裡程計模型（1）：兩輪差分底盤和三輪全向底盤

兩輪差分底盤運動學模型

目前使用最為廣泛的底盤可以說就是兩輪差分底盤，此類底盤具有結構簡單、成本低、模型簡單的特點。

1.差分底盤運動模型

差分底盤運動模型如圖。

• 輪子到底盤中心的距離： d d d
• 底盤中心圓弧運動的半徑： r r r
• 底盤中心線速度： v v v
• 底盤中心角速度： ω \omega ω
• 左輪線速度、右輪線速度： v L 、 v R v_L、v_R vL​、vR​

差速底盤系統是一種欠驅動系統，它存在三個自由度（ X 、 Y 、 θ X、Y、\theta X、Y、θ）但僅存在兩個輸入（ v R 、 v L v_R、v_L vR​、vL​），這使得其運動是耦合的，不能單獨分解分析。

差分底盤僅能進行圓弧運動（直線運動可以視為圓弧半徑 R → ∞ R\to\infty R→∞即 r → 0 r\to0 r→0時）

2.運動解算

由于兩輪角速度相同，等于底盤中心角速度，則可以得到底盤中心圓弧運動的半徑

ω = v L r − d = v R r + d ( r + d ) v L = ( r − d ) v R r = v R + v L v R − v L d \omega=\frac{v_L}{r-d}=\frac{v_R}{r+d}\\ (r+d)v_L=(r-d)v_R\\ r=\frac{v_R+v_L}{v_R-v_L}d ω=r−dvL​​=r+dvR​​(r+d)vL​=(r−d)vR​r=vR​−vL​vR​+vL​​d

将其帶入等式 ω = v R r + d \omega=\frac{v_R}{r+d} ω=r+dvR​​得到：

r = v R + v L v R − v L d d = v R − v L v R − v L d r + d = 2 v R v R − v L d w = v R − v L 2 d r = \frac{v_R+v_L}{v_R-v_L}d\\ d = \frac{v_R-v_L}{v_R-v_L}d\\ r+d = \frac{2v_R}{v_R-v_L}d\\ w=\frac{v_R-v_L}{2d} r=vR​−vL​vR​+vL​​dd=vR​−vL​vR​−vL​​dr+d=vR​−vL​2vR​​dw=2dvR​−vL​​

已知公式： v = ω × r v=\omega \times r v=ω×r，代入公式可得：

v = ω × r = v R − v L 2 d × v R + v L v R − v L d v = v R + v L 2 v = \omega \times r=\frac{v_R-v_L}{2d}\times\frac{v_R+v_L}{v_R-v_L}d\\ v=\frac{v_R+v_L}{2} v=ω×r=2dvR​−vL​​×vR​−vL​vR​+vL​​dv=2vR​+vL​​

由此，得到二輪差分底盤的運動學模型：

{ w = v R − v L 2 d v = v R + v L 2 \begin{cases}w=\frac{v_R-v_L}{2d}\\v=\frac{v_R+v_L}{2}\end{cases} {w=2dvR​−vL​​v=2vR​+vL​​​

{ v R = v + ω d v L = v − ω d \begin{cases}v_R=v+\omega d\\v_L=v-\omega d\end{cases} {vR​=v+ωdvL​=v−ωd​

三輪全向底盤的運動學模型

三輪全向輪能夠在任何方向平移，其結構簡單，是一種全驅動系統，能夠進行運動學分解。

1.三輪全向運動模型

三輪全向運動模型是一種全驅動系統，有三個輸入（ v 1 、 v 2 、 v 3 v_1、v_2、v_3 v1​、v2​、v3​）和三個輸出（ X 、 Y 、 θ X、Y、\theta X、Y、θ）對每個運動方向可以進行解耦分析。

三輪全向模型在世界坐标系 X W O Y W X_WOY_W XW​OYW​中如下圖所示：

• 世界坐标系： X W O Y W X_WOY_W XW​OYW​
• 取車輪1為車體坐标系正方向，建構車輛坐标系： X R O Y R X_ROY_R XR​OYR​
• 車輪線速度： v 1 、 v 2 、 v 3 v_1、v_2、v_3 v1​、v2​、v3​
• 底盤中心角速度： v θ v_\theta vθ​
• 車輪到底盤中心的距離： d d d
• 三輪間夾角為120°

已知車輛的線速度在 X R X_R XR​和 Y R Y_R YR​方向有 v x v_x vx​和 v y v_y vy​

2.運動解算

由于三輪全向模型為全驅動模型，可進行運動分解，則對三個方向分解計算：

運動分解方向：平移X方向

當小車僅在X方向進行平移運動時:

v x ≠ 0 ; v y = 0 ; v θ = 0 v_x\neq0;v_y=0;v_{\theta}=0 vx​​=0;vy​=0;vθ​=0

此時，隻需将 v x v_x vx​分解至三個車輛速度上：

{ v 1 = 0 v 2 = − s i n 60 ° × v x v 3 = s i n 60 ° × v x \begin{cases}v_1=0\\ v_2=-sin{60\degree}\times v_x\\ v_3=sin{60\degree}\times v_x \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​v1​=0v2​=−sin60°×vx​v3​=sin60°×vx​​

運動分解方向：平移Y方向

當小車僅在Y方向進行平移運動時:

v x = 0 ; v y ≠ 0 ; v θ = 0 v_x=0;v_y\neq 0;v_{\theta}=0 vx​=0;vy​​=0;vθ​=0

此時，隻需将 v x v_x vx​分解至三個車輛速度上：

{ v 1 = v y v 2 = − c o s 60 ° × v y v 3 = − c o s 60 ° × v y \begin{cases}v_1=v_y\\ v_2=-cos{60\degree}\times v_y\\ v_3=-cos{60\degree}\times v_y \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​v1​=vy​v2​=−cos60°×vy​v3​=−cos60°×vy​​

運動分解方向：旋轉方向

當小車僅進行旋轉運動時:

v x = 0 ; v y = 0 ; v θ ≠ 0 v_x=0;v_y=0;v_{\theta}\neq0 vx​=0;vy​=0;vθ​​=0

由于同一底盤角速度相同，可知：

{ v 1 = v θ × d v 2 = v θ × d v 3 = v θ × d \begin{cases}v_1=v_\theta \times d\\ v_2=v_\theta \times d\\ v_3=v_\theta \times d\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​v1​=vθ​×dv2​=vθ​×dv3​=vθ​×d​

運動合成

将上述運動分解進行合成可以得到如下表達式：

{ v 1 = 0 × v x + 1 × v y + d × v θ v 2 = − s i n 60 ° × v x − c o s 60 ° × v y + d × v θ v 1 = s i n 60 ° × v x − c o s 60 ° × v y + d × v θ \begin{cases} v_1 = 0\times v_x + 1\times v_y + d\times v_\theta\\ v_2 = -sin{60\degree}\times v_x - cos{60\degree}\times v_y + d\times v_\theta\\ v_1 = sin{60\degree}\times v_x - cos{60\degree}\times v_y + d\times v_\theta\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​v1​=0×vx​+1×vy​+d×vθ​v2​=−sin60°×vx​−cos60°×vy​+d×vθ​v1​=sin60°×vx​−cos60°×vy​+d×vθ​​

計算三角函數值并寫成矩陣方式，可以得到三輪全向模型的運動學模型：

[ v x v y v θ ] = [ 0 − 3 3 3 3 2 3 − 1 3 − 1 3 1 3 d 1 3 d 1 3 d ] [ v 1 v 2 v 3 ] \begin{bmatrix} v_x \\v_y\\v_\theta\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3d} & \frac{1}{3d} & \frac{1}{3d}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\v_2\\v_3\end{bmatrix} ⎣⎡​vx​vy​vθ​​⎦⎤​=⎣⎡​032​3d1​​−33

​​−31​3d1​​33

​​−31​3d1​​⎦⎤​⎣⎡​v1​v2​v3​​⎦⎤​

[ v 1 v 2 v 3 ] = [ 0 1 d − 3 2 − 1 2 d 3 2 − 1 2 d ] [ v x v y v θ ] \begin{bmatrix} v_1 \\v_2\\v_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & d\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & d\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & d\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\v_y\\v_\theta \end{bmatrix} ⎣⎡​v1​v2​v3​​⎦⎤​=⎣⎢⎡​0−23

​​23

​​​1−21​−21​​ddd​⎦⎥⎤​⎣⎡​vx​vy​vθ​​⎦⎤​