莫比烏斯函數計算（模闆）

莫比烏斯函數定義

μ(n)=⎧⎩⎨⎪⎪1(−1)k0(n=0)(n=p1p2...pk,∀pi!=pj)(others) μ ( n ) = { 1 (n=0) ( − 1 ) k ( n = p 1 p 2 . . . p k , ∀ p i ! = p j ) 0 ( o t h e r s )

莫比烏斯函數計算

直接計算，隻需要對n做一次唯一分解就可以了，複雜度 O(n−−√) O ( n )

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=;

int main(){
    int n,m,k;
    while(scanf("%d",&n)==){
        m=sqrt(n)+;
        k=;
        bool ok=true;
        for(int i=;i<=m;++i){
            if(n%i==){
                int tmp=;
                while(n%i==){
                    n/=i;
                    ++tmp;
                }
                if(tmp>){
                    ok=false;
                    break;
                }
                else k+=tmp;
            }
        }
        if(n>) ++k;
        if(ok) printf("%d\n",(k&)?-:);
        else puts("0");
    }
    return ;
}
           

線性篩選

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=;

bool vis[maxn];
int prim[maxn];
int mu[maxn];
int cnt;

void get_mu(int n){
    mu[]=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prim[++cnt]=i;
            mu[i]=-;
        }
        for(int j=;j<=cnt && prim[j]*i<=n;j++){
            vis[prim[j]*i]=;
            if(i%prim[j]==) break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
           

莫比烏斯函數的常用性質

∑d|nμ(d)={10(n=1)(其它) ∑ d | n μ ( d ) = { 1 (n=1) 0 ( 其 它 )

∑d|nμ(d)d=phi(n)n ∑ d | n μ ( d ) d = p h i ( n ) n

反演公式

對于函數 F(n) F ( n ) 和 f(n) f ( n ) 滿足

F(n)=∑d|nf(d) F ( n ) = ∑ d | n f ( d )

那麼就有 f(n)=∑d|nu(d)F(nd) f ( n ) = ∑ d | n u ( d ) F ( n d )

或者若滿足 F(n)=∑n|df(d) F ( n ) = ∑ n | d f ( d )

就有 f(n)=∑n|du(dn)F(d) f ( n ) = ∑ n | d u ( d n ) F ( d )