三大方法：代入排除法、數字特征法、方程法
六大題型：工程問題、行程問題、經濟利潤、高頻幾何問題、容斥原理、排列組合與機率
第一節：代入排除法
一、什麼時候用：
①特定題型：年齡、餘數、不定方程（方程個數少未知數個數多）、多位數
②選項資訊充分：選項為一組數（分别、各為 甲乙分别為？）；選項可以轉化為一組數
③其他情況：條件特複雜 排除後隻剩兩項（将排除後的選項代入算一下看看…對不對）
二、怎麼用
能拍出的優先排除，排除不了在進行代入。
通過選項與題目結合排除，媽媽比兒子大26，爸爸比兒子大33.是以爸爸比媽媽打7
A 23 51 差28歲 錯誤
B 24+26=50 24+33=57 B滿足
C 25+26=51,25+33=58 C不滿足
D 26+26=52,26+33=59 D 不滿足
A 400–210–>190–105–>85…
B 410—215—>195…
C 420—220—>200—120–>80—70—>10 C 正确
流程的代入用“居中”代入…（者半查找思想）
四個未知量：甲乙丙丁 三個等式---------->代入方程
丙丁34，并且丁>丙，那麼丁要大于34/2=17 排除A
代入C試試，丙丁34—丁23 丙11----已丁20—已9----甲乙16----甲7 甲7 乙9丙11丁23 滿足
注：要求最大的數是多少，或者要求某個數最大可能為多少，建議從大的開始看。
因為最大可能可能會有多個滿足的，要選擇滿足中最大的。
第二節 數字特性
奇偶特性
一、奇偶特性：加減
和差同性：屬虎的和屬牛的一共128人，那麼屬虎的和屬牛的差就是偶數。
例題：共50題，答對得3分，答錯倒扣1，共得82分，問答對和答錯的題相差多少。
A16 B17 C31 D33
答對，答錯一共50題 對+錯=偶數，那麼答對和答錯相差 對-錯=偶數。
在答案中選擇偶數的，如果有多個偶數，代入驗證一下。
二、奇偶特性：乘法
一偶則偶，全奇為奇
例子：甲是乙的兩倍，乙是丙的3倍，判斷甲乙丙的奇偶性。
甲=乙2 ，2是偶數，是以甲是偶數。 乙=丙3 無法判斷
已知5x+6y=76（xy是質數），求x，y。
5x + 偶數=偶數 是以5x為偶數
是以 x為偶數 ，x又是質數，是以隻能是2。
10+6y=76 6y=66 y=11
注：考到質數的時候，不要忘記2，這個2很常考，是唯一的偶數。
方法一：代入排除。
方法二：
再過3年母親的年齡就是兒子的2倍。 3年後母親年齡應該是偶數。現在就是一個奇數。排除BD
AC再排除
答案A
法文 = 英文+4 ①
法文= 日文2 ②
由②可知法文是偶數人，那麼 由①可知，英文也是偶數。
但是小李既會英語又會日文，是以隻會英文的是偶數-1 = 奇數個。排除AB選項（不要忽略0是偶數）
在用排除法看CD
C： 隻會英語3人，會英語的4人。法文就是8人，日文就是4人。是以一共16人，然後小李既會日文有會英語是以一共15人。
D： 隻會英語1人，會英語的是2人。發文就是6人，日文就是3人。是以一共11人，小李既會日文又會英語是以一共10人。
倍數特性
基礎知識：A=BC（B，C均為正數）則①A能被B或者C整除②B和C均是A的約數
260 270 280 290，那個能被18整除
18=29 是以能被2和9同時整除的就行。被9整除，看看相加是否能使9的倍數。是以隻有270
能不能分成36，不能。2 9 的最小公倍數是18. 3 6最小公倍數不是18.
45可以拆成5 9. 不能拆3 15
1 3 5 7 9 字母26種
數字的組合不知道多少種 ，設為n。字母有26種。 是以應該有26n…
隻需要找26的倍數。隻能是B。
選擇就是C 5 3.選出來三個就有順序，（C 5 3）26
答案D
銷售總額=單價銷售數量
銷售數量是12萬，那麼也就是要的答案是 12*？=？
是以要的答案一定是12的倍數。答案分别表示為萬元 47200 44600 46400 43200
12的倍數，拆開為3和4的倍數。隻有D滿足。
（一）餘數型
多退少補
一堆蘋果分給每人10個，剩餘3. 那麼就讓答案-3，就是10的倍數。
一堆蘋果分給每人10個，還缺3. 那麼就讓答案+3，就是10的倍數。
①補8塊，是6的倍數。答案選擇B
時間之比：3:8：4 是以設每一份時間為x，那麼就是
3x+8x+4x+4=時間 15x+4=總時間
A 130 B140 C150 D160 是以選擇15的倍數 答案C
（二）比例型
D60
答案B
12.5%=1/8 37.5% = 3/8
注意審題，給的都是中層以上，問的是中層以下。
方法一：比例關系
原來中層以下：37.5 3/8------------>分子要是3的倍數（A是m的倍數），排除AC
添加兩名職工後： 4/11 代入算，D60-2=58 58不是4的倍數不行，66-2=64 64是4的倍數，是以選擇B
方法二：倍數結合方程
設不變量，也就是總人數。設的時候考慮分母的公倍數，設為 8 11的公倍數 88x
原來中下=88x *（3/8）=33x
是以趙數，為33的倍數。直接選B
男女比：5:6 男比總：5:11 ---->33人 ----->15人----18人
男女比：5:4 男比總：5:9------>36人 ------->20人-----16人
男 15+20=35人 女 18+16=34
是以多1人
答案A
4的倍數，看末尾兩位是不是4的倍數就可以了。2020 看20 ，2018 看18
3 9的倍數，看數字和是不是3的倍數
5的倍數，末尾5或者0
拆分法：682是不是7的倍數，找一個與所給資料接近的7的倍數的資料，700-18=682
700是7的倍數，但是18不是。是以682不是7的倍數。
三、方程法
一、普通方法
設未知數技巧：
1.設小不設大（減少分數計算）
2.設中間量（友善列式）
3.問誰設誰（避開陷阱）
答案D
方法一、
1/3+2/5=11/15
丙 4/15 甲比丙多12人，那麼 1/15位12. 1215=180
方法二：
設總人數15x。那麼甲5x，乙6x，則丙4x。
是以5x-4x=x=12，總人數1215
（二）、不定方程
分析奇偶性、倍數、尾數等數字特征，嘗試代入排除。
倍數優先，其次奇偶特性，最後尾數或者代入
奇偶特性：6x+5y=37，6x偶數，37奇數，是以5y為奇數，y就是奇數。
倍數特性：5x+7y=63,63是7的倍數，那麼5x也必須是7的倍數。
答案D
29x+24y=900
找29與900最大公約數找不到
24與900最大公約數為12，是以29x必須也有12的因子，而29不是12因子，是以x是12因子。1-12月隻能取12
是以x=12，為第四季度。
（三）不定方程組
第一類：未知數一定是整數的不定方程組
先消元轉化為不定方程，再按不定方程求解。
答案B
10x+8y+5z=75
x+y+z=10
消z：5x+3y=25
5x與25有5的因子，是以3y也要有5的因子。是以y=5.x=2.
第二類：未知數不一定是整數的方程組
①賦0法
②配系數
答案B
這個題目中，金額可能不是整數，是以用賦0法。
x+3y+7z=200
2x+5y+11z=350
求x+y+z=?
賦0法：設z=0
x+3y=200
2x+5y=350
得到x=50，y=50
是以x+y+z=100
第四節 工程問題
一、給完工時間
①賦總量（完工時間的公倍數）
②算效率：效率=總量/時間
③根據工作過程列方程或式子
甲完工半小時，乙完工45分鐘，兩人一起折疊，多久？
總量：30和45的最小公倍數：90
甲效率 90/30=3 乙效率 90/45=2
總效率5 ---->時間 90/5=18分鐘
答案B
設總工程量：120 甲效率4 乙效率3.
合作十天完成 70. 還剩下工程量50
四天完成 50=（3+4+x）4 x=5.5
120/5.5=21.8181…
是以需要22天完成
有兩個數互質8 15，那麼就是互質的兩個數相乘120。再用這個數去判斷
有倍數的留大的12。再用大的與另外一個找 12與20的公約數
所有的公約，有能約的繼續約，不能約的抄下來。沒有能約的時候，直接相乘。
方法一：
①總量設為 30
②甲乙效率5 乙丙效率3
③問比例關系，直接看選項帶進去，能不能
方法二：
接着③
30=5*4+5x---->x=2，是以并的效率是2.
是以甲3，丙1.甲乙丙的比例為 3 2 1
擴充： 如果甲丙合作4天，乙在單獨五天完成，甲乙丙的效率。
有甲乙，乙丙已知， 甲丙未知，且要求乙------>設乙x 甲5-x
，丙3-x ，乙x 4（5-x+3-x）+5x = 30
2.給效率比
答案D
方法一：
甲乙：8 丙丁10 時間：x+9 x 總量 8（x+9）=10x ---->2x=72—>x=36 總量=360
t=360/18=20
方法二：
比例：
總量一定，時間與效率成反比
甲乙：丙丁=8:10
是以 t甲乙：t丙丁=5:4 是以一個t=9----->t甲乙 = 45 t丙丁=36
甲乙：丙丁：甲乙丙丁=8 10 18 t甲乙：45 t丙丁 36
甲乙：甲乙丙丁=8:18=4:9 t甲乙：t甲乙丙丁=9:4=45:？ 算出來是20
方法一：
甲效率： 14/1=14/h
乙效率： 18/h
乙的時間：9/18=1/2 半小時
方法二：
①設效率 甲7 乙9
②計算工作量： 71 = 14x x=0.5
③t乙=0.59/9=0.5
答案：B
方法一：
工作總量：301080=24000 太複雜不要計算出結果，後期可能會約分
301080=121080+8150x
108018=8150x
1018=15x
218=3x
26=x
x=12
加班兩小時
方法二：
少幹了10天，剩下的八天相當于要幹原工程的18天。
188010=8150x
3.給具體機關型（考的少：給多少分，多少量，不是時間量）
①設未知數
②找等量關系
答案C
方法一：
設乙x，甲則為x+6
20（x+6）=12*（2x+6）
x=12
2018=360
方法二：給出了時間
①設總量，找時間公倍數 60x 份
②計算效率：甲3x 甲乙 5x----乙2x---->甲乙差x為6份—>x=6
總量就是 606=360
第五節 行程問題
三量關系：路程=速度*時間
考察題型：
1.基礎行程
2.相對行程
3.比例行程
方法一：
三天總路程=速度時間=速度18
是以總路程是18的倍數，直接選出答案B
方法二：
h 5
v v
s 5v 600 5v-200
5v+600+5v-200=18v
v=50
18v=1850=900
走路時間2h，v=(36)2/(3+6)=4km/h
平路和上下坡速度相同，是以 s=vt=42=8
1.直線相遇：兩人同時相向而行 公式：s=（v1+v2）*t
2.環形相遇（同點出發） s=（v1+v2）*t
相遇1次，一圈；相遇n次，n圈
答案C
( 60+x)*6=(48+x)7 ----->x=24
甲的速度是24,一圈路程為846=504 (24+v丁)8=504 v=39
直線追擊：兩人同時同向而行
s追擊路程=（v1-v2）t
答案C
s=（v磊-v爸）12
2s=（v磊-v爺）18 s=（v磊-v爺）9
s=（v爸-v爺）t
化簡：t=36
36追上，已經過去18分鐘了，是以再需要18就可以了。
答案B
多次相遇（兩端出發）
兩端出發相遇
第一次相遇，1s
第二次相遇，3s
第三次相遇，5s
第n次相遇，工作（2n-1）s=（v1+v2）t
答案C
（2n-1）100=（100/72+100/60）1260
n=11.5
是以11次
V甲=x+32 V乙=32-x
(s+10)/3 =x+32
(s)/4=32-x
x=6
答案B
時間相同：s與t成正比
s:5/6s = v王：v李
1/2s：100 = v王：v李
6/5 = s/200
s=240m
直線同一段觸發n次相遇：2ns=v和t
第六節 經濟利潤
答案C
定價x
[x（1-20%）-20]/20=52%
x=38
設總量為9xkg
235x+154x=2275
x=13
是以原定價賣出是65
方法一：
90%可以賣出，25斤售價 利潤12000
總的x 賣出去0.9x 損失0.1x
售價25-10=15 12000=150.9x-0.1x10
x=960
是以購買了960
方法二：
25*0.9x-10x=12000
利潤率比去年增加24個百分點
1240 1000-----利潤增加24%
24+x % x% -------利潤率增加24個百分點
成本指派，假設100. 因為成本基本都要設定百分之幾的計算，是以設為100友善計算。（設多少都可以隻要友善計算就可以）
對于這個分式方程求解：
方法一：直接十字相乘
方法二：
（x-85）/17 = [（x-76）-（x-85）]/(20-17)=9/3=3
x-85=51 x=136
x=136 （136-100）/100=36%
答案 B
方法一：
基礎停車x小時，超标120-x
5x+4.5(120-x)=545
x=10
方法二：
如果都是4.5，那麼120小時，是540元。現在545，貴了5元。
也就是說，基礎費用一小時多0.5, 5元就是十小時。
答案B
胡家69.5，熊家54。
熊家4口人，熊家可以 45=20噸，202.5=50元。不超過的部分就要這麼多
還剩下4元，就是一頓超過的。是以一共使用21噸水。
第七節 高頻幾何問題
一、公式類
二、結論類
三、技巧類
公式類
答案A
x y
（x+4）（y+4）-xy=40
xy+4x+4y+16-xy=40 4(x+y)=24 2(x+y)=12
方法一：設某一個邊為a，再去倒一下别的邊的值。
方法二：目測，尺子量一量
r=1，d=2，邊長8
是以答案B
答案D
方法一：直接計算
(a+10)(b+10)=1.5ab
a+b=130
ab=2800
方法二：分割L
S道路=100+10a+10b
周長：260 a+b=130
s道路=1400
現在面積是原來1.5倍，那麼道路是原來的0.5。是以原來面積就是2800
結論類：
見招拆招，逐漸積累
在正方體中，内置一個正八面體。他的體積計算V=1/6a^3 a就是正方體的體積
各邊中點連線：三角形，面積四等分；四邊形，面積平分
答案B， 48/2/2/2=6
答案C
方法一：找規律——構造第4條線
1 2
2 4
3 7 內插補點2 3，在畫一下4條線，發現是11面
4 11 那麼就是內插補點構成等差數列
5 16 + 6=22 +7 =29 +8 =37 +9=46
5 6 7 8 9
方法二：找規律——構造第0條線
0 1
1 2
2 4
3 7 內插補點分别為1 2 3
答案D
直徑 R^2=108 R=根号下108=根号下 36*3=6根号下3
又因為同時出發，同時到達，s=vt
是以 AC：BC=V甲：V乙=2:1
是以BC=3根号下3
AC=2R BC=R 是以AB=根号3倍的R=18
技巧型
直角三角形：
①勾股定理（勾股數：3 4 5；5 12 13）
②特殊的直角三角形：三十度所對的直角邊等于斜邊的一半；等腰直角三角形
相似三角形：
①判定：平行線之間有交叉；三角形之中出現平行線。
最短路徑：
②性質：各邊對應成比例，面積之比等于邊長比的平方
答案B
答案D
特殊三角形，等腰三角形底角是30°，那麼腰長x，則底邊長15倍根号三
這裡指的是比例關系，不是面積大小。
鏡面對稱：答案A
答案D
計算可以；
也可以畫圖發現SC大于CD一半，大于6是以直接選擇D
第八節 容斥原理
兩集合
答案B
答案B
方法一：公式法 8+9-x=13 x=4 是以隻拿蘋果的就是9-4=5
方法二：畫圖
答案C
三集合
答案E ：可以通過尾數計算值
判斷用标準還是非标準公式
出現即…又… 用标準公式
沒有即…又…用非标準公式
答案：D
180+200+100-20-50*2=360
360/0.9=400
答案A
36+20+28-x-2y=72
x+2y=12
求y最多，那麼就是x=0 得到y=6
第九節 排列組合與機率
分類與分步
分類（要麼…要麼…）相加
分步（先…後…）相乘
排列與組合
排列：與順序有關
組合：與順序無關
答案：B
甲：連續兩天，12 23 34 45 隻有四種可能。不能用C來算，C不是連續的
剩下三天，選兩天給乙丙。用A來算
4A3 2=24
答案A
答案A
計算的時候可以不計算具體值，直接看末尾數字。
答案：C
注意題目當中有限制，枚舉之後需要排除
①捆綁：甲乙丙捆在一塊，内部需要排序 A3 3；
②排序：甲乙丙 丁 戊 己 相當于四個元素，進行全排列。A4 4
記住幾個常用的全排列：A33=6 A4 4=24 A5 5=120
答案B
捆綁法：
①捆綁：每個部門看為一個整體，先對内部進行排序。第一個部分A33 第二個部門A22 第三個部門A44
②排序：三個内部的出場順序A3 3
A3 3A3 3A2 2A4 4=66224=
大約在B
①先排：四個人可以相鄰，A4 4
②再插：插空，看看這四個可以相鄰的人有幾個空隙。A5 3
A4 4*A5 3
答案C
組合情況：
| 男 | 女 | |
|---|---|---|
| 4 | 不滿足男女都要有排除 | |
| 3 | 1 | 男生一定會有連續的排除 |
| 2 | 2 | C5 2（選）C5 2（選）A2 2（放女生）A3 2（插入男生） |
| 1 | 3 | C5 1（選）C5 3（選）A3 3（放女生）C4 1（插入男生） |
| 4 | 不滿足男女都有排除 |
1200+1200=2400
甲乙丙三名人員，每人不少于3份。先每人配置設定兩個 23=6，還剩下9人。C 8 2=（87）/2=28
答案D
五個可使都不會到自己的崗位是以D5=44
答案C
答案B
12 23 34 45 56 67 71（周1已經到下周了，排除） ---------56 67
是以就是2/6=1/3
答案B
甲20% 乙30% 丙50% 次品率1%，2%，1%。 次品 0.002 0.006 0.005=0.013 次品率為1.3%