一個字元串的最長回文子串的長度

一般算法 （ 時間複雜度O(N2) ）

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int main()
{
    string a;
    cin >> a;
    int max = ;
    int i, j;
    int c;
    int size = a.size();

    for (i = ; i<size; ++i)//從第一個字元開始判斷
    {
        for (j = ; i - j >=  && i + j < size; ++j)//奇數回文
        {
            if (a[i - j] != a[i + j])
                break;
            c =  * j + ;
        }
        if (max < c)
            max = c;

        for (j = ; i - j >=  && i + j +  < size; ++j)//偶數回文
        {
            if (a[i - j] != a[i + j + ])
                break;
            c =  * j + ;
        }
        if (max < c)
            max = c;

    }
    cout << max << endl;
`

    system("pause");
    return 0;
}
           

Manacher算法（ 時間複雜度O(N) ）

問題描述：

輸入一個字元串，求出其中最大的回文子串。子串的含義是：在原串中連續出現的字元串片段。回文的含義是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。

解析：

這裡介紹O(n)回文子串（Manacher）算法

算法基本要點：首先用一個非常巧妙的方式，将所有可能的奇數/偶數長度的回文子串都轉換成了奇數長度：在每個字元的兩邊都插入一個特殊的符号。比如 abba 變成 #a#b#b#a#， aba變成 #a#b#a#。 為了進一步減少編碼的複雜度，可以在字元串的開始加入另一個特殊字元，這樣就不用特殊處理越界問題，比如$#a#b#a#。

下面以字元串12212321為例，經過上一步，變成了 S[] = “$#1#2#2#1#2#3#2#1#”;

然後用一個數組 P[i] 來記錄以字元S[i]為中心的最長回文子串向左/右擴張的長度（包括S[i]），比如S和P的對應關系：

S     #    #    #    #    #    #    #    #    #
P                                          
(p.s. 可以看出，P[i]-正好是原字元串中回文串的總長度）
           

下面計算P[i]，該算法增加兩個輔助變量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx則為id+P[id]，也就是最大回文子串的邊界。

這個算法的關鍵點就在這裡了：如果mx > i，那麼P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

具體代碼如下：

if(mx > i)
{
      p[i] = (p[*id - i] < (mx - i) ? p[*id - i] : (mx - i));
}
else
{
       p[i] = ;
}
           

當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]為中心的回文子串包含在以S[id]為中心的回文子串中，由于 i 和 j 對稱，以S[i]為中心的回文子串必然包含在以S[id]為中心的回文子串中，是以必有 P[i] = P[j]，見下圖。

當 P[j] > mx - i 的時候，以S[j]為中心的回文子串不完全包含于以S[id]為中心的回文子串中，但是基于對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]為中心的回文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至于mx之後的部分是否對稱，就隻能一個一個比對了。

對于 mx <= i 的情況，無法對 P[i]做更多的假設，隻能P[i] = 1，然後再去比對了

下面給出原文，進一步解釋算法為線性的原因

代碼如下

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int main()
{
    string s,s1;
    cin >> s;
    s1 += "$#";
    int size = s.size();
    for (int i = ; i < size; ++i)
    {
        s1 += s[i];
        s1 += '#';
    }

    size = s1.size();
    int * p = new int[size];
    int mx = , id = ;

    for (int i = ; i < size; ++i)
    {
        if (mx > i)
        {
            p[i] = (p[ * id - i] < (mx - i) ? p[ * id - i] : (mx - i));
        }
        else
        {
            p[i] = ;
        }

        while (s1[i - p[i]] == s1[i + p[i]] && (i + p[i] < size) && ( i - p[i] >= ))
            p[i]++;

        if (i + p[i] > mx)
        {
            mx = i + p[i];
            id = i;
        }
    }

    int max = ;
    for (int i = ; i < size; i++)
    {
        if (p[i] > max)
        {
            max = p[i];
        }
    }

    max--;
    cout << max << endl;


    delete p;
    system("pause");
    return ;
}