拓端tecdat|R語言用Copulas模型的尾部相依性分析損失賠償費用

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兩個随機變量之間的相依性問題備受關注,相依性(dependence)是反映兩個随機變量之間關聯程度的一個概念。它與相關性(correlation)有差別，常用的相關性度量是Pearson相關系數,它隻度量了兩個随機變量之間的線性關系,其值不僅依賴于它們的Copula函數,而且還依賴它們的邊緣分布函數。

直覺地說,Copula函數就是兩個(或多個)随機變量的聯合分布可以表示為它們的邊緣分布函數的函數,這個函數就是Copula函數,它與随機變量的邊緣分布沒有關系,所反映的是兩個(多個)随機變量之間的“結構”,這種結構包含了兩個随機變量相依性的全部資訊。

Joe(1990)尾部相依性指數

Joe(1990)提出了一個(強)尾部相依性指數。例如，對于下尾，可以考慮

也就是

• 上下尾(經驗)相依性函數

我們的想法是繪制上面的函數。定義

下尾

對上尾來說，其中是

與

，相依的生存copula ，即

其中

現在，我們可以很容易地推導出這些函數的經驗對應關系，即：

是以，對于上尾，在右邊，我們有以下圖形

而對于下尾，在左邊，我們有

損失賠償資料 

Copula函數在經濟、金融、保險等領域有廣泛的應用.早在1998年Frees和Valdez(1998)研究了索賠額與管理費之間的關系,采用了Copula函數對其進行刻畫并應用于保費的定價。

對于代碼，考慮一些真實的資料，比如損失賠償資料集。

損失賠償費用資料有1,500個樣本和2個變量。這兩欄包含賠償金付款(損失)和配置設定的損失調整費用(alae)。後者是與解決索賠相關的額外費用（如索賠調查費用和法律費用）。

我們的想法是，在左邊繪制下尾函數，在右邊繪制上尾函數。

現在，我們可以将這個圖形，與一些具有相同Kendall's tau參數的copulas圖形進行比較

高斯copulas

如果我們考慮高斯copulas 。 

> copgauss=normalCopula(paramgauss)
> Lga=function(z) pCopula(c(z,z),copgauss)/z
> Rga=function(z) (1-2*z+pCopula(c(z,z),copgauss))/(1-z)

> lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgs,Rgs)
           

Gumbel copula

或Gumbel的copula。

> copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)

> lines(c(u,u+.5-u[1])
           

置信區間

但是由于我們沒有任何置信區間，是以仍然很難得出結論(即使看起來Gumbel copula比Gaussian copula更适合)。一個政策可以是從這些copula曲線中生成樣本，并可視化。對于高斯copula曲線

> nsimul=500
> for(s in 1:nsimul){
+ Xs=rCopula(nrow(X),copgauss)
+ Us=rank(Xs[,1])/(nrow(Xs)+1)
+ Vs=rank(Xs[,2])/(nrow(Xs)+1)
+ lines(c(u,u+.5-u[1]),MGS[s,],col="red")
           

包括–逐點–90%的置信區間

> Q95=function(x) quantile(x,.95)

> lines(c(u,u+.5-u[1]),V05,col="red",lwd=2)
           

高斯copula曲線  

Gumbel copula曲線 

盡管統計收斂的速度會很慢，評估底層的copula 曲線是否具有尾部相依性簡單。尤其是當copula 曲線表現出尾部獨立性的時候。比如考慮一個1000大小的高斯copula 樣本。這是我們生成随機方案後得到的結果。

或者我們看一下左邊的尾巴(用對數比例)

現在，考慮10000個樣本。

在這些圖上，如果極限是0，或者是某個嚴格的正值，是相當難以斷定的（同樣，當感興趣的值處于參數的支援邊界時，這是一個經典的統計問題）。是以，一個簡單的想法是考慮一個較弱的尾部相依指數。

Ledford 和Tawn(1996)尾部相關系數

描述尾部相依性的另一種方法可以在Ledford & Tawn（1996）中找到。假設和具有相同的分布。現在，如果我們假設這些變量是（嚴格）獨立的。

但如果我們假設這些變量是（嚴格的）同單調性的（即這裡的變量是相等的，因為它們有相同的分布），則

是以，有這樣一個假設：

那麼a=2可以解釋為獨立性，而a=1則表示強（完美）正相依性。是以，考慮進行如下變換，得到[0,1]中的一個參數，其相依性強度随指數的增加而增加，例如

為了推導出尾部相依指數，假設存在一個極限，即

這将被解釋為一個（弱）尾部相依指數。是以定義函數

下尾巴（在左邊）

上尾（在右邊）。計算這些函數的R代碼非常簡單。

> L2emp=function(z) 2*log(mean(U<=z))/

> R2emp=function(z) 2*log(mean(U>=1-z))/
+ log(mean((U>=1-z)&(V>=1-z)))-1
> plot(c(u,u+.5-u[1]),c(L,R),type="l",ylim=0:1,

> abline(v=.5,col="grey")
           

 高斯copula函數

同樣，也可以将這些經驗函數與一些參數函數進行對比，例如，從高斯copula函數中得到的函數（具有相同的Kendall's tau）。

> copgauss=normalCopula(paramgauss)
> Lgs =function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgauss))-1
> Rgas =function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+
+ pCopula(c(z,z),copgauss))-1

> lines(c(u,u+.5-u[1])
           

Gumbel copula

> copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)
> L=function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgumbel))-1
> R=function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+
+ pCopula(c(z,z),copgumbel))-1

> lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgl,Rgl),col="blue")
           

同樣，我們觀察置信區間，Gumbel copula在這裡提供了一個很好的拟合

極值copula

我們考慮copulas族中的極值copulas。在雙變量的情況下，極值可以寫為 

其中

為Pickands相依函數，它是一個凸函數，滿足于

觀察到，在這種情況下：

其中

肯德爾系數，可寫成

例如

那麼，我們就得到了Gumbel copula。 現在，我們來看（非參數）推理，更準确地說，是相依函數的估計。最标準的估計器的出發點是觀察

是否有copula函數 

具有分布函數

而反過來，Pickands相依函數可以寫成

是以，Pickands函數的自然估計是

其中，

是經驗累積分布函數

這是Capéràa, Fougères & Genest (1997)中提出的估計方法。在這裡，我們可以用

> Z=log(U[,1])/log(U[,1]*U[,2])
> h=function(t) mean(Z<=t)
> a=function(t){
function(t) (H(t)-t)/(t*(1-t))
+ return(exp(integrate(f,lower=0,upper=t,
+ subdivisions=10000)$value))

> plot(c(0,u,1),c(1,A(u),1),type="l"
           

整合得到Pickands相依函數的估計值。上圖中可以直覺地看到上尾的相依指數。

> A(.5)/2
[1] 0.4055346
           

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