點集拓撲筆記（1）

第一章 拓撲空間

拓撲空間的原型是歐幾裡德空間 R n R^n Rn。然而，歐幾裡德空間具有許多與其拓撲無關的附加結構，例如度量、坐标、内積和方向。拓撲空間定義背後的想法是抛棄所有與連續映射無關的 R n R^n Rn屬性，進而将連續性的概念提煉為其本質。

在高等微積分中，我們學習了連續映射的幾個特征，其中包括：從 R n R^n Rn的一個開子集到 R m R^m Rm的映射 f f f是連續的，當且僅當 R m R^m Rm中任何開集 V V V的逆像 f − 1 ( V ) f^{- 1}\left( V \right) f−1(V)在 R n R^n Rn是開的。這表明連續性可以僅用開集來定義。

為了公理化地定義開集，我們研究了 R n R^n Rn中開集的性質。回想一下，在R^n中，兩點p和q之間的距離由下式給出：

d ( p , q ) = [ ∑ i = 1 n ( p i − q i ) 2 ] 1 / 2 d(p,q) = {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{{({p^i} - {q^i})}^2}} } \right]^{1/2}} d(p,q)=[i=1∑n​(pi−qi)2]1/2

以及将中心為 p ∈ R n p∈R^n p∈Rn、半徑為 r > 0 r>0 r>0的開球 B ( p , r ) B(p,r) B(p,r)設為集合：

B ( p , r ) = { x ∈ R n ∣ d ( x , p ) < r } B(p,r) = \{ x \in {R^n}|d(x,p) < r\} B(p,r)={x∈Rn∣d(x,p)<r}

對于 R n R^n Rn中的集合，如果 U U U中的每一個 p p p都存在一個中心為 p p p、半徑為 r r r的開球 B ( p , r ) B(p,r) B(p,r)，使得 B ( p , r ) ⊂ U B(p,r)⊂U B(p,r)⊂U（圖1），則 U U U是開的。顯然，任意開集 U α {U_α} Uα​的并是開的，但無限多個開集的交集不一定是開的。

圖1. R n R^n Rn中的一個開集

例子：區間 [ ( − 1 ⁄ n , 1 ⁄ n ] （ n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ） [(-1⁄n,1⁄n]（n=1,2,3,⋯） [(−1⁄n,1⁄n]（n=1,2,3,⋯）在 R 1 R^1 R1都是開的，但它們的交點 ⋂ n = 1 ∞ [ − 1 / n , 1 / n ] \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty}\left\lbrack {{{- 1}/n},{1/n}} \right\rbrack n=1⋂∞​[−1/n,1/n] 是非開的單元素集 { 0 } \left\{ 0 \right\} {0}。

事實上， R n R^n Rn中有限個開集的交集是開的。這就引出了集合上拓撲的定義。

定義1：集合 S S S上的拓撲是一個子集集合 T T T，集合 T T T中同時包含空集 ϕ ϕ ϕ和集合 S S S，使得 T T T對于任意并和有限交運算是封閉的。

即：如果對于索引集A中所有的 α α α，有 U α ∈ T U_α∈T Uα​∈T，則 ⋃ α ∈ A U α ∈ T {\bigcup\limits_{\alpha \in A}U_{\alpha}} \in \mathcal{T} α∈A⋃​Uα​∈T；如果 U 1 , ⋯ , U n ∈ T U_1,⋯,U_n∈T U1​,⋯,Un​∈T，則 ⋂ i = 1 n U i ∈ T \bigcap\limits_{i = 1}^{n}{U_{i} \in \mathcal{T}} i=1⋂n​Ui​∈T。