分段函數的期望和方差_經典摘錄-分段常數機率密度函數的均值和方差

本文摘錄自 Introduction to probability, 2nd Edition Example 3.17 Mean and Variance of a Piecewise Constant PDF

假設一個随機變量 $X$ 有分段常數的機率密度函數

$$f_x(x)=\cases{\frac{1}{3}, & if $0 \le x \le 1$, \ \frac{2}{3}, & if $ 1 < x \le 2$, \0, & if otherwise}$$

考慮事件：

$$A_1={\text{X 位于第一個區間 [0,1]}}$$

$$A_2={\text{X 位于第二個區間 (1,2]}}$$

我們從已知的機率密度函數得到：

$$P(A_1)=\int_{0}^{1}f_X(x)dx=\frac{1}{3}, \quad P(A_2)=\int_{1}^{2}f_X(x)dx=\frac{2}{3}$$

是以，條件均值和 $X$ 的條件二階矩容易計算，因為相關的機率密度函數 $PDF_S$： $f_{X|A_1}$ 和 $f_{X|A_2}$ 是均勻的，回憶例子3.4得到， 均勻分布在區間 $[a,b]$ 上的的随機變量的均值是：$\frac{(a+b)}{2}$ ，它的二階矩是 $\frac{(a^2+ab+b^2)}{3}$ ，是以：

$$

\begin{eqnarray}

E[X|A_1]&=&\frac{1}{2},\quad E[X|A_2]&=&\frac{3}{2}\

E[X^2|A_1]&=&\frac{1}{3},\quad E[X^2|A_2]&=&\frac{7}{3}

\end{eqnarray}

$$

使用總期望定理得到：

$$

\begin{eqnarray}

E[X] &=& P(A_1)E[X|A_1]+P(A_2)E[X|A_2] &=& \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} &=& \frac{7}{6} \

E[X^2] &=& P(A_1)E[X^2|A_1]+P(A_2)E[X^2|A_2] &=& \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{7}{3} &=& \frac{15}{9}

\end{eqnarray}

$$

那麼可以得到方差：

$$var(x)=E[X^2]-(E[X])^2=\frac{15}{9}-\frac{49}{36}=\frac{11}{36}$$

注意： 對于計算均值和方差的方法是容易推廣到多分段的常數機率密度函數。