儒略日與公曆轉換

Table of Contents

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公曆轉儒略日

儒略曆轉儒略日

格裡高利曆轉儒略日

補充說明

簡化儒略日

儒略日計算的python執行個體

儒略日轉公曆

計算分析

已知儒略日求公曆的python執行個體

時間轉換

24小時制

12時辰制

地方時

完整代碼下載下傳（C++/Python）

https://download.csdn.net/download/weixin_42763614/14917365

提供兩種語言的實作。代碼中增加對日期格式的輸入輸出處理。

公曆轉儒略日

《Astronomical Algorithms》中給出了簡便的計算公式。[注2]

書中并未給出公式的含義，這裡做一個分析。

儒略曆轉儒略日

若求Y年M月D日對應的儒略日，即分别對(Y-曆元年)年(M-1)月D日進行積日。

年：由于公元紀年法沒有0年，為友善計算，天文學中以0表示公元前1年，則公元前4713年表示為-4712。對儒略曆而言，以365.25天為歲長，每年閏餘0.25天，4年閏餘積1天則需置閏。故儒略曆每4年一閏。利用取整運算，可以在一個置閏周期中，對于365.25*(Y-x)，每4年前3年向下取整，第四年進位。注意Y可以是任意一年，x用于将年份調節為任一置閏周期的起點。計算Y年的積日，即将從-4712年到Y年的積年乘以一回歸年的長度。

floor((Y+4712)*365.25)    [注3]

月：1.公曆設定大小月的基本思路是每月大小相間隔。相鄰兩月必為61天，如此一年共366天。平均一月為30.5天。故利用取整運算，對于每兩個月的周期規律可以使用int(30.5)，從小月開始，為小月時取其整數，為大月時則會進位。這種情況下，M月（積月為M-1）的積日即為int(30.5*(M-1))。而公曆以單數月為31天，雙數月為30天。即歲首（M=1）時為大月，可令上式M=M+1，将該式調節到從大月起算，再減去多加的一月30，則積日為int(30.5*M)-30

2. 公曆一年實際隻有365日，需在某月中減去一天，而公曆設在二月。這時，3~12月份仍然是有規律的（大小月相隔），1月有31天，2月有29天。如此，可假設以3月份作為歲首，2月為年尾。則在2月減去的一天可了解為上年歲末（即今年歲首前）少一天。并以13、14月表示上一年的1、2月（即一年隻有3~14月）。則每年仍然是單數月31天，雙數月為30天，且歲首（M=3）仍為大月，則僅需令上式再減1（2月少一天）。計算M月的積日，則有：int(30.5*M)-31（M>2）

該式隻适用于M>2的情況，是以當為1月或2月時，可設為13、14月，即M=M+12，如此則多算一年，即令Y=Y-1。

一年的狀況（單數月31天，雙數月30天）

3月     4月    5月    6月    7月    8月    9月   10月  11月  12月   1月   2月

31天  30天  31天  30天  31天  30天  31天  30天  31天  30天  31天  30天-1

3. 對于公曆，又将8月增加一天成為大月，以後9~12月則依次改變大小月順序，而二月再減去一日成為28天。

一年的狀況（每5個月循環）

3月     4月    5月    6月    7月    8月    9月   10月  11月  12月   1月   2月

31天  30天  31天  30天  31天  31天  30天  31天  30天  31天  31天  30天-2

如此，7、8成為連大月，12、13也是連大月。其中8月與歲首相差5月，13月與8月也相差5月。此時的每月的大小順序仍然存在某種規律，即每連續5月，大小月按大小大小大循環排序。亦即連續5月的積月為153天（3大2小），平均每月為30.6天。則M月的積日為int(30.6*M)-31，由于該式是以3月為歲首，需調整月份，即令M=M+1，再減去多算的一月30，并需減去2月再減少的1天則有：

int(30.6*(M+1))-62 （M>2）

日：由于儒略日的曆元是以正午12時開始（記為0.0），而公曆一日之始以半夜12時開始（記為1.0），兩種相差0.5天，則對日的積日為實際日數-1.5

D - 1.5

将儒略曆轉換為儒略日，僅需将年月日的積日相加，有：

floor(365.25*(Y+4712))+int(30.6*(M+1))+D-63.5 （M>2）

當M<=2時：令Y = Y - 1，M = M + 12，可适用該公式

格裡高利曆轉儒略日

閏：儒略曆每400年百閏。而在1582年發現春分點與實際相差10日（歲差22日，而儒略曆回歸年長度較實際值為大，多計算了12天）。故以是年10月4日的次日實行新曆（格裡高利曆），曆元為1582年10月15日，有10日之差。新曆重新測定了回歸年長度并考慮了歲差，歲長改為365.2425，即每400年少3日，合400年97閏。故計算格裡高利曆的儒略日，還需在上式中減去不置閏（能被100整除，但不含能被400整除的年份）的日數，即為-floor((Y-1582)/100)+floor((Y-1582)/400)-10，為簡便算法，假設曆元為0年，則自0年至1582年少算了不置閏的日數共12天，需加上，則計算格裡曆的儒略日數需減去不置閏的日數：

-floor(Y/100)+floor(Y/400)+2

最終有格裡高利曆轉儒略日的公式：

floor(365.25*(Y+4712)) + int(30.6*(M+1)) + D - floor(Y/100)+floor(Y/400)+2 - 63.5  （M>2）

當M<=2時：令Y = Y - 1，M = M + 12，可适用該公式

補充說明

（1）上式的floor()函數表示向下取整，而書中使用的是的int()函數（實際在作者寫作的年代它仍表示向下取整，詳見注3），在現代程式設計語言中它的意義是取整，對于負數運算，如int(-365.25)值為-365而非366。考慮到當計算-4712年3月1日之前的資料時，Y=Y-1即-4713年，對年的積日運算中出現對負數取整的情況。故将曆元推到前一個置閏年即-4716年以避免對負數的取整運算，此時多加了4年，需要在式尾中減去1461天。

（2）同樣考慮計算機對浮點數計算精度的問題，因為計算機對十進制的表示和計算是以二進制進行的，無法得到精确值。故以30.6001替代30.6以避免出現計算誤差。（原書的寫作時間為上世紀90年代，計算精度有限，現代計算機中使用雙精度浮點數，可以直接用30.6而不會出現計算誤差。）

對此二者做出修正後，則有：

JD = floor(365.25*(Y+4716)) + int(30.6001*(M+1)) + D + B - 1524.5  （M>2）

當M<=2時：令Y = Y - 1，M = M + 12，可适用該公式

對儒略曆（公元前1582年10月4日及以前），有B = 0

對格裡高利曆（公元前1582年10月15日及以後），有B = 2 - floor(Y/100)+floor(Y/400)

但對計算機而言，該式仍然不适用于計算-4716年3月1日前的儒略日數（但可以計算從儒略月曆元開始的任意一天的儒略日數）。若使用向下取整函數替換int()，則該式可使用于任意一天的儒略日計算，且不必做曆元調整。

此式即可避免出現計算機取整運算與實際不一緻的情況，進而避免因不同程式設計語言出現的計算誤差。

（3）wiki中提供了另一個公式，其實質與上式相同。[注4]

以3月為歲首，每5個月符合大小大小大的順序，合計153天，平均每月30.6天。而計算起點為大月，需加上0.4，取整後方得31。故有m月的積日為floor((153m+2)/5)。每年以365計，則需加上置閏年floor(y/4)（365y+floor(y/4)等價于floor(365.25y)）。式中将曆元前推到原曆元上一個格裡曆置閏周期起點的年份-4800（公元前4801年1月1日）0時，則需在末尾減去(4800-4712)*365.25即32142天，還需再補上1月和2月合計59天，得32083日。對格裡曆還需補上自-4712年至1582年少置閏的年份，共48天，減去上歲差和回歸年過大引起的誤差共10天。

注意這裡是計算JDN的表達式，它與JD的關系是

JDN = floor(JD + 0.5)

儒略日數的計算公式還有很多，但思路類似，不再舉例說明。

簡化儒略日

為簡化儒略日的表示，國際天文聯合會決定行用簡化儒略日，并定義為

MJD = JD -2400000.5

根據儒略日轉公曆的計算函數，可得MJD的的起點為儒略日2400000.5，即公元1858年11月17日世界時0時。

儒略日計算的python執行個體

from datetime import *
import math

def ce2jd(Year,Month,D):
    if Month in [1,2]:
        M = Month + 12
        Y = Year - 1
    else:
        Y = Year
        M = Month
    B = 0
    if Y>1582 or (Y==1582 and M>10) or (Y==1582 and M==10 and D>=15):
        B = 2 - int(Y/100) + int(Y/400)  #公元1582年10月15日以後每400年減少3閏
    JD = math.floor(365.25*(Y+4716))+int(30.6*(M+1))+D+B-1524.5
    #JD = math.floor(365.25*(Y+4712))+int(30.6*(M+1))+D+B-63.5
    print("{}年{}月{}日的儒略日為：{:.5f}".format(gyjn(Year),Month,D,JD))
    if Y>1858 or (Y==1858 and M>11) or (Y==1858 and M==11 and D>=17):
        MJD = int(JD - 2400000.5)
        print("簡化儒略日為：{}".format(MJD))
    return JD

#示例：計算目前時間的儒略日
year = datetime.now().year
month = datetime.now().month
day = datetime.now().day
ce2jd(year,month,day)
           

程式使用了一個将天文計算年份表達為公元紀年法年份的函數：

def gyjn(year):
    if year > 1:
        ce = "公元" + str(year)
    elif year == 1:
        ce = "公元元"
    elif year <= 0:
        year -= 1
        ce = "公元前" + str(-year)
    return ce
           

該程式沒有對1582年10月5日至14日這失去的10日進行處理，如果輸入這10日，其計算結果與10月15日至24日相同。如果需要擷取使用者輸入，應給出相應的錯誤提示。

儒略日轉公曆

 儒略日轉公曆即将上述表達式作為方程，進行求解。

《Astronomical Algorithms》同一章節給出了求算方法。這裡分别說明每一個表達式的含義。

計算分析

1. 由于儒略日的曆元為正午12時，公曆曆元為半夜12時，為統一計算，将儒略曆曆元前推至0.5日。即為：JD = JD + 0.5

2. 其中整數部分為日數，小數部分為時刻，隻對整數部分進行運算。則令：

Z = floor(JD)

F = JD - Z 

Z即為所求日到-4712年1月1日0時的日數。

3. 由于儒略曆和格裡曆的歲長不同，需分别處理。即自1582年10月15日0時前适用儒略曆（歲長365.25），此後适用格裡曆（歲長365.2425）。為統一計算，可将格裡曆轉換為儒略曆，即假設自-4712年1月1日0時起一直使用的是儒略曆。則針對格裡曆相對儒略曆少置閏（400年3閏）的部分給予補上。對于使用取整公式計算置閏，隻能以一個400年置閏周期的起點為歲首，如1600年3月1日，根據儒略日計算公式，得該日的儒略日為2305507.5。

格裡曆除能被400整除的百年為36525日外，其餘每百年僅36524日，此時分母較大，故分子每百年應增加0.25日，300年計0.75日。前對JD取整後所得Z值，仍以12時為曆元，故僅需再增0.25日。

a = floor((Z - 2305507.25) / 36524.25)

再補上1582年10月4日到10月15日跳過的10天，即為自-4712年1月1日0時到所求日以儒略曆計算的總積日。

A = Z + 10 + a - floor(a/4) 

（注：書中a和A的表達式與此略有差異，是由于書中将曆元推至公元元年1月1日，則至1582年間多置閏了12次，去除跳過的10天，共多了2日，反映在置閏公式中，相當于多計算了200年，由于在置閏公式（floor(y/100)-floor(y/400)）中，對200年間的置閏可能有2次或1次2種情況，宜推算到一次置閏周期即400年，則必然置閏3次，而多算了一次，則在表達式A中補足。即為調整"儒略曆和格裡曆的置閏誤差"以及"不識歲差和回歸年過大的誤差"再次将曆元從公元元年推至公元400年。這種情況思慮比較複雜，可不使用書中的表達式。）

同樣地，為避免對負數取整的情況，将曆元前推至-4716年3月1日0時，需補上相差的日數，合1524日。即有：

B = A + 1524

對所得的積日（儒略曆），除以歲長，即為積年（表達式C），加上曆元即為所求公曆年份。其中整數部分為年的積日（表達式D），小數部分為月與日的積日（表達式B-D）。

C = floor((B-122.1)/365.25)

D = floor(365.25*C)

将B-D除以每月平均日數30.6為積月（表達式E），其中整數部分為月數，小數部分為日數（day）。

最後調整歲首的情況可得month和year。

宜需考慮，day的結果小于0.5時，即在上月末日，此時亦可能導緻E值小于1，即在上年末月。需要分别判斷處理。但也可先求JD-1日，得到正常結果，在結果上加回減去的1日即可。

已知儒略日求公曆的python執行個體

def jd2ce(JD):
	JD = JD + 0.5  # 以BC4713年1月1日0時為曆元
	Z = math.floor(JD)
	F = JD - Z  # 日的小數部分
	if Z < 2299161:  # 儒略曆
		A = Z
	else:  # 格裡曆
		a = math.floor((Z - 2305507.25) / 36524.25)
		A = Z + 10 + a - math.floor(a/4)
	k = 0
	while True:
		B = A + 1524  # 以BC4717年3月1日0時為曆元
		C = math.floor((B-122.1)/365.25)  # 積年
		D = math.floor(365.25 * C)  # 積年的日數
		E = math.floor((B-D)/30.6)  # B-D為年内積日，E即月數
		day = B - D - math.floor(30.6*E) + F
		if day >= 1: break  # 否則即在上一月，可前置一日重新計算
		A -= 1
		k += 1
	month = E - 1 if E < 14 else E - 13
	year = C - 4716 if month > 2 else C - 4715
	day += k
	if int(day) == 0: day += 1
	ce = gyjn(year)
	print("儒略日{}對應的公曆日期為{}年{}月{}日".format(JD-0.5,ce,month,day),'\n')
	return year, month, day

# 計算示例
jd2ce(2400000.5)    # print：1858年11月17.0日（簡化儒略月曆元） 
jd2ce(2299160.5)    # print：1582年10月15.0日（格裡曆曆元）
jd2ce(2299160.5-1)  # print：1582年10月4.0日（儒略曆最後一日）
           

注意：傳回的year是天文計算年而不是公曆年，如-1000表示公元前1001年。也可以再利用上述公元紀年表達函數進行輸出。

測試以上兩個程式，可用以下代碼：

jd2ce(ce2jd(year, month, day))

對于任意的year,month,day，輸出值與輸入值相同，可以證明兩個程式的正确性，不必分别測試。

時間轉換

24小時制

以上計算獲得的day含有小數，即該日的具體時間。一分鐘60秒，一小時3600秒，一日86400秒。簡單的做法是，先将小數轉為秒數，整除3600即小時數，餘數再整除60即分鐘數。

但是，如果day的精度要求較高，就必須考慮每次加減乘除對不确定尾數的影響，

def day2hms(day):  # 12h起算的日數轉時分秒
    day += 0.5
    d = day - math.floor(day)  # 取出一日的小數部分
    h = int(d * 24)
    m = int(round((d * 24 - h) * 60, 4))
    if m == 60:
        m = 0
        h += 1
    s = d * 86400 - h * 3600 - m * 60
    if abs(s) < 0.001: s = 0
    return h, m, round(s, 2)
           

測試兩個特殊日期，-1095.499999999與-1095.500000001

使用jd2ce()和day2hms()分别計算年月日和時分秒，如果使用簡單方法，結果分别是-4715年1月1日0時0分0秒和-4716年12月31日0時0分0秒，顯然二者相差應該不足1秒。

處理後的程式方可得到正确結果。

如果傳回的h是24，表示實際已經是第二天，應該将h改為0，而日期多加一天。因為如開篇所言，曆法的本質是積日，曆法轉換，通常是日的轉換，而不去考慮時間。2000年1月1日24:00和2000年1月2日00:00易導緻不同的結果。比如在幹支紀日的曆法中，前者被寫作戊午日，而後者是己未日。

加一天後又必須考慮月底甚至年底跨月或跨年的情況，是以應該放到前面jd2ce()函數中處理，方法是在該函數中判斷循環退出的條件上一行（第20行前）增加如下代碼：

hms = day2hms(F)
if hms[0] == 24: # 當夜24點，實為第二日0點
	A += 1
	F = 0
	continue
           

 原理與前面先求JD-1日類似，這裡是求JD+1日。

12時辰制

中國古代将一天分為十二時辰，以地支命名，後又在每個時辰内各分初和正。但時辰的起點子初為23點并非一日的起點24/0點。同時，除梁實行96刻制及清實行120刻制外，一般使用的是百刻制，并不能被12整除。故日轉為時辰時，需将一日的起點轉為23點，且不能直接在時辰内分刻。而需從日數轉為刻數，再減去已有時辰的刻數。

由于轉換為時辰時起點并非跨日的24點，故而無需考慮臨界情況。

dizhi = ["子","醜","寅","卯","辰","巳","午","未","申","酉","戌","亥"]
ke = ['初', '一', '二', '三', '四']

def day2sk(JD):  # 0h起算的日數轉古時刻（百刻制）
	d = JD - math.floor(JD)  # 取出一日的小數部分（<0.0000001超過輸出位數）
	chen = round(d * 12 + 0.5, 14)  # 時辰從上一日23時起
	chen_h = int(chen)
	chen_k = round(d * 100 - int(d * 12) * 100 / 12, 14)  # 該時辰内的刻數
	if chen_k < 100 / 24:
		shike = dizhi[chen_h % 12] + '正' + ke[int(chen_k)] + '刻'
	else:
		chen_k -= 100 / 24
		shike = dizhi[chen_h % 12] + '初' + ke[int(chen_k)] + '刻'
	return shike
           

地方時

對于天文計算，其結果一般以UT為标準。如果用于中國曆法的計算，需要轉換為UT+8h。

亦即東八區某一日的開始即半夜0h，實際在格林尼治地方時上一日的16h。

而如果用于不同曆法的轉換，需注意兩個曆法之間的地方性。

• 注1：曆元即曆法計算的起點。通過修改曆元以簡便計算是曆法中的基本思想，也是本文計算的重要方法。
• 注2：Jean Meeus《Astronomical Algorithms》2nd，p59-66。
• 注3：計算機中，常用floor()表示向下取整函數，int()表示取整函數。在函數内參數小于0的情況下，int()無法代替floor()使用。如對于-1.5運用兩個函數進行計算，有： floor(-1.5) = -2， int(-1.5) = -1

       書中使用的是int()函數，因為該書寫作較早，使用的是BASIC語言，不區分int()和floor()，直接以int()作為向下取整函數。如果用現在常見的程式設計語言編寫，仍使用該函數，易導緻公式不适用于計算曆元（-4716年）前的日期。故本文在公式中改用了floor()函數，這在常見程式設計語言中自帶的标準庫math中都含有。

• 注4：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%84%92%E7%95%A5%E6%97%A5
• 注5：幾個類似術語辨析：

1. Julian Day：儒略日，天文中用于連續紀日的曆法，曆元為公元前4713年1月1日12時。
2. Julian Date（JD）：儒略日，特指某時的瞬時時刻，如12:00:00可能為00秒-01秒之間或00秒這一時刻，此處特指後者。常轉為日的小數表示。小數部分表示自某日12時至次日12時過去的日數。
3. Julian Day Number（JDN）：儒略日數。一定是整數，它表示某日距JD曆元日相差的日數部分。可以了解為曆元即公元前4713年1月1日0時。二者關系為JDN = floor(JD+0.5)
4. Julian Calendar：儒略曆，它與儒略日實際沒有直接關系。曆元為公元前45年1月1日夜半12時，歲長為365.25日，平年365日，每4年置閏1日。儒略曆施行早期，出現過多次誤閏。但現代在對于格裡曆曆元（公元1582年10月4日）前的公曆，适用儒略曆的一般規則，即既不依照曆史誤閏，也适用于表示儒略曆曆元前的日期。而部分國家或地區在儒略曆廢除後仍然使用了一段時間的儒略曆。
5. Gregorian Calendar：格裡高利曆，即現行公曆。它在儒略曆的基礎上修正了回歸年長度，曆元為公元1582年10月15日夜半12時，歲長為365.2425日。平年365日，每4年置閏1日，每400年少閏3日。格裡曆制定時，儒略曆較格裡曆短10日，此10日被跳過，故公曆中1582年10月4日的次日為10月15日。至今年（2018年），已短13日。