巴特沃思低通濾波器
n級巴特沃思低通濾波器(BLPF)定義如下：
D0為截至頻率距原點的距離，D(u,v)是點(u,v)距 原點的距離
不同于ILPF，BLPF變換函數在通帶與被濾除的頻率 之間沒有明顯的截斷
當D(u,v)=D0時，H(u,v)=0.5(最大值是1，當 D(u,v)=0)
應用：可用于平滑處理，如圖像由于量化不足産生虛假輪 廓時，常可用低通濾波進行平滑以改進圖像品質。通常， BLPF的平滑效果好于ILPF（振鈴現象）。
效果圖：
d0=5,n=2
d0=30,n=2:
d0=100,n=2:
代碼實作：
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<iostream>
using namespace std;
using namespace cv;
Mat freqfilt(Mat &scr,Mat &blur);
Mat Butterworth_Low_Paass_Filter(Mat &src, float d0, int n);
int main( int argc, char *argv[])
{
const char* filename = argc >=2 ? argv[1] : "../data/lena.jpg";
Mat input = imread(filename, IMREAD_GRAYSCALE);
if( input.empty())
return -1;
imshow("input",input);//顯示原圖
cv::Mat butterworth = Butterworth_Low_Paass_Filter(input, 100, 2);
butterworth = butterworth(cv::Rect(0,0, input.cols, input.rows));
imshow("巴特沃斯", butterworth);
waitKey();
return 0;
}
//*****************巴特沃斯低通濾波器***********************
Mat butterworth_lbrf_kernel(Mat &scr,float sigma, int n)
{
// 階數n=1 無振鈴和負值
// 階數n=2 輕微振鈴和負值
// 階數n=5 明顯振鈴和負值
// 階數n=20 與ILPF相似
Mat butterworth_low_pass(scr.size(),CV_32FC1); //，CV_32FC1
double D0 = sigma;//半徑D0越小，模糊越大；半徑D0越大，模糊越小
for(int i=0;i<scr.rows ; i++ ){
for(int j=0; j<scr.cols ; j++ ){
double d = sqrt(pow((i - scr.rows/2),2) + pow((j - scr.cols/2),2));//分子,計算pow必須為float型
butterworth_low_pass.at<float>(i,j)=1.0 / (1 + pow(d / D0, 2 * n));
}
}
string name = "巴特沃斯低通濾波器d0=" + std::to_string(sigma) + "n=" + std::to_string(n);
imshow(name, butterworth_low_pass);
return butterworth_low_pass;
}
Mat Butterworth_Low_Paass_Filter(Mat &src, float d0, int n)
{
//H = 1 / (1+(D/D0)^2n) n表示巴特沃斯濾波器的次數
//調整圖像加速傅裡葉變換
int M = getOptimalDFTSize(src.rows);
int N = getOptimalDFTSize(src.cols);
Mat padded;
copyMakeBorder(src, padded, 0, M - src.rows, 0, N - src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
padded.convertTo(padded,CV_32FC1); //将圖像轉換為flaot型
Mat butterworth_kernel=butterworth_lbrf_kernel(padded,d0, n);//理想低通濾波器
Mat result = freqfilt(padded,butterworth_kernel);
return result;
}
//*****************頻率域濾波*******************
Mat freqfilt(Mat &scr,Mat &blur)
{
//***********************DFT*******************
Mat plane[]={scr, Mat::zeros(scr.size() , CV_32FC1)}; //建立通道，存儲dft後的實部與虛部（CV_32F，必須為單通道數）
Mat complexIm;
merge(plane,2,complexIm);//合并通道 （把兩個矩陣合并為一個2通道的Mat類容器）
dft(complexIm,complexIm);//進行傅立葉變換，結果儲存在自身
//***************中心化********************
split(complexIm,plane);//分離通道（數組分離）
// plane[0] = plane[0](Rect(0, 0, plane[0].cols & -2, plane[0].rows & -2));//這裡為什麼&上-2具體檢視opencv文檔
// //其實是為了把行和列變成偶數 -2的二進制是11111111.......10 最後一位是0
int cx=plane[0].cols/2;int cy=plane[0].rows/2;//以下的操作是移動圖像 (零頻移到中心)
Mat part1_r(plane[0],Rect(0,0,cx,cy)); //元素坐标表示為(cx,cy)
Mat part2_r(plane[0],Rect(cx,0,cx,cy));
Mat part3_r(plane[0],Rect(0,cy,cx,cy));
Mat part4_r(plane[0],Rect(cx,cy,cx,cy));
Mat temp;
part1_r.copyTo(temp); //左上與右下交換位置(實部)
part4_r.copyTo(part1_r);
temp.copyTo(part4_r);
part2_r.copyTo(temp); //右上與左下交換位置(實部)
part3_r.copyTo(part2_r);
temp.copyTo(part3_r);
Mat part1_i(plane[1],Rect(0,0,cx,cy)); //元素坐标(cx,cy)
Mat part2_i(plane[1],Rect(cx,0,cx,cy));
Mat part3_i(plane[1],Rect(0,cy,cx,cy));
Mat part4_i(plane[1],Rect(cx,cy,cx,cy));
part1_i.copyTo(temp); //左上與右下交換位置(虛部)
part4_i.copyTo(part1_i);
temp.copyTo(part4_i);
part2_i.copyTo(temp); //右上與左下交換位置(虛部)
part3_i.copyTo(part2_i);
temp.copyTo(part3_i);
//*****************濾波器函數與DFT結果的乘積****************
Mat blur_r,blur_i,BLUR;
multiply(plane[0], blur, blur_r); //濾波（實部與濾波器模闆對應元素相乘）
multiply(plane[1], blur,blur_i);//濾波（虛部與濾波器模闆對應元素相乘）
Mat plane1[]={blur_r, blur_i};
merge(plane1,2,BLUR);//實部與虛部合并
//*********************得到原圖頻譜圖***********************************
magnitude(plane[0],plane[1],plane[0]);//擷取幅度圖像，0通道為實部通道，1為虛部，因為二維傅立葉變換結果是複數
plane[0]+=Scalar::all(1); //傅立葉變換後的圖檔不好分析，進行對數處理，結果比較好看
log(plane[0],plane[0]); // float型的灰階空間為[0，1])
normalize(plane[0],plane[0],1,0,CV_MINMAX); //歸一化便于顯示
// imshow("原圖像頻譜圖",plane[0]);
idft( BLUR, BLUR); //idft結果也為複數
split(BLUR,plane);//分離通道，主要擷取通道
magnitude(plane[0],plane[1],plane[0]); //求幅值(模)
normalize(plane[0],plane[0],1,0,CV_MINMAX); //歸一化便于顯示
return plane[0];//傳回參數
}