一、從高斯消元法到矩陣乘法：
1.1 高斯消元法
假設存在如下的方程：
将方程化為如下的形式是高斯消元法的目标：
{ R = ? G = ? B = ? \begin{cases} R=?\\G=?\\B=? \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧R=?G=?B=?
思路：
首先利用第一行消去第二行和第三行的第一個元素：
接着利用第二行消去第三行的第二個元素：
接着反過來，用第三行消去第一行和第二行的第三個元素：
接着用第二行消去第一行的第二個元素：
最後達到目标：
1.2 用增廣矩陣描述高斯消元法
假設方程為：
則增廣矩陣為：
整個過程可以描述為：
1.3 利用矩陣乘法：
上述過程的第一次運算用矩陣乘法可以描述為：
多行乘法：
這一步實際表達了兩個過程：
- 第一行不變： r 1 ′ = r 1 r_1'=r_1 r1′=r1
- 第二行改變： r 2 ′ = r 2 − 3 r 1 r_2'=r_2-3r_1 r2′=r2−3r1
用矩陣乘法則表示為：
是以利用矩陣乘法，整個高斯消元法就可以表示如下：
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二、如何了解矩陣乘法：
一個正确的觀點是将矩陣看成是函數，這樣很多疑惑就可以迎刃而解。
2.1 矩陣是一個函數：
直線函數與矩陣：
我們熟悉的直線函數 a x = y ax=y ax=y把 ( x , 0 ) (x,0) (x,0)點映射到 ( 0 , a x ) (0,ax) (0,ax)點：
我們通過矩陣 A x → = y → A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y} Ax
=y
也可以完成這個映射，令：
A = ( 0 1 a 0 ) A=\begin{pmatrix} 0&1\\a&0 \end{pmatrix} A=(0a10)
則：
矩陣的優點：
對于 a x = y , x ∈ R , y ∈ R ax=y,x\in R,y\in R ax=y,x∈R,y∈R隻能完成從實數到實數的映射：
x → y ⟹ R → R x\to y\implies R\to R x→y⟹R→R
但是： A x → = y → , x → ∈ R n , y → ∈ R m A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}\in R^n,\overrightarrow{y}\in R^m Ax
=y
,x
∈Rn,y
∈Rm可以完成更廣泛的映射：
x → → y → ⟹ R n → R m \overrightarrow{x}\to \overrightarrow{y}\implies R^n\to R^m x
→y
⟹Rn→Rm
為了完成這點，矩陣 A A A就不再是系數a了，而是一個函數（或者說是映射）
假設 x → \overrightarrow{x} x
所在平面為 v v v，而 y → \overrightarrow{y} y
所在平面為 W W W， x → \overrightarrow{x} x
通過矩陣 A A A映射到了 y → \overrightarrow{y} y
，可以如下表示：
A這個映射的特别之處是，V上的直線通過A映射到W上依然是直線，是以矩陣也被稱為線性映射。
2.2 矩陣作為函數的工作方式：
将之前表示線性映射的3D圖變為2D圖：
為了繪圖友善， x → \overrightarrow{x} x
所在平面V， y → \overrightarrow{y} y
所在平面W，都是二維平面，即 R 2 R^2 R2
坐标：
研究線性映射，最重要的是搞清楚目前處在哪個基下，首先看：
x → \overrightarrow{x} x
, y → \overrightarrow{y} y
的基預設為各自空間向量空間下的自然基，其自然基為（即 R 2 R^2 R2下的自然基）：
是以可以得到：
如下圖所示：
映射法則的工作原理：
為了說清映射法則A是怎麼工作的，将A用一個空間表示，V會通過A映射到W：
設： A = ( c 1 → c 2 → ) A=(\overrightarrow{c_1}\quad\overrightarrow{c_2}) A=(c1
c2
)
整個映射過程如下所示：
根據矩陣乘法的規則可以得到（可以了解為 c 1 → , c 2 → \overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2} c1
,c2
兩個向量的一個線性組合）：
則 A x → A\overrightarrow{x} Ax
相當于在A空間中，以 c 1 → , c 2 → \overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2} c1
,c2
為基，坐标為 ( x 1 x 2 ) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} (x1x2)的向量：
再将 A x → A\overrightarrow{x} Ax
向量用自然基表示：
整體來說，就是基改變，導緻向量的坐标發生改變：
注意矩陣乘法不滿足交換律
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2.3 矩陣運算所滿足的定律
- A + B = B + A （ 加 法 交 換 律 ） A+B=B+A（加法交換律） A+B=B+A（加法交換律）
- A + （ B + C ） = （ A + B ） + C （ 加 法 結 合 律 ） A+（B+C）=（A+B）+C（加法結合律） A+（B+C）=（A+B）+C（加法結合律）
- A ∗ （ B ∗ C ） = （ A ∗ B ） ∗ C （ 乘 法 結 合 律 ） A *（B * C）=（A*B）*C（乘法結合律） A∗（B∗C）=（A∗B）∗C（乘法結合律）
- A ∗ （ B + C ） = A ∗ B + A ∗ C （ 分 配 律 ） A*（B+C）=A*B+A*C（配置設定律） A∗（B+C）=A∗B+A∗C（配置設定律）
- k ∗ （ A + B ） = k ∗ A + k ∗ B k*（A+B）=k*A+k*B k∗（A+B）=k∗A+k∗B
- ( A + B ) ∗ C = A ∗ C + B ∗ C 9 （ 分 配 律 ） (A+B)*C=A*C+B*C9（配置設定律） (A+B)∗C=A∗C+B∗C9（配置設定律）
- A ∗ I = I ∗ A = A （ 單 位 矩 陣 的 乘 法 屬 性 ） A*I=I*A=A（機關矩陣的乘法屬性） A∗I=I∗A=A（機關矩陣的乘法屬性）
注意上面所有的+都可以替換為-
三、數量矩陣&機關矩陣
3.1 機關矩陣
主對角線上的數字都是1，其餘都是0的矩陣稱為機關矩陣，即：
( 1 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 1 ) \begin{pmatrix}1&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&1\end{pmatrix} ⎝⎜⎛1⋮0…⋱…0⋮1⎠⎟⎞
3.2 數量矩陣
設I是機關矩陣，k是任何數，則kE稱為數量矩陣，即：
k E = ( k … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … k ) kE=\begin{pmatrix}k&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&k\end{pmatrix} kE=⎝⎜⎛k⋮0…⋱…0⋮k⎠⎟⎞
四、初等矩陣
初等矩陣是指由機關矩陣經過一次初等變換得到的矩陣。
五、行等價
A和B行等價，就是說A經過若幹次初等行變換可以變成B