周末去書店，最顯眼位置的推薦書，将近一半跟華為有關。原來知識分子也要蹭熱度。
由取樣後的函數的連續變換得到的DFT
有時候，不是我們學不懂，而是大神們太低估我們跟他之間的鴻溝。作為一名不務正業的程式員的工科生，反正我讀不懂标題是覺得很難受的。
1. 取樣後的函數？
何為取樣後的函數？我們往前翻一翻，在取樣定理中就聊過了。
取樣是為了幹什麼？當然是為了把時域的連續函數變成計算機可以處理的離散點。
2. 什麼是取樣後的函數的連續變換？
我們要了解這裡的連續變換指的是什麼？簡單的說就是離散時間傅裡葉變換（DTFT）。不要覺得引入了新名詞就覺得高大上，他是對取樣後函數的傅裡葉變換，我們在取樣函數的傅裡葉變換這一節中已經詳細的說過了。
可見，對取樣後的函數做傅裡葉變換是一個連續的周期函數。
即：一個在時域上的離散函數，傅裡葉變換後它的頻域上的變換可以是連續的，并且是周期的。
3. 什麼是由取樣後的函數的連續變換得到的DFT？
DFT(DiscreteFourier Transform)離散傅裡葉變換的縮寫。它是
傅裡葉變換在時域和頻域上都呈現離散的形式，将時域信号的采樣變換為在離散時間傅裡葉變換（DTFT）頻域的采樣。
沒找到雷神畫的，自己标注一下吧
取樣後的函數是變成離散的計算機可以處理的資料了，但是變換後的頻域上還是連續的啊。怎麼讓計算機連頻域上的資料都可以處理呢？對！老方法再用一次，對頻域信号進行采樣呗~
好了，這個标題的資訊量有些大，讀懂了标題，我相信内容就簡單多了！
為了友善，我們把常用的一些符号先貼過來！
- 為原函數，
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 為原函數 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 的傅裡葉變換； 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... - 為取樣後函數，
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 為取樣後函數 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 的傅裡葉； 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... - 為頻域内的一個帶通濾波器；
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... - ，用帶通濾波器又截取了
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 的一個周期； 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT...
尋找
之前，我們一直讨論了一個取樣過、帶限的、擴充到
到
範圍的函數的傅裡葉變換
，如下圖，它也是一個擴充到擴充到
到
範圍的周期函數。
我們知道了
是
的傅裡葉變換：
而
是
經過
采樣而來，是以：
注：
何為
，這裡其實是借鑒了沖激函數采樣的公式常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT...
而
為周期為
的無限周期連續函數。是以，我們隻需要表征
的一個周期，對一個周期取樣是DFT的基礎。
假設我們想要在周期
到
之間得到的
的
個等間距樣本，可以通過加如下頻率處取樣得到：
注：
這裡已經開始對頻率域的
進行一個周期采樣啦。常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT...
把
代入上式，我們用
表示得到的結果：
哈哈，
不就是我們定義的DFT嗎？（對頻域上連續函數進行采樣），沒錯，這就是離散傅裡葉變換的表達式！
有沒有
？
當然有，它應該是一個原函數
的M個樣本組成的集合
總結：
- 我們可以把DFT和IDFT兩個表達式互帶一下，結果肯定是恒等的，是以他們互為逆變換。
- 有意思的是，我們雖然引入了采樣間隔 ，但是在DFT以及IDFT中并沒有關于采樣間隔的表示。這說明離散傅裡葉變換對适用于任何均勻采樣的有限離散樣本集。
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... - 為了友善起見，我們一般把離散傅裡葉變換對寫成如下方式：
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... - 離散傅裡葉變換對都是無限周期的，即 和
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... 常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT... - 卷積也有離散表達式，并且卷積和式周期的：
常用傅裡葉變換對_第四章 頻率域濾波-（四）單變量的離散傅裡葉變換（DFT）之由取樣後的函數的連續變換得到的DFT...
完美！