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傅裡葉變換概念及公式推導
2017年10月16日 21:03:16 lzzdflg 閱讀數 51463 文章标簽： 傅裡葉變換 函數 更多 分類專欄： 圖像處理 版權聲明：本文為部落客原創文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版權協定，轉載請附上原文出處連結和本聲明。 本文連結： https://blog.csdn.net/lzzdflg/article/details/78254381
傅裡葉變換（FT）
傅裡葉變換的目的是可将時域（即時間域）上的信号轉變為頻域（即頻率域）上的信号，随着域的不同，對同一個事物的了解角度也就随之改變，是以在時域中某些不好處理的地方，在頻域就可以較為簡單的處理。
傅裡葉變換公式：
（w代表頻率，t代表時間，e^-iwt為複變函數）
傅裡葉變換認為一個周期函數(信号)包含多個頻率分量，任意函數（信号）f(t)可通過多個周期函數（基函數）相加而合成。
從實體角度了解傅裡葉變換是以一組特殊的函數（三角函數）為正交基，對原函數進行線性變換，實體意義便是原函數在各組基函數的投影。
傅裡葉公式推導：
我們先從函數f(t)為周期性函數推導，之後推導非周期性函數的傅裡葉變換，傅裡葉公式一般就是指非周期行函數的傅裡葉變換（FT）。
（1）對于周期為1的函數f(t)：
（這裡的x我接下來用t來表示）
根據歐拉公式
這裡的Ck是一個複數，Ck一般稱為傅裡葉系數，平時對頻域的變換，一般改變的就是Ck。
例如這個圖中頻域方向上的圖每個頻域值為Ck的值
接下來求Ck的值
由
對函數兩邊積分
（上述的k指頻域上的x坐标，每個k值為一種赫茲，t表示時域上的時間）
因為要模拟一個信号，信号是不能通過有限個周期函數相加而确定這樣會有很大的誤差，無法得到完整的近似值，于是我們便用無限的周期函數來對其近似
由此就可以看出傅裡葉變換是一種時域與頻域的轉換關系。
（2）對于非周期函數f(t)
對于一個信号的處理，信号一般都不是周期的，是以這裡就産生了對非周期函數(信号)的處理。
對于非周期函數我們可以假設為非周期函數是一個周期函數的某個部分，但這個非周期函數的t範圍可以非常的大。
傅裡葉變換當周期趨近于無窮，是傅裡葉系數的一般化
傅裡葉逆變換是對傅裡葉級數的一般化
設f(t)是周期為T的函數,T趨近于無窮的周期函數
傅裡葉級數[f(t)]轉變為
傅裡葉系數為（注：因在無限大的周期T下是以從0->T與（-T/2）->（T/2)是相同的）
在頻譜圖中你看到的每一條豎線就是|CK|的值
這就是一個在時域上的函數圖像經過傅裡葉變換轉換的頻譜圖。
很重要的一點是 :
對于周期為1的函數頻域上每條線的間隔為1
而對于周期為T的函數，頻域上的間隔為1/T
時域周期與頻域有反比的關系。
即 T<1 ->1/T>1 頻譜會被擴充
當 T>1 ->1/T<1 頻譜會被壓縮
特别的當T趨近于無窮，頻譜間隔越來越近，最終頻譜變為連續的。
由此可以得到一句經常看到的話，當時域從周期轉化為非周期時，頻域從離散的轉化為連續的。
看來把一個非周期函數看作是一個周期函數的一部分這樣就能的出傅裡葉變換的結果了莫？
其實是這樣是不完全正确的。因為當T趨近于無窮時Ck會趨向于零使得整個傅裡葉系數的公式沒有意義：
設f(t)在區間a,b之間其他為0，取一個大的周期T使a>-T/2&&b>T/2,然後以T為函數擴充(|Ck|因為是複函數是以關于x軸對稱)
如下圖：
（在a,b外函數是0）
（負指數的值為1）
這時這個值為一個固定的值M
即
即 Ck=0。
連每個頻率的系數都是0，那這f(t)還有什麼用。
為此我們從另一個角度看
設gf這個公式為關于k/T的函數: gf(k/T)
(即Ck不要1/T的部分)
（這裡和上面推導f(t)的結果是一樣的）
因T->∞，gf(k/T)中k/T這個離散變量之間越來越趨近，1/T,2/T,3/T……這樣函數就從離散的變為連續，我們将這個k/T連續變量設為s
這樣
關于f(t)，f(t)可以看作無數個連續的gf(s)e^2πist，乘以1/T來組成将其看作累加和變換為積分。即
這樣我們就最終得到了傅裡葉變換公式(FT)(傅裡葉變換也可以稱為一種算子)：
順便給出傅裡葉反變換公式：
文章參考：https://www.zhihu.com/question/19714540
https://www.zhihu.com/question/38841975
斯坦福大學課程：傅裡葉變換及其應用