數學模組化學習筆記 (一) 層次分析法
文章目錄
- 數學模組化學習筆記 (一) 層次分析法
- 前言
- 一、層次分析法
- 二、問題引入
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- 1.評價類問題
- 2.評價類問題解決方法
- 3.執行個體
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- 判斷矩陣
- 一緻矩陣
- 一緻性檢驗
- 判斷矩陣計算權重
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- 方法1：算術平均法求權重
- 方法2：幾何平均法求權重
- 方法3：特征值法求權重
- 通過權重矩陣計算得分
- 三、層次分析法的局限
- 四、總結
前言
此系列文章主要記錄在學習數學模組化過程中的知識點和自己的了解，如果出錯請多多指正。
學習的教材和資源主要來源與清風的講解視訊，想全面了解可移步清風：數學模組化算法、程式設計和寫作教育訓練的視訊課程以及Matlab等軟體教學
一、層次分析法
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層次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是在充分研究了人類思維過程 的基礎上提出來的，它較合理地解決了定性問題定量化的處理過程
其主要用于解決評價類問題（例如：選擇哪種方案更好，哪位同學表現更好）
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二、問題引入
1.評價類問題
當我們要評價一個方案的好壞，一個事物的優劣時，往往要有一個名額來評判而不是按照主觀的印象來進行評價。
例如評價一個方案是否好時，可以通過對方案中涉及的花費因素，創新因素進行打分，來确定方案的優劣。
故評價類問題，常用的解決方法是對其打分進而選出最優
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2.評價類問題解決方法
面對評價類問題我們首先要确定好三個主要方面
1）我們評價的目标是什麼
2）我們擁有的多少種方案去達到預期的目标
3）我們根據什麼去評判方案的好壞
舉一個簡單的例子：
評判獎學金通過學習成績和課外成績來決定，有兩位同學争奪獎學金，那就要對兩位同學的課内成績和課外成績進行打分，綜合成績高者當然就獲得了獎學金。
其中課内成績對獎學金的重要程度占比90%，課外成績占比%10.
| 名額權重 | 小明 | 小王 | |
|---|---|---|---|
| 課内成績 | 0.9 | 0.6 | 0.4 |
| 課外成績 | 0.1 | 0.7 | 0.3 |
（課内成績中的0.6和0.4分别表示，小明和小王相比，小明課内得分為0.6，小王0.4，0.7和0.3同理）
我們可以通過資料可以很容易得到這個表格且由此計算出小明和小王的綜合得分
小明：0.6 * 0.9 + 0.7 * 0.1= 0.61
小王：0.4 * 0.9 + 0.3 *0.1 = 0.39
可以看到小明最後應該得到獎學金，這就是一個最基礎的評價類問題，下面舉一個較為真實且有代表性的評價類問題，加深了解且引出我們的層次分析法的思想
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3.執行個體
這裡引用清風視訊中的例子來說明評價類問題的實際解決方法
例：小明同學想出去旅遊。在查閱了網上的攻略後，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目标景點。請你确定評價名額、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案。
**首先我們來回答面對評價類問題的三個主要方面：
1）我們評價的目标是什麼——為小明選取最佳的旅遊地點
2）我們擁有多少種方案去達到預取目标——蘇杭，北戴河和桂林
3）我們根據什麼去評判方案的好壞——題目沒有資料提供給我們具體的判斷标準，這個情況需要我們通過搜尋資料或者文獻去制定一個評價标準。如本例中我們選取①景點景色，②旅遊花費，③居住環境，④飲食情況，⑤交通便利情況，五個判斷名額去評價好壞**
當我們确定好我們三個問題答案後，我們就需要通過确定的判斷名額去選擇方案進而達到我們的目标。
而我們第現在要解決的第一個問題，如果确定像上個例子中，每個名額對方案的名額權重。
這個所謂的名額權重，确定的方法有很多，但在本例中，我們通過層次分析法的思想來确定每個名額的權重
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判斷矩陣
這裡我們引入判斷矩陣來輔助我們确定權重，我們用1-9來表示重要程度，我們通過兩兩比較每個名額的重要程度來構造判斷矩陣
假設我們人為的已經通過比較确定好了兩兩之間的重要程度，并填表可得下圖
上圖即為我們構造的表格，我們将此稱作判斷矩陣
表格解釋：在此簡單的解釋表格的含義
（花費，景色）= 2 ，表明花費比景色稍微重要一些，重要程度為2
（景色，居住）= 4，表明景色比居住重要一些，重要程度為4
而當我們構造完判斷矩陣後，就可以利用此來計算我們的名額權重
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一緻矩陣
在這之前我們還需要定義一個概念：一緻矩陣
一緻矩陣說白了就是每一行都成比例
至于為什麼要定義一緻矩陣，個人了解為，我們填寫判斷矩陣時，有很大的人為因素，而來通過檢驗我們構造的判斷矩陣的一緻性可以一定情況下減少這種主觀性，增加客觀性。
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一緻性檢驗
進行一緻性檢驗有三個步驟
1）計算一緻性名額 CI
| | 表示判斷矩陣特征值的最大值 |
|---|---|
| n | 一緻矩陣的秩 |
2）查找對應的平均随機一緻性名額RI
3）計算一緻性比例CR
其中CR<0.1,則可以認為判斷矩陣的一緻性可以接受，否則需要對判斷矩陣進行修改
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判斷矩陣計算權重
當我們判斷矩陣進行完一緻性檢驗後，如果其一緻性可以接受，則可以對判斷矩陣進行計算權重
計算判斷矩陣的權重有三種方法
方法1：算術平均法求權重
第一步：将判斷矩陣按照列歸一化——每一個元素除以其所在列的和
第二步：将歸一化的各列相加(按行求和)
第三步：将相加後得到的向量中每個元素除以n即可得到權重向量
方法2：幾何平均法求權重
第一步：将A的元素按照行相乘得到一個新的列向量
第二步：将新的向量的每個分量開n次方
第三步：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量
方法3：特征值法求權重
第一步：求出矩陣A的最大特征值以及其對應的特征向量
第二步：對求出的特征向量進行歸一化即可得到我們的權重
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通過權重矩陣計算得分
我們通過上述方法計算得到權重後，可以得到各個名額的權重及其占比，進而得到下述矩陣，稱為權重矩陣
我們可以通過此來計算方案的得分：
蘇杭：0.5954 * 0.2636 + 0.0819 * 0.4758 + 0.4286 * 0.0538 + 0.6337 * 0.0981 + 0.1667 * 0.1087 = 0.299
類似的，我們可以得到北戴河得分為0.245，桂林得分為0.455.是以最佳的旅遊景點是桂林
自此我們就利用層次分析法選擇除了我們的方案解決了問題。
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三、層次分析法的局限
1）評價的準則不能太多，太多的話n會很大，判斷矩陣和一緻矩陣差異可能會很大。
2）如果準則層中名額的資料是已知的，我們就不能自己瞎填判斷矩陣 了
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四、總結
對于評價類問題，我們可以采用層次分析法進行打分評價解決問題
其中步驟有：
1）分析系統中各因素之間的關系，建立系統的遞階層次結構
2）對于同一層次的各元素關于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較矩陣（判斷矩陣）。
如上圖：
準測層中的元素要兩兩比較對目标層的重要性來構造判斷矩陣，進而構造出準則層對于目标層的權重
方案層中的元素兩兩比較對準測層中每個元素的重要性來構造判斷矩陣，進而确定方案層對于每個準則層的權重
3）由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，并進行一緻性檢驗（檢驗通過權重才能用）.
計算權重時，建議三種方法都使用，可以保證結果的穩健性
在一緻性檢驗中，上述說過，如果CR>0.1則不通過，這時需要人為的去修改判斷矩陣，向一緻矩陣靠攏（比較判斷矩陣就是人為填的）
填寫技巧：一緻矩陣每行成比例
4）根據權重矩陣計算得分，并進行排序