領悟《信号與系統》之 信号與系統的描述-上節

信号與系統的描述-上節

• 一、信号分類
• • 1. 一維信号和多元信号
  • 2. 确定信号和随機信号
  • 3. 連續時間信号和離散時間信号
  • 4. 周期信号和非周期信号
  • 5. 能量信号和功率信号
• 二、常見工程信号
• • 1. 正弦信号
  • 2. 指數信号
  • 3. 取樣信号
  • 4. 機關矩形脈沖信号
  • 5. 符号函數

在真實的實體世界中，力、熱、聲、光、電等信号都可能攜帶了某種資訊。我們需要使用數學抽象的方法來建立一套數學模型來作為我們對信号、系統進行描述，這其實就是一個數學模組化的過程。 人們把随時間變化或随空間變化的實體信号根據其特性用數學方式來描述，最基本的方法就是寫出它的時域解析表示式（函數）或繪出函數的波形。

在信号與系統中，我們對于信号、系統的描述通常使用時間函數，也就是時域來描述、也可以運用時域方法來解決問題。但是我們在實際使用是發現時域的描述簡單、但計算是非常複雜的，後面就需要采用頻域、複頻域、z域等變換方式來快速、簡便的解決問題。那就需要引入頻譜分析、各種正交變換以及其他方式來描述和研究信号。

• 這節信号、系統的描述都是建立在時域的基礎上來叙述的。

本節的思路：

因為内容過多，分為兩節，這裡為上節 包含 信号分類、常見的工程信号

參考下節内容：

• 信号與系統的描述-下節

一、信号分類

1. 一維信号和多元信号

從數學表達式來看，信号可以表示為一個或多個自變量的函數。

如果某函數隻依賴于單個變量，則稱該信号為一維信号，習慣用函數 f (t)來表示一個以時間t 為自變量的實值函數或标量函數。t 稱為自變量， f (t)稱為因變量。應用執行個體中所提到的語音信号就是一個聲壓幅度随時間變化的一維信号（如圖所示）。

如果某函數依賴于兩個或多個變量，則稱該信号為多元信号。

• 二維信号，我們可以用 f (x, y) 表示。實際上，還可能出現更多元數變量的信号。-
• 例如電磁波在三維空間傳播，如同時考慮時間變量就構成了一個四維信号，可以用f (x, y,z,t) 表示。

2. 确定信号和随機信号

确定信号是指能夠以确定的時間函數表示的信号，其在任意時刻都有确定的函數值，也稱為确知信号或規則信号。

随機信号也稱為不确定信号，不是時間的确定函數，具有不可預知性。随機信号不能用數學函數來準确地描述，一般使用它的統計特性來描述。

如下圖：randomrandom(-4, 4) 函數是生成随機數介于 -4 到 4 之間的數

• 确定信号 f(t) = sin(at + 4*pi)
• 随機信号 f(t) = sin(at + 4*pi) + random(-4, 4)

3. 連續時間信号和離散時間信号

連續時間信号，也稱連續信号：

• 定義：是指如果在某個時間區間内，對于一切時間值，除有限個間斷點外，信号都有确定的定義。“連續”的含義是指信号的自變量是連續可變的；信号的取值，在值域内可以是連續的，也可以是跳變的。如果幅值和時間均為連續的，又稱為模拟信号。
• 下圖就是幅值和時間均為連續的時間信号，也稱模拟信号

  

• 具有間斷點的連續時間信号

  

離散時間信号隻在某些離散的時間點才有定義，即信号的自變量隻取離散的數值，這些點之間的值是不被定義的。相鄰離散時刻點的間隔可以是相等的，也可以是不等的。

離散時間信号隻關注時間點是不是離散的，跟函數值的離散性無關，若函數值也離散，那這信号就是數字信号，是另外一門學科的内容了。

離散時間信号記成 f(n) ，其數學描述除用函數表示外 可以用其他方式表達

• 第一種

  

• 第二種

  

如下圖，離散時間點間隔相等的 離散時間信号

4. 周期信号和非周期信号

周期信号具有這樣的特點：以 T 為周期，無限地重複着一個“波形”。即如果一個連續時間函數對所有的t 滿足：

• f (t) = f (t + kT) ， k =…-1,0,1,2…

則稱該函數為周期信号，T 是一個正常數。顯然，該函數在 2T、3T、4T…時也都能滿足上式，都屬于該函數的周期

周期 T 的倒數稱為周期信号 f (t)的基本頻率，它反映了信号每秒重複循環的次數，記為（機關Hz）

• f = 1 / T

角頻率就是

• ω = 2 * π * f = 2 * π / T

  

  如下圖 是周期為 1.5s 的信号

  

  如果信号不具備周期性，則稱為非周期信号。

5. 能量信号和功率信号

在研究系統中的信号時，信号常以數學抽象的形式被處理。為了便于分析，信号的實體意義常常被忽略。有時在一個系統裡會有許多不同信号，為此引入“信号的能量”這一概念就很重要。用信号的能量來衡量信号在系統中不同的強度，來區分。這個能量主要其實就是信号函數的積分，不是實際的實體能量哈。

• 連續時間信号的能量 （定義為信号幅度平方所覆寫的面積）

  

• 離散信号的能量 （定義為信号幅度的平方 累加）

  

如果積分（求和）不收斂，此時信号能量無限大，無法用能量這個參數來描述信号。例如諧波信号在無限的時間範圍内，信号平方所覆寫的面積是無限的，對這類信号，需引入信号的平均功率來代替信号能量進行分析。

• 連續時間信号的平均功率定義為：

  

• 離散信号的平均功率

  

  信号的能量和信号的平均功率都是非負實數。總能量有限而平均功率為零的信号稱為能量信号（即 0<E< ∞ 且 P→0）；總能量為無限大，而平均功率有限的信号稱為功率信号（即 E→∞ 且 0<P<∞）
• 總結: 區分功率信号和能量信号的名額是 這個信号積分或累加和是否有限，有限就是能量信号，無限就是功率信号

二、常見工程信号

在實際系統中有許多連續時間信号并不容易直接用數學方式描述。我們通過定義一些基本信号和數學變換，可以近似地描述、分析和處理這些複雜信号。 一定是近似的，不能100%數學描述。工程允許一些小誤差。

1. 正弦信号

• 表達式：

  

• 圖像

  

• 例題

  

2. 指數信号

• 表達式：

  

根據 B 分别為實數和複數又分為實指數信号和複指數信号。

• 1、實指數信号

  當 B=a（a 是實數）時，f(t) 就是我們常見的實指數信号。

  當a >0 時，信号是随時間單調遞增的函數；

  當a <0 時，信号是随時間單調遞減的函數；

  當a =0時，信号不随時間變化，恒為常數，也稱為直流信号。

  

• 2、複指數信号

  當 B= s （ s 是複數）時，稱 f(t)為複指數信号。其中 s = σ + jω ，σ 為 s 的實部，記為Re{s}，ω 為 s 的虛部，記為Im{s}

  由歐拉公式 可以實作指數信号與正弦信号的互相轉換.。

  歐拉公式 很重要！！！

  

  

  在現實中不能産生複指數信号 ，但是可以利用複指數信号來描述各種基本信号，如直流信号、指數信号、正弦信号以及增長或衰減的正弦信号，故利用複指數信号可使許多運算和分析得以簡化。在信号分析理論中，複指數信号是一種非常重要的基本信号。 很重要！！！！

  ejω0t 的實部和虛部都是角頻率為ω0 的正弦振蕩，故 ejω0t 也是周期信号，其基波周期為 T = 2*π / |ω0| , ω0也稱為基波角頻率。同樣， e-jω0t 也是同一基波周期的周期信号。（通過歐拉公式轉換的）

3. 取樣信号

• 數學式

  

• 圖像

  

• 特性

  1、sa(t) 是 偶函數

  2、随着 t- > ±∞ 其振幅逐漸衰減至 0

  3、當t= ±π,±2π,…,±nπ 時，函數值等于零。

  4、

  

4. 機關矩形脈沖信号

機關矩形脈沖信号又稱 門函數或方波 也是最常用的信号之一

• 數學表達式

  

  τ 是一個确定的正實數，它表示脈沖持續時間。
• 圖像

  

在工程上，我們也常用周期矩形脈沖信号作為系統的測試輸入信号。

5. 符号函數

• 數學表達式：

  

• 圖像

  

參考下節内容：

• 信号與系統的描述-下節

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