（ 動态規劃專題 ）【 最長公共子序列(LCS) 】
原文：https://blog.csdn.net/weixin_40673608/article/details/84262695
相關概念
子序列形式化定義：
給定一個序列X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，另一個序列Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>，若存在一個嚴格遞增的X的下标序列<i1,i2,i3,...,ik>對所有的1,2,3,...,k，都滿足x(ik)=zk，則稱Z是X的子序列
比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列
公共子序列定義：
如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，則稱Z為X和Y的公共子序列
最長公共子序列（以下簡稱LCS）：
2個序列的子序列中長度最長的那個
方法
蠻力法求解最長公共子序列：
需要周遊出所有的可能，時間複雜度是O(n³)，太慢了
動态規劃求解最長公共子序列：
分析規律：
設X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>為兩個序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他們的任意公共子序列
經過分析，我們可以知道：
1、如果xm = yn，則zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一個LCS
2、如果xm != yn 且 zk != xm，則Z是Xm-1和Y的一個LCS
3、如果xm != yn 且 zk != yn，則Z是X和Yn-1的一個LCS
是以如果用一個二維數組c表示字元串X和Y中對應的前i，前j個字元的LCS的長度話，可以得到以下公式：
文字意思就是：
設
p1表示X的前 i-1 個字元和Y的前 j 個字元的LCS的長度
p2表示X的前 i 個字元和Y的前 j-1 個字元的LCS的長度
p表示X的前 i-1 個字元和Y的前 j-1 個字元的LCS的長度
p0表示X的前 i 個字元和Y的前 j 個字元的LCS的長度
如果X的第 i 個字元和Y的第 j 個字元相等，則p0 = p + 1
如果X的第 i 個字元和Y的第 j 個字元不相等，則p0 = max(p1,p2)
做法：
是以，我們隻需要從c[0][0]開始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的長度
但是，我們怎麼得到LCS本身而非LCS的長度呢？
也是用一個二維數組b來表示：
在對應字元相等的時候，用↖标記
在p1 >= p2的時候，用↑标記
在p1 < p2的時候，用←标記
僞代碼：
若想得到LCS，則再周遊一次b數組就好了，從最後一個位置開始往前周遊：
如果箭頭是↖，則代表這個字元是LCS的一員，存下來後 i-- , j--
如果箭頭是←，則代表這個字元不是LCS的一員，j--
如果箭頭是↑ ，也代表這個字元不是LCS的一員，i--
如此直到i = 0或者j = 0時停止，最後存下來的字元就是所有的LCS字元
比如說求ABCBDAB和BDCABA的LCS:
灰色且帶↖箭頭的部分即為所有的LCS的字元