說明：以下資源來源于《數字信号處理的MATLAB實作》萬永革主編
一.調用方法
X=FFT(x)；
X=FFT(x，N)；
x=IFFT(X);
x=IFFT(X,N)
用MATLAB進行譜分析時注意：
(1)函數FFT傳回值的資料結構具有對稱性。
例：
N=8;
n=0:N-1;
xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];
Xk=fft(xn)
→
Xk =
39.0000 -10.7782 +
6.2929i 0 - 5.0000i 4.7782 -
7.7071i 5.0000 4.7782 +
7.7071i 0 + 5.0000i -10.7782 - 6.2929i
Xk與xn的維數相同，共有8個元素。Xk的第一個數對應于直流分量，即頻率值為0。
(2)做FFT分析時，幅值大小與FFT選擇的點數有關，但不影響分析結果。在IFFT時已經做了處理。要得到真實的振幅值的大小，隻要将得到的變換後結果乘以2除以N即可。
二.FFT應用舉例
例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采樣頻率fs=100Hz，分别繪制N=128、1024點幅頻圖。
clf;
fs=100;N=128; %采樣頻率和資料點數
n=0:N-1;t=n/fs; %時間序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N); %對信号進行快速Fourier變換
mag=abs(y); %求得Fourier變換後的振幅
f=n*fs/N; %頻率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag); %繪出随頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2));
%繪出Nyquist頻率之前随頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
%對信号采樣資料為1024點的處理
fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N); %對信号進行快速Fourier變換
mag=abs(y); %求取Fourier變換的振幅
f=n*fs/N;
subplot(2,2,3),plot(f,mag); %繪出随頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;
subplot(2,2,4)
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %繪出Nyquist頻率之前随頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;
運作結果：
fs=100Hz，Nyquist頻率為fs/2=50Hz。整個頻譜圖是以Nyquist頻率為對稱軸的。并且可以明顯識别出信号中含有兩種頻率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT變換資料的對稱性。是以用FFT對信号做譜分析，隻需考察0~Nyquist頻率範圍内的福頻特性。若沒有給出采樣頻率和采樣間隔，則分析通常對歸一化頻率0~1進行。另外，振幅的大小與所用采樣點數有關，采用128點和1024點的相同頻率的振幅是有不同的表現值，但在同一幅圖中，40Hz與15Hz振動幅值之比均為4：1，與真實振幅0.5：2是一緻的。為了與真實振幅對應，需要将變換後結果乘以2除以N。
例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,繪制：
(1)資料個數N=32，FFT所用的采樣點數NFFT=32；
(2)N=32，NFFT=128；
(3)N=136，NFFT=128；
(4)N=136，NFFT=512。
clf;fs=100; %采樣頻率
Ndata=32; %資料長度
N=32; �T的資料長度
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %資料對應的時間序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %時間域信号
y=fft(x,N); %信号的Fourier變換
mag=abs(y); %求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N; %真實頻率
subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%繪出Nyquist頻率之前的振幅
xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;
Ndata=32; %資料個數
N=128; �T采用的資料長度
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %時間序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真實頻率
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%繪出Nyquist頻率之前的振幅
xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;
Ndata=136; %資料個數
N=128; �T采用的資料個數
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %時間序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真實頻率
subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%繪出Nyquist頻率之前的振幅
xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;
Ndata=136; %資料個數
N=512; �T所用的資料個數
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %時間序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真實頻率
subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%繪出Nyquist頻率之前的振幅
xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;
結論：
(1)當資料個數和FFT采用的資料個數均為32時，頻率分辨率較低，但沒有由于添零而導緻的其他頻率成分。
(2)由于在時間域内信号加零，緻使振幅譜中出現很多其他成分，這是加零造成的。其振幅由于加了多個零而明顯減小。
(3)FFT程式将資料截斷，這時分辨率較高。
(4)也是在資料的末尾補零，但由于含有信号的資料個數足夠多，FFT振幅譜也基本不受影響。
對信号進行頻譜分析時，資料樣本應有足夠的長度，一般FFT程式中所用資料點數與原含有信号資料點數相同，這樣的頻譜圖具有較高的品質，可減小因補零或截斷而産生的影響。
例3：x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)
(1)資料點過少，幾乎無法看出有關信号頻譜的詳細資訊；
(2)中間的圖是将x(n)補90個零，幅度頻譜的資料相當密，稱為高密度頻譜圖。但從圖中很難看出信号的頻譜成分。
(3)信号的有效資料很長，可以清楚地看出信号的頻率成分，一個是0.24Hz，一個是0.26Hz，稱為高分辨率頻譜。
可見，采樣資料過少，運用FFT變換不能分辨出其中的頻率成分。添加零後可增加頻譜中的資料個數，譜的密度增高了，但仍不能分辨其中的頻率成分，即譜的分辨率沒有提高。隻有資料點數足夠多時才能分辨其中的頻率成分。
======================評論======================================
1)FFT的算法與奈奎斯特頻率沒有關系，奈奎斯特頻率隻是用來避免頻率的混疊。
2)對稱是因為fft本身算法産生的吧！奈奎斯特頻率是系統最高頻率*2得到的最低采樣頻率，和fft沒有關系啊，如果低于奈奎斯特頻率采樣，就會發生頻譜混疊，是把大于系統最高頻率的部分對稱加到小于的部分，發生混疊現象。
3)"頻譜圖是以Nyquist頻率為對稱軸的"這句話不對。對稱軸是N/2