張還是第四張也考過了
用已知條件先化簡，然後解二階非齊次線性微分方程，留數法和微分算子都可
-
考了萬有引力，本實體渣挂掉了，這題還要額外受力分析
由于對稱，在豎直方向上的分力被抵消了，隻需計算水準方向上的合力即可
- 超簡單的柯西中值定理和超簡單的放縮
-
第一問易得，第二問正常，第三問真題考過
用了正交變換的保向量模長相等的性質，轉換研究對象
對于這個做法，我在 【專題】多元函數極值問題 中進行了詳解
把該做法，拓展到了一般二次型的多元函數問題，有興趣的可以看一看
張宇八套卷高分版
卷一
選擇題
- 利用函數的性質的定義去做就好了，他是一個偶函數，不是奇函數
- 連續/可導，兩個方程兩個未知數
- 千萬不要去解微分方程，考慮利用極值定義去算即可，他都說了
x_0
是駐點了
- 分母是立方差的因式，考慮換元立方差，然後利用等比級數展開即可
- 隐函數求偏導
- 偏導數連續的性質
f_{xy}=f_{yx}
- 二重積分換序
- 利用按列展開的定義，構造新的行列式，再計算該行列式
- 沒看懂答案要幹嘛，我說一下我的想法，
A^m = 0
易知
A
隻有唯一特征值
，故
tr(A) = 0
這一步并沒有用相似理論（A也不能相似對角化），用的是秩一矩陣的性質
A
可以對角化，故
r(A-2E)=1
填空題
- 求導，分段點導數定義
- 求導，按照拐點定義令為 0
- 不定積分，老朋友了，按照立方和公式展開，然後添項減項再拆，再湊微分
- 鍊式求導法則
- 同解問題，三種方法，我用的是求一個代一個
- 送分題
解答題
- 定積分定義
-
沒搞出來，做的時候讀假題了，題目轉的是切線和曲線圍成的部分，以為是多元條件極值，直接莽上去了
答案給的方法非常巧妙。欲求圍成的面積最小，又因為切線在曲線下方，曲線又是恒定的
故等價于讓切線扣掉的體積盡可能大，這樣就轉化了研究對象，題目難度大大化簡
- 實體應用，秒殺難度，計算量也不大
- 多元函數鍊式求導，也不難
- 這題的微分方程還是比較複雜的，是二階變系數，既可以當做少
x
的第一型做，也可以當作少
y
的第二型做
複雜在他算的每一步都不太像是正确答案
-
李林卷出過一道原題，不過李林那個沒出好，直接令就能令出來
張宇這裡就要老老實實做了，不過他引導了第一第二問，又把難度給降下來了，隻能說二位出題人平分秋色吧
（不會出題可以不出的呀）
卷二
選擇題
- 極值和拐點的定義
- 常見分段函數，分段讨論即可
- 含參數不等式，把參數單獨放到不等式一邊，研究另一側函數性态
- 答案很複雜，說說我的做法，不難看出高階導數相鄰階存在遞推關系，利用遞推關系建立等差數列遞推即可
- 李林六套卷出過類似的，把定積分設為常數，放到另一遍，然後兩側積分
- 多元函數線性變換的鍊式求導問題，模拟題意即可
- 利用通解還原齊次微分方程，從特征方程出發，乘開即可
- 求行列式問題，行和相等，全部加到第一列即可；也可以處理成爪型行列式做
- 送分題
- 送分題
填空題
- 極限小題，被積函數等價無窮小解定積分，也可以洛必達
- 拆成兩部分來看，右邊用求導後奇偶互換來做
- 被積函數含
x
考慮還原，然後就很簡單了
- 對着答案算還會錯的題目，出得不行（大漢黃豆）
\Lambda^2 \rightarrow \Lambda
的過程，李林考過，屑題計算量
解答題
- 極限小題
- 定積分，比較正常，上來可以用
\sin x
關于
x = \dfrac{\pi}{2}
對稱，直接削掉一半積分限 室友這一步用的換元，換元換到關于
x=0
的對稱區域上，這也是不錯的思路 然後就可以把
\sin x
換元成
u
解一個有理函數定積分，根式換元後，可以湊微分分部積分（最快） 也可以三角換元
- 關于
y=-x
對稱的兩個變量必有
x+y=0
的解，簡單的多元極值問題
- 第一問湊微分，第二問原函數比較難找，這裡用萬能構造法要寄，需要按照
g(x)
的标準找原函數 考慮乘以他的分母搞出來
- 二重積分，極直互化，然後輪換對稱性削掉一部分，積分另一部分即可
- 答案的構造想不到也看不懂，說一下我的做法，用到了很多秩一矩陣的性質 若
A = \alpha\alpha^T
，則有
A^n = tr(A)^{n-1}A = (\alpha^T\alpha)^{n-1}A = AA^n = A
在數學上稱為幂等矩陣。
1-x^{n+1} = (1-x)(1+x+\cdots+x^n)
然後這題給的等式，剛好可以按照幂差還原：
AB-B=A-E
然後就有了兩個方程：
\begin{cases} AB = (n+1)A\\\\ B = E + nA \end{cases}
，目的是湊出
B C = E
的形式 考慮一式方程兩側乘以
\dfrac{(n+1)}{n}
，有
\dfrac{n+1}{n}AB = nA
然後和二式相減：
(E - \dfrac{n}{n+1}A)B = E
于是
B
可逆和
B
的逆矩陣就都有了 第二問，就是轉化研究對象：
|B-3E| = |nA-2E|
再利用相似對角化理論搞出來 （
tr(A)\ne0
，則
A
一定相似，這是秩一矩陣性質，讀者自證不難）
卷三
選擇題
- 選擇題，洛一洛更快（雖然是錯的做法）
- 簡單題，比較在瑕點的階
- 用羅爾原話轉換研究對象
- 考的是一個泰勒展開，最後化為求極限
- 選項有問題呀，選A為什麼不可以選B？ 做法肯定是先分布積分，利用二階導數小于零提供的單調性來判正負
- 可微定義式
- 對稱性消掉一個，再做一個二重積分
- 做一個可逆變換，利用合同變換和慣性定理出結論
- 簡單題
- 簡單題
填空題
- 沒法用齊次解直接求出，考慮設出微分方程，然後把三個解代入求參
- 洛必達求極限，隐函數求導
- 隐函數求導
- 多元函數求偏積分
- 上一套和過關版都出過，利用變上限積分湊微分
- 實對稱陣不同特征值的特征向量正交
解答題
- 幂指函數求極限
- 方程兩側不停求導代入
- 多元函數極限，慚愧，做這一題之前，我甚至不知道橢圓面積是
a^2b^2
目标函數是多項積，限制條件是多項平方和，可以湊均值不等式放縮，避免拉格朗日數乘法
[
a^2b^2 = a^2 + b^4 = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}a^2 + b^4 \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}a^2b^2}
]
- 二重積分，極直互化
- 微分方程部分很簡單，求面積極值就比較痛苦
- 正常題，不等式那一問用正交變換轉換研究對象
卷四
選擇題
- 幂指函數求極限
- 羅爾定理的應用
- 用一下區間再現後積分再現
- 瑕點處的階
- 比較綜合的一道題，連續性後導數定義
- 積不出來的，實際考的是積分比大小
- 二重積分換序
- 左乘列滿秩，右乘行滿秩不改變矩陣的秩 第二個命題直接反例
s = 1
- 湊特征值定義的題
- 利用基礎解系反向構造系數矩陣
填空題
- 極限，倒代換
- 參數方程求導
- 區間再現
- 高階導數，注意不是一點處的高階導數，需要推導，不能直接展開
- 偏積分，多元函數求偏導
- 已知特征值反向構造問題，步驟裡有一些竅門，可以完全避免求逆，運算超快，不太容易文字講解，是一個凱哥講過的方法
解答題
- 多元函數極值，可以用齊次性化簡
- 分離參數，求單調性問題
- 定積分幾何應用，不難
- 中值可分離性問題，可以用柯西中值定理，第二問簡單的求極限
- 二重積分，簡單的割補法
- 真題考過了，簡單題
卷五
選擇題
- 瑕點比階
- 求極限
- 積分比大小，上下限相同，可以比較被積函數大小，做差
- 分離參數，求導繪制函數圖像
- 減号處拆開，泰勒展開
- 洛必達
- 變上限積分的被積函數不連續，則變上限積分在這一點不可導
- 右乘行滿秩矩陣，不改變自身的秩
- 湊特征值與特征向量的定義
- 相似的必要條件，以及合同對角化問題
填空題
- 隐函數，參數方程，求導
- 變量可分離型微分方程
- 注意是求面積，不是求周長
S = \frac{1}{2}\theta r^2
- 可微定義
- 二重積分，對稱性化簡積分區間，然後換序
- 按列展開定理反向構造行列式
解答題
- 李林出過，幂指函數求極限取指對數，然後定積分定義
- 李林出過，分區間拆開，求導後利用偶函數性質化簡
- 李林出過，表達式可以用輔助角公式化簡，這樣第二問可以直接點火公式
- 多元函數偏導變換問題，俗稱模拟題
- 二重積分，可以逆用形心坐标公式化簡計算
y
的部分
- 利用相似的傳遞性，轉換研究對象，簡單題
卷六
選擇題
- 簡單題
- 常用的有限項放縮法
- 求導判斷單調性，繪制大緻函數圖像
- 簡單題
- 簡單題
- 求偏導，換元，解微分方程
- 積分比大小，直接比較被積函數即可，做差法
- 矩陣等價：有限次初等行列變換； 矩陣相似：
\exists
可逆矩陣
Q
, s.t.
Q^{-1}AQ = B
矩陣合同：
\exists
可逆矩陣
Q
, s.t.
Q^{T}AQ = B
- 二次型正定的必要條件：順序主子式都大于零
- 簡單題
填空題
- 簡單題
- 換序
- 不定積分，先對分母處理，把整個分式化成倒三角，然後按住後面不動，對前面湊微分分部積分，即可把後面抵消
- 二重積分定義
- 求偏導，把
f_y
視作
f_2
就能看懂了
- 簡單題
解答題
- 真題考過了
- 把參數方程和微分方程結合起來考了，出得還不錯，最後是解不定積分
- 幾何應用 + 實體應用，求變化率的問題，注意抛物線要設對
- 微分不等式，做差，找初值，判單調性
- 二重積分，對稱性化簡積分區域，拆積分區域去絕對值，正常題
- 利用對角陣反向構造原矩陣，簡單題
卷七
選擇題
- 簡單題
- 11月21号每日一題
- 簡單題
- 簡單題
- 通解形式反向構造
- 簡單題
- 簡單題
- 簡單題
- 簡單題
- 簡單題
填空題
- 簡單題
- 錯題❌，題目應該把積分下限提到1，否則式子是錯誤的 做法是，求兩次導，利用平方差裂項，然後分别求高階導
- 簡單題
- 簡單題
- 題目忽悠人，實際也是簡單題
- 利用餘子式反向構造
解答題
- 微分方程 + 不定積分
- 簡單題
- 外擺線求體積和表面積
- 雙中值問題，用拉格朗日中值定理
- 二重積分，對稱性化簡，然後直接積
- 簡單題
卷八
選擇題
- 簡單題
- 簡單題
- 兩個零點
- 簡單題
I_1
放縮出來求
- 二重積分，對稱性
- 變量可分離型微分方程
- 若
A
可逆，則
A
可以隻通過初等行/列變換之一，化成機關矩陣形式
- 簡單題
- 簡單題
填空題
- 參數方程求導
- 隐函數求導
- 一點處的高階導數考慮泰勒展開
- 多元函數求偏導
- 二重積分，對稱性
- 湊特征值定義
解答題
- 積分化歸成數列，利用遞推關系式求解
- 不等式很好證明，第二問放縮定積分定義
- 克拉默法則
- 二重積分，真題考過了原題
- 凱哥選填課上講過的，利用推廣的洛必達法則
- 沒算完，不想算，沒意思 和相似類似的做法，不過合同要一直合同到标準型，然後再弄回去，真沒意思，純算
公共數學二 真題模拟
| year | score | date | about |
|---|---|---|---|
| 2005 | 135 | 10/20 | 第18題微分方程不會，要先轉化參數方程最後一題線性代數，直接分類讨論亂搞就好了 |
| 2006 | 143 | 10/21 | 變上限積分函數的連續性與被積函數的連續性之間的關系第12題是一個拉格朗日數乘法解方程問題 |
| 2007 | 123 | 10/22 | 變上限積分表示一段面積的時候不要想當然偏導數連續，意味着什麼要搞清楚非齊次微分方程的通解要加上齊次解！！第19題微分方程沒做出來，有時要颠倒求解好好反思 |
| 2008 | 133 | 10/23 | {\(f(x_n)\)}表示函數 \(f(x)\) 的生成數列第一次錯線代題，用到了 克拉默法則拐點是 二階導數為0 或 不存在 的點好好反思 |
| 2009 | 146 | 10/24 | 這套填選全對，大題都是做對的，但是每個大題的最後一小步都會出錯好好反思 |
| 2010 | 144 | 10/25 | 實體應用 對稱區間，算完積分，要記得對稱過去乘2填選最後一題過于簡單，導緻提公因式提錯了2333，細節問題 |
| 2011 | 136 | 10/26 | 實體應用不會（弱項，之前準備數一，就沒認真寫過實體應用題目多元函數無條件極值，黑賽矩陣行列式 大于零取極值（\(z_{xx}<0\)極大，反之極小）黑賽矩陣行列式 等于零無法判别（用極值的定義，求二進制極限）黑賽矩陣行列式 小于零不是極值點 |
| 2012 | 136 | 10/27 | 選擇題第二題算對了，選錯了選擇題第三題，沒看到是正項級數，選了非充分非必要定積分的幾何應用，沒看到第一問，隻做了第二問 |
| 2013 | 132 | 10/28 | 選擇題錯了三道，前兩個錯誤是計算錯誤\(AB=C\) 是從 \(A,C\) 列分塊來看的一個關于 \(B\) 的可逆變化這一套的 條件極值 不是給人做的，二次多項式 的可以用到 三角換元、不等式放縮、二次型 化簡來做，但 三次 隻能用 拉格朗日數乘法不過有個小問題，就是拉格朗日數乘法求解的是 限制條件的邊界上的極值是以最後求 最值 的時候，還是要考慮限制條件邊界上，取值的邊界情況 |
| 2014 | 122 | 10/29 | 選擇題第5題是一個很神奇的反求過程，不會數列第20題是一個疊代遞推數列，居然是直接歸納法寫出的通項，沒想到其他都是計算錯誤：分數通分錯誤、微分方程求完沒代初值錯誤、二重積分約分約錯錯誤感覺今天狀态不是很好 T_T |
| 2015 | 144 | 10/30 | 好好睡了一覺調整了一下狀态，外加簡單年，勉強及格錯了一道微分方程填空題，答案算對的，謄到答案紙上寫錯了線代第一問最後一個矩陣算錯了要手算三次矩陣乘法和一次求逆矩陣的過程這種題就應該程式設計來實作，哪有讓人手算的。。。 |
| 2016 | 136 | 10/31 | 第11題沒看到兩個解，直接當成二階微分方程做了，實際上是一階第13題注意這個 \(L\) 不是 弧微分，\(dL \ne \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\)故 \(\dfrac{dL}{dt} \ne \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})^2 + (\dfrac{dy}{dt})^2}\)，這是我錯的原因，應該用鍊式求導法則來算\(\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{dL}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}\)第19題，臨門一腳，雖然求出了 \(u(x)\) 沒看到要求通解，扣兩分第20題，算體積時要用到 割補法因為給的一個是直角坐标系，一個是參數方程，不能直接算想了很久如何直接用二重積分算，導緻一開始沒做出來，做完線性代數回來重新看的時候，發現第二問要求表面積，表面積要分别算兩個曲線的 弧微分，這才想到第一問可以用割補法來求主要是前10年的幾何應用都可以直接用二重積分搞出來，導緻這方面的思想遲鈍了2333最後一題求逆矩陣時又算錯了。主要是時間不多了，沒實作檢驗這套總體計算量相較于15年大了很多，15兩個小時就寫完了，16寫滿3小時偶數年難就難在計算量上，後期打算以增強計算能力為主要方向 \(w\) |
| 2017 | 131 | 11/1 | 兩個小時就做完了，然後就去吃飯了，然後就計算錯了一堆事實證明，越簡單的卷子，越是不能大意選擇題第二題用的特殊值法，暫時還沒想出怎麼做到泛性證明第16題鍊式求導，注意因為已經要求具體值了，是以答案要寫成\(f_1(1,1)\)，而不能隻寫 \(f_1\)第21題主要算出方程後，要寫出 \(x\) 的範圍，這是題目的限制條件這套卷子犯病最嚴重的地方是 \(x\) 轉極坐标的時候代了 \(r\sin\theta\)，太下飯了 |
| 2018 | 126 | 11/3 | 填選全對，就怪了，第十二題，參數方程求導，算錯了，難受這套填選，難度是在的，兩道線性代數選擇題需要一定的思考量，不像前幾年硬送第15題經典根式換元，ez難度第16題，方程兩側求導時，隻導了一遍，這種事發生第二次了。。。第17題，是一套積分域為外擺線的二重積分題，計算量蠻大的有兩種算法，一種是強行乘開硬算，一種是多次利用和差倍半三角公式化簡，都不太好算第18題，求導判單調性找極值點，ez難度第19題，直接柯西不等式秒殺第20題，沒搞出來，變化率的問題，以為是微分方程，其實直接設出曲線方程然後算一個二重積分把 \(S\) 搞出來，再套公式用鍊式求導法則即可第21題，經典單調有界準則，ez難度第22題，第一問解方程組，第二問配方法（配錯了，難受）第23題，A經過有限次初等列變化變成B，求參數，可以拼在一起讓秩相等，也可以直接求行列式因為A的行列式為0，然後反解出參數；第二問還是去方程組的問題，最後需要一點解結構的了解有一說一做的不行，外擺線沒算出來，大題小錯誤頻繁，實體應用經典不會，慢慢來吧。。。 |
| 2019 | 126 | 11/4 | 第19題是個很好的題目，可以讀假題了，後來重新做，搞出來了是一個老模型了，拆積分區間，然後做積分再現這題的綜合性考察還挺多的，可惜做的時候讀假題了，浪費了一個好題第20題求導計算錯誤第22題，出題人腦子指定是有點問題的，題目中 "求 \(a\) 的取值"然而 \(a\) 實際上不但要分類讨論，而且其中一個情況下，\(a\) 是可以取到實數集的大小做的時候，一直以為自己錯了，對完答案後，一直在輸出出題人還有一個選擇題第 \(5\) 題，比較積分大小，1和2好确定，3比較複雜沒想出來答案是用3和2做差加輔助角公式搞出來的其他全對，感覺這套就是被出題人搞了，唉。。。 |
| 2020 | 141 | 12/20 | 完全體考的，切菜就完事了 |
| 2021 | last | 這套沒時間做了。。 | |
| 平均 | 135.4 |
f(x_n)
}表示函數
f(x)
的生成數列
第一次錯線代題，用到了 克拉默法則
拐點是 二階導數為0 或 不存在 的點
好好反思 2009 146 10/24 這套填選全對，大題都是做對的，但是每個大題的最後一小步都會出錯
好好反思 2010 144 10/25 實體應用 對稱區間，算完積分，要記得對稱過去乘2
填選最後一題過于簡單，導緻提公因式提錯了2333，細節問題 2011 136 10/26 實體應用不會（弱項，之前準備數一，就沒認真寫過實體應用題目
多元函數無條件極值，黑賽矩陣行列式 大于零取極值
（
z_{xx}<0
極大，反之極小）
黑賽矩陣行列式 等于零無法判别（用極值的定義，求二進制極限）
黑賽矩陣行列式 小于零不是極值點 2012 136 10/27 選擇題第二題算對了，選錯了
選擇題第三題，沒看到是正項級數，選了非充分非必要
定積分的幾何應用，沒看到第一問，隻做了第二問 2013 132 10/28 選擇題錯了三道，前兩個錯誤是計算錯誤
AB=C
是從
A,C
列分塊來看的一個關于
B
的可逆變化
這一套的 條件極值 不是給人做的，二次多項式 的可以用到 三角換元、不等式放縮、二次型 化簡來做，但 三次 隻能用 拉格朗日數乘法
不過有個小問題，就是拉格朗日數乘法求解的是 限制條件的邊界上的極值
是以最後求 最值 的時候，還是要考慮限制條件邊界上，取值的邊界情況 2014 122 10/29 選擇題第5題是一個很神奇的反求過程，不會
數列第20題是一個疊代遞推數列，居然是直接歸納法寫出的通項，沒想到
其他都是計算錯誤：
分數通分錯誤、微分方程求完沒代初值錯誤、二重積分約分約錯錯誤
感覺今天狀态不是很好 T_T 2015 144 10/30 好好睡了一覺調整了一下狀态，外加簡單年，勉強及格
錯了一道微分方程填空題，答案算對的，謄到答案紙上寫錯了
線代第一問最後一個矩陣算錯了
要手算三次矩陣乘法和一次求逆矩陣的過程
這種題就應該程式設計來實作，哪有讓人手算的。。。 2016 136 10/31 第11題沒看到兩個解，直接當成二階微分方程做了，實際上是一階
第13題注意這個
L
不是 弧微分，
dL \ne \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}
故
\dfrac{dL}{dt} \ne \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})^2 + (\dfrac{dy}{dt})^2}
，這是我錯的原因，應該用鍊式求導法則來算
\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{dL}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}
第19題，臨門一腳，雖然求出了
u(x)
沒看到要求通解，扣兩分
第20題，算體積時要用到 割補法
因為給的一個是直角坐标系，一個是參數方程，不能直接算
想了很久如何直接用二重積分算，導緻一開始沒做出來，做完線性代數回來重新看的時候，發現第二問要求表面積，表面積要分别算兩個曲線的 弧微分，這才想到第一問可以用割補法來求
主要是前10年的幾何應用都可以直接用二重積分搞出來，導緻這方面的思想遲鈍了2333
最後一題求逆矩陣時又算錯了。主要是時間不多了，沒實作檢驗
這套總體計算量相較于15年大了很多，15兩個小時就寫完了，16寫滿3小時
偶數年難就難在計算量上，後期打算以增強計算能力為主要方向
w
2017 131 11/1 兩個小時就做完了，然後就去吃飯了，然後就計算錯了一堆
事實證明，越簡單的卷子，越是不能大意
選擇題第二題用的特殊值法，暫時還沒想出怎麼做到泛性證明
第16題鍊式求導，注意因為已經要求具體值了，是以答案要寫成
f_1(1,1)
，而不能隻寫
f_1
第21題主要算出方程後，要寫出
x
的範圍，這是題目的限制條件
這套卷子犯病最嚴重的地方是
x
轉極坐标的時候代了
r\sin\theta
，太下飯了 2018 126 11/3 填選全對，就怪了，第十二題，參數方程求導，算錯了，難受
這套填選，難度是在的，兩道線性代數選擇題需要一定的思考量，不像前幾年硬送
第15題經典根式換元，ez難度
第16題，方程兩側求導時，隻導了一遍，這種事發生第二次了。。。
第17題，是一套積分域為外擺線的二重積分題，計算量蠻大的
有兩種算法，一種是強行乘開硬算，一種是多次利用和差倍半三角公式化簡，都不太好算
第18題，求導判單調性找極值點，ez難度
第19題，直接柯西不等式秒殺
第20題，沒搞出來，變化率的問題，以為是微分方程，其實直接設出曲線方程
然後算一個二重積分把
S
搞出來，再套公式用鍊式求導法則即可
第21題，經典單調有界準則，ez難度
第22題，第一問解方程組，第二問配方法（配錯了，難受）
第23題，A經過有限次初等列變化變成B，求參數，可以拼在一起讓秩相等，也可以直接求行列式
因為A的行列式為0，然後反解出參數；第二問還是去方程組的問題，最後需要一點解結構的了解
有一說一做的不行，外擺線沒算出來，大題小錯誤頻繁，實體應用經典不會，慢慢來吧。。。 2019 126 11/4 第19題是個很好的題目，可以讀假題了，後來重新做，搞出來了
是一個老模型了，拆積分區間，然後做積分再現
這題的綜合性考察還挺多的，可惜做的時候讀假題了，浪費了一個好題
第20題求導計算錯誤
第22題，出題人腦子指定是有點問題的，題目中 "求
a
的取值"
然而
a
實際上不但要分類讨論，而且其中一個情況下，
a
是可以取到實數集的大小
做的時候，一直以為自己錯了，對完答案後，一直在輸出出題人
還有一個選擇題第
5
題，比較積分大小，1和2好确定，3比較複雜沒想出來
答案是用3和2做差加輔助角公式搞出來的
其他全對，感覺這套就是被出題人搞了，唉。。。 2020 141 12/20 完全體考的，切菜就完事了 2021 last 這套沒時間做了。。 平均 135.4