單因子模型到多因子模型

從單因子模型到多因子模型 – 潘登同學的Quant筆記

文章目錄

• • 從單因子模型到多因子模型 -- 潘登同學的Quant筆記
• 單因子模型、多因子模型
• • 拓展到多因子的依據是什麼？
  • • C-CAPM架構下的單因子
    • C-CAPM架構下的多因子
• APT
• • 推導多因子模型
  • • 單因子兩資産
    • 多因子多資産
• APT的應用
• • α , β \alpha,\beta α,β分離
  • 因子選股
  • 統計套利

單因子模型、多因子模型

根據CAPM：

E [ r j ~ ] = r f + β M , j ( E [ r M ~ ] − r f ) E[\tilde{r_j}] = r_f + \beta_{M,j}(E[\tilde{r_M}]-r_f) E[rj​~​]=rf​+βM,j​(E[rM​~​]−rf​)

将其寫成計量模型，很容易就得出了單因子模型

r j ~ − r f = α i + β i , M ( r M ~ ] − r f ) + ϵ i ~ \tilde{r_j} - r_f = \alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r_M}]-r_f) + \tilde{\epsilon_i} rj​~​−rf​=αi​+βi,M​(rM​~​]−rf​)+ϵi​~​

Fama和French 1993年指出可以建立一個三因子模型來解釋股票回報率

r j ~ − r f = α i + β i , M ( r M ~ ] − r f ) + β i , s S M B i ~ + β i , h H M L i ~ + ϵ i ~ \tilde{r_j} - r_f = \alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r_M}]-r_f) + \beta_{i,s}\tilde{SMB_i} + \beta_{i,h}\tilde{HML_i} + \tilde{\epsilon_i} rj​~​−rf​=αi​+βi,M​(rM​~​]−rf​)+βi,s​SMBi​~​+βi,h​HMLi​~​+ϵi​~​

其中， S M B i ~ \tilde{SMB_i} SMBi​~​表示市值因素， H M L i ~ \tilde{HML_i} HMLi​~​表示賬面價值與股票市值之比；

拓展到多因子的依據是什麼？

C-CAPM架構下的單因子

回到C-CAPM，代表性消費者的優化問題

max ⁡ c 0 u ( c 0 ) + δ E [ u ( c 1 ~ ) ] s . t . c 1 ~ = ( 1 + r w ~ ) ( w 0 − c 0 ) F O C : 1 = E [ δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) ( 1 + r w ~ ) ] \begin{aligned} \max_{c_0} \quad & u(c_0) + \delta E[u(\tilde{c_1})] \\ s.t. \quad & \tilde{c_1} = (1+\tilde{r_w})(w_0-c_0) \\ FOC: & 1 = E[\delta\frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)}(1+\tilde{r_w})] \end{aligned} c0​max​s.t.FOC:​u(c0​)+δE[u(c1​~​)]c1​~​=(1+rw​~​)(w0​−c0​)1=E[δu′(c0​)u′(c1​~​)​(1+rw​~​)]​

其中 r w ~ \tilde{r_w} rw​~​為市場組合的回報率， w 0 w_0 w0​為消費者0時期的财富；

假設消費者的效用函數是二次型 u ( c ) = − 1 2 ( a − c ) 2 u(c)=-\frac{1}{2}(a-c)^2 u(c)=−21​(a−c)2,則 u ′ ( c ) = a − c u'(c) = a-c u′(c)=a−c，則随機折現因子可以表示為

m ~ = δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) = δ a − ( 1 + r w ~ ) ( w 0 − c 0 ) a − c 0 = A − B r w ~ A = δ a a − c 0 − δ w 0 − c 0 a − c 0 , B = δ w 0 − c 0 a − c 0 \tilde{m} = \delta\frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)} = \delta\frac{a- (1+\tilde{r_w})(w_0-c_0)}{a-c_0} = A - B\tilde{r_w} \\ A=\delta\frac{a}{a-c_0} - \delta\frac{w_0-c_0}{a-c_0},B=\delta \frac{w_0-c_0}{a-c_0} m~=δu′(c0​)u′(c1​~​)​=δa−c0​a−(1+rw​~​)(w0​−c0​)​=A−Brw​~​A=δa−c0​a​−δa−c0​w0​−c0​​,B=δa−c0​w0​−c0​​

之前在C-CAPM推出來的結論(對所有資産成立，自然對無風險資産成立)

1 = E [ m ~ ( 1 + r f ~ ) ] ⇒ 1 = E [ m ~ ] ( 1 + r f ) + c o v ( m ~ , r f ) ⇒ 1 E [ m ~ ] − 1 = r f 1 = E[\tilde{m}(1+\tilde{r_f})] \\ \Rightarrow 1 = E[\tilde{m}](1+r_f)+cov(\tilde{m},{r}_f) \Rightarrow \frac{1}{E[\tilde{m}]} -1 = r_f 1=E[m~(1+rf​~​)]⇒1=E[m~](1+rf​)+cov(m~,rf​)⇒E[m~]1​−1=rf​

對于任意資産 i i i:

1 = E [ m ~ ( 1 + r j ~ ) ] ⇒ 1 = E [ m ~ ] ( 1 + E [ r j ~ ] ) + c o v ( m ~ , r ~ j ) ⇒ E [ r j ~ ] = 1 E [ m ~ ] − 1 − c o v ( m ~ , r ~ j ) E [ m ~ ] = r f − c o v ( m ~ , r ~ j ) E [ m ~ ] = r f − c o v ( A − B r w ~ , r ~ j ) E [ m ~ ] = r f + c o v ( r w ~ , r ~ j ) v a r ( r w ~ ) B v a r ( r w ~ ) E [ m ~ ] \begin{aligned} 1 &= E[\tilde{m}(1+\tilde{r_j})]\\ \Rightarrow 1 &=E[\tilde{m}](1+E[\tilde{r_j}])+cov(\tilde{m},\tilde{r}_j) \\ \Rightarrow E[\tilde{r_j}] &= \frac{1}{E[\tilde{m}]} - 1 - \frac{cov(\tilde{m},\tilde{r}_j)}{E[\tilde{m}]} \\ &=r_f - \frac{cov(\tilde{m},\tilde{r}_j)}{E[\tilde{m}]} \\ &=r_f - \frac{cov(A - B\tilde{r_w},\tilde{r}_j)}{E[\tilde{m}]} \\ &=r_f + \frac{cov(\tilde{r_w},\tilde{r}_j)}{var(\tilde{r_w})} \frac{B var(\tilde{r_w})}{E[\tilde{m}]} \\ \end{aligned} 1⇒1⇒E[rj​~​]​=E[m~(1+rj​~​)]=E[m~](1+E[rj​~​])+cov(m~,r~j​)=E[m~]1​−1−E[m~]cov(m~,r~j​)​=rf​−E[m~]cov(m~,r~j​)​=rf​−E[m~]cov(A−Brw​~​,r~j​)​=rf​+var(rw​~​)cov(rw​~​,r~j​)​E[m~]Bvar(rw​~​)​​

定義 β \beta β:

β j , w ≜ c o v ( r w ~ , r ~ j ) v a r ( r w ~ ) \beta_{j,w} \triangleq \frac{cov(\tilde{r_w},\tilde{r}_j)}{var(\tilde{r_w})} βj,w​≜var(rw​~​)cov(rw​~​,r~j​)​

定義常數 λ \lambda λ

λ w ≜ B v a r ( r w ~ ) E [ m ~ ] \lambda_w \triangleq \frac{B var(\tilde{r_w})}{E[\tilde{m}]} λw​≜E[m~]Bvar(rw​~​)​

是以資産j的期望回報率可以寫成

E [ r j ~ ] = r f + β j , w λ w E[\tilde{r_j}] = r_f + \beta_{j,w}\lambda_w E[rj​~​]=rf​+βj,w​λw​

C-CAPM架構下的多因子

現在我們假設消費者除了擁有初始财富 w 0 w_0 w0​ 外，還在 0 期與 1 期分别擁有工資性收入 y 0 y_0 y0​ 與 y 1 ~ \tilde{y_1} y1​~​,則最優化問題為

max ⁡ c 0 u ( c 0 ) + δ E [ u ( c 1 ~ ) ] s . t . c 1 ~ = ( 1 + r w ~ ) ( w 0 + y 0 − c 0 ) + y 1 ~ F O C : 1 = E [ δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) ( 1 + r w ~ ) ] \begin{aligned} \max_{c_0} \quad & u(c_0) + \delta E[u(\tilde{c_1})] \\ s.t. \quad & \tilde{c_1} = (1+\tilde{r_w})(w_0+y_0-c_0) + \tilde{y_1} \\ FOC: & 1 = E[\delta\frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)}(1+\tilde{r_w})] \end{aligned} c0​max​s.t.FOC:​u(c0​)+δE[u(c1​~​)]c1​~​=(1+rw​~​)(w0​+y0​−c0​)+y1​~​1=E[δu′(c0​)u′(c1​~​)​(1+rw​~​)]​

則随機折現因子表示為

m ~ = A − B r w ~ − C y 1 ~ A = δ a a − c 0 − δ w 0 + y 0 − c 0 a − c 0 , B = δ w 0 + y 0 − c 0 a − c 0 , C = δ a a − c 0 \tilde{m} = A - B\tilde{r_w} - C\tilde{y_1} \\ A=\delta\frac{a}{a-c_0} - \delta\frac{w_0+y_0-c_0}{a-c_0},B=\delta \frac{w_0+y_0-c_0}{a-c_0},C = \delta \frac{a}{a-c_0} m~=A−Brw​~​−Cy1​~​A=δa−c0​a​−δa−c0​w0​+y0​−c0​​,B=δa−c0​w0​+y0​−c0​​,C=δa−c0​a​

那麼最終會得到

E [ r j ~ ] = r f + β j , w ′ λ w ′ + β j , y ′ λ y ′ E[\tilde{r_j}] = r_f + \beta_{j,w}'\lambda_w' + \beta_{j,y}'\lambda_y' E[rj​~​]=rf​+βj,w′​λw′​+βj,y′​λy′​

這樣，我們就把資産的期望回報率用一個兩因子的模型給表示了出來。現在，決定資産期望回報率的，既有資産回報率與市場總回報率之間的相關性，也有資産回報率與工資收入之間的相關性。

從以上的推演，我們可以看到多因子模型背後的直覺。所謂因子，實際上是會影響随機折現因子的不确定性來源。

因子一定會貢獻系統性風險(否則可以通過diversification來消除)

APT

在實踐中，以資産定價為目标的投資者往往并不是很關心因子有何經濟含義，而隻是在乎能否找到對資産回報率有解釋力的解釋變量來提升自己定價的精度。是以，多因子模型的理論根基其實是 Ross 提出的套利資産定價理論（APT）。

APT的核心思想：所有資産的期望回報率都由一組共同的因子所決定時，基于無套利的思想，不同資産的期望回報率之間會有某種線性關系；

推導多因子模型

符号記法：

• factor risk: 因子的系統性風險
• loading: 因子前的系數
• idiosyncratic risk： 與因子風險無關的剩餘風險, ϵ i ~ \tilde{\epsilon_i} ϵi​~​

單因子兩資産

單因子: f f f,将其标準化 E [ f ~ ] = 0 E[\tilde{f}]=0 E[f~​]=0,構造兩個資産

{ r i ~ = r i ˉ + β i f ~ r j ~ = r j ˉ + β j f ~ \begin{cases} \tilde{r_i} = \bar{r_i} + \beta_i \tilde{f} \\ \tilde{r_j} = \bar{r_j} + \beta_j \tilde{f} \\ \end{cases} {ri​~​=ri​ˉ​+βi​f~​rj​~​=rj​ˉ​+βj​f~​​

構造資産組合p:

r p ~ = w r i ~ + ( 1 − w ) r j ~ = w ( r i ˉ + β i f ~ ) + ( 1 − w ) ( r j ˉ + β j f ~ ) = [ w r i ˉ + ( 1 − w ) r j ˉ ] + [ w β i + ( 1 − w ) β j ] f ~ \begin{aligned} \tilde{r_p} &= w \tilde{r_i} + (1-w) \tilde{r_j} \\ &= w(\bar{r_i} + \beta_i \tilde{f}) + (1-w) (\bar{r_j} + \beta_j \tilde{f}) \\ &= [w\bar{r_i} + (1-w) \bar{r_j}] + [w\beta_i + (1-w) \beta_j] \tilde{f} \\ \end{aligned} rp​~​​=wri​~​+(1−w)rj​~​=w(ri​ˉ​+βi​f~​)+(1−w)(rj​ˉ​+βj​f~​)=[wri​ˉ​+(1−w)rj​ˉ​]+[wβi​+(1−w)βj​]f~​​

接下來分兩步

1. 找到 w 0 w_0 w0​使得 w β i + ( 1 − w ) β j = 0 ⇒ w 0 = β j β j − β i w\beta_i + (1-w) \beta_j=0\Rightarrow w_0=\frac{\beta_j}{\beta_j-\beta_i} wβi​+(1−w)βj​=0⇒w0​=βj​−βi​βj​​

   r ~ p 0 = β j r i ˉ − β i r j ˉ β j − β i = r f ⇒ r i ˉ − r f β i = r j ˉ − r f β j \tilde{r}_{p0} = \frac{\beta_j \bar{r_i} - \beta_i \bar{r_j}}{\beta_j - \beta_i} = r_f\\ \Rightarrow \frac{\bar{r_i}-r_f}{\beta_i} = \frac{\bar{r_j}-r_f}{\beta_j} \\ r~p0​=βj​−βi​βj​ri​ˉ​−βi​rj​ˉ​​=rf​⇒βi​ri​ˉ​−rf​​=βj​rj​ˉ​−rf​​

   則對任意一個資産,

   λ ≜ r i ˉ − r f β i ∀ i r i ˉ = r f + β i λ \lambda \triangleq \frac{\bar{r_i}-r_f}{\beta_i} \qquad \forall i \\ \bar{r_i} = r_f + \beta_i \lambda λ≜βi​ri​ˉ​−rf​​∀iri​ˉ​=rf​+βi​λ

   對于任意一個資産 i , j i,j i,j,

   λ = r i ˉ − r j ˉ β i − β j ( a b = c d = a + c b + d ) \lambda = \frac{\bar{r_i} - \bar{r_j}}{\beta_i - \beta_j} \qquad (\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}) λ=βi​−βj​ri​ˉ​−rj​ˉ​​(ba​=dc​=b+da+c​)

2. 找到 w 1 w_1 w1​，使得 w 1 β i + ( 1 − w 1 ) β j = 1 ⇒ w 1 = 1 − β j β i − β j w_1\beta_i + (1-w_1)\beta_j = 1\Rightarrow w_1=\frac{1-\beta_j}{\beta_i-\beta_j} w1​βi​+(1−w1​)βj​=1⇒w1​=βi​−βj​1−βj​​

   r ~ p 1 = [ 1 − β j β i − β j r i ˉ + ( 1 − 1 − β j β i − β j ) r j ˉ ] + f ~ = β i r j ˉ − β j r i ˉ β i − β j + r i ˉ − r j ˉ β i − β j + f ~ = r f + λ + f ~ \begin{aligned} \tilde{r}_{p1} &= [\frac{1-\beta_j}{\beta_i-\beta_j}\bar{r_i}+(1-\frac{1-\beta_j}{\beta_i-\beta_j})\bar{r_j}] + \tilde{f}\\ &= \frac{\beta_i\bar{r_j}-\beta_j\bar{r_i}}{\beta_i-\beta_j} + \frac{\bar{r_i}-\bar{r_j}}{\beta_i-\beta_j} + \tilde{f}\\ &=r_f + \lambda + \tilde{f}\\ \end{aligned} r~p1​​=[βi​−βj​1−βj​​ri​ˉ​+(1−βi​−βj​1−βj​​)rj​ˉ​]+f~​=βi​−βj​βi​rj​ˉ​−βj​ri​ˉ​​+βi​−βj​ri​ˉ​−rj​ˉ​​+f~​=rf​+λ+f~​​

   兩邊同時取期望

   r ˉ p 1 = r f + λ ⇒ λ = r ˉ p 1 − r f ( 表示 f a c t o r p r e m i u m ) λ = r i ˉ − r f β i = r ˉ p 1 − r f ⇒ r i ˉ − r f = β i ( r ˉ p 1 − r f ) \begin{aligned} \bar{r}_{p1} &= r_f + \lambda \\ \Rightarrow \lambda &= \bar{r}_{p1} - r_f \quad (表示factor \quad premium) \\ \lambda &= \frac{\bar{r_i}-r_f}{\beta_i} = \bar{r}_{p1} - r_f \\ \Rightarrow \bar{r_i}-r_f &=\beta_i(\bar{r}_{p1} - r_f) \end{aligned} rˉp1​⇒λλ⇒ri​ˉ​−rf​​=rf​+λ=rˉp1​−rf​(表示factorpremium)=βi​ri​ˉ​−rf​​=rˉp1​−rf​=βi​(rˉp1​−rf​)​

多因子多資産

假設有K個因子，N個資産

r i = r i ˉ + ∑ k = 1 K β i , k f k ~ + ϵ ~ i , i = 1 , … , N , N > K r_i = \bar{r_i} + \sum_{k=1}^K \beta_{i,k} \tilde{f_k} + \tilde{\epsilon}_i,i=1,\dots,N, N>K ri​=ri​ˉ​+k=1∑K​βi,k​fk​~​+ϵ~i​,i=1,…,N,N>K

假設 E [ f k ~ ] = 0 , E [ ϵ ~ i ] = 0 , E [ f k ~ 2 ] = 1 , E [ ϵ ~ i 2 ] = σ ϵ 2 < ∞ , E [ f ~ k f ~ k ′ ] = E [ ϵ ~ k ϵ ~ k ′ ] = E [ f ~ k ϵ ~ k ] = 0 E[\tilde{f_k}]=0,E[\tilde{\epsilon}_i]=0,E[\tilde{f_k}^2]=1,E[\tilde{\epsilon}_i^2]=\sigma_{\epsilon}^2<\infty,E[\tilde{f}_k\tilde{f}_{k'}]=E[\tilde{\epsilon}_k\tilde{\epsilon}_{k'}]=E[\tilde{f}_k\tilde{\epsilon}_{k}]=0 E[fk​~​]=0,E[ϵ~i​]=0,E[fk​~​2]=1,E[ϵ~i2​]=σϵ2​<∞,E[f~​k​f~​k′​]=E[ϵ~k​ϵ~k′​]=E[f~​k​ϵ~k​]=0,

r p ~ = ∑ i = 1 N w i r i ~ = ∑ i = 1 N w i r i ˉ + ∑ k = 1 K ( ∑ i = 1 N w i β i , k ) f k ~ + ∑ i = 1 N w i ϵ ~ i \tilde{r_p} = \sum_{i=1}^N w_i\tilde{r_i} = \sum_{i=1}^N w_i\bar{r_i} + \sum_{k=1}^K (\sum_{i=1}^Nw_i\beta_{i,k})\tilde{f_k} + \sum_{i=1}^N w_i \tilde{\epsilon}_i rp​~​=i=1∑N​wi​ri​~​=i=1∑N​wi​ri​ˉ​+k=1∑K​(i=1∑N​wi​βi,k​)fk​~​+i=1∑N​wi​ϵ~i​

1. 所有loading=0

   ( ∑ i = 1 N w i β i , k ) = 0 ∀ k , k = 1 , … , K (\sum_{i=1}^Nw_i\beta_{i,k}) = 0 \quad \forall k,k=1,\dots,K (i=1∑N​wi​βi,k​)=0∀k,k=1,…,K

   [ β 1 , 1 … β N , 1 ⋮ ⋱ ⋮ β 1 , K … β N , K ] K × N [ w 1 ⋮ w N ] N × 1 = [ 0 ⋮ 0 ] K × 1 \begin{bmatrix} \beta_{1,1} & \dots & \beta_{N,1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta_{1,K} & \dots & \beta_{N,K} \\ \end{bmatrix}_{K\times N } \begin{bmatrix} w_1\\ \vdots\\ w_N \end{bmatrix}_{N\times 1} = \begin{bmatrix} 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}_{K\times 1} ⎣ ⎡​β1,1​⋮β1,K​​…⋱…​βN,1​⋮βN,K​​⎦ ⎤​K×N​⎣ ⎡​w1​⋮wN​​⎦ ⎤​N×1​=⎣ ⎡​0⋮0​⎦ ⎤​K×1​

   因為 N > K N>K N>K，且 E [ f ~ k f ~ k ′ ] = 0 E[\tilde{f}_k\tilde{f}_{k'}]=0 E[f~​k​f~​k′​]=0,因子間互相獨立，是以系數矩陣滿秩，是以方程組有解; 接下來繼續分析 r p 0 ~ \tilde{r_{p0}} rp0​~​

   r p 0 ~ = ∑ i = 1 N w i r i ˉ + ∑ i = 1 N w i ϵ ~ i ( w i 是各個 β 的函數 ) \tilde{r_{p0}} = \sum_{i=1}^N w_i\bar{r_i} + \sum_{i=1}^N w_i \tilde{\epsilon}_i \quad (w_i是各個\beta的函數) rp0​~​=i=1∑N​wi​ri​ˉ​+i=1∑N​wi​ϵ~i​(wi​是各個β的函數)

   兩邊同時取方差

   σ 2 ( r p 0 ~ ) = ( ∑ i = 1 N w i 2 ) σ ϵ 2 \sigma^2(\tilde{r_{p0}}) = (\sum_{i=1}^N w_i^2)\sigma_{\epsilon}^2 σ2(rp0​~​)=(i=1∑N​wi2​)σϵ2​

   當資産的數量N很大的時候，每個權重就大概為 1 N \frac{1}{N} N1​,是以， σ 2 ( r p ~ ) \sigma^2(\tilde{r_p}) σ2(rp​~​)的數量級就為

   ( 1 N ) 2 × N × σ ϵ 2 = σ ϵ 2 N (\frac{1}{N})^2 \times N \times \sigma_{\epsilon}^2 = \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{N} (N1​)2×N×σϵ2​=Nσϵ2​​

   當 N → ∞ , σ 2 ( r p 0 ~ ) → 0 , r p 0 N\to \infty,\sigma^2(\tilde{r_{p0}}) \to 0,r_{p0} N→∞,σ2(rp0​~​)→0,rp0​就是無風險組合

   r p 0 ~ ≈ ∑ i = 1 N w i r i ˉ = r f \tilde{r_{p0}} \approx \sum_{i=1}^N w_i\bar{r_i} = r_f rp0​~​≈i=1∑N​wi​ri​ˉ​=rf​

2. 對K個因子，各個因子的loading=1進行建構,就能得到 λ k \lambda_k λk​(表示第k個因子的因子溢價)

進而得到一般情況下的APT

r i ˉ = r f + ∑ k = 1 K β i , k λ k \bar{r_i} = r_f + \sum_{k=1}^K \beta_{i,k}\lambda_k ri​ˉ​=rf​+k=1∑K​βi,k​λk​

APT的應用

α , β \alpha,\beta α,β分離

構造如下APT模型

r ~ 0 − r f = α 0 + ∑ n = 1 N β 0 , n r ~ n + ϵ ^ 0 \tilde{r}_0 - r_f = \alpha_0 + \sum_{n=1}^N \beta_{0,n}\tilde{r}_n + \hat{\epsilon}_0 r~0​−rf​=α0​+n=1∑N​β0,n​r~n​+ϵ^0​

r ~ 0 \tilde{r}_0 r~0​表示0這個資産組合，可以用另一個資産組合的收益 ∑ n = 1 N β 0 , n r ~ n \sum_{n=1}^N \beta_{0,n}\tilde{r}_n ∑n=1N​β0,n​r~n​來表示;

那麼隻需要買入0，賣出 ∑ n = 1 N β 0 , n r ~ n \sum_{n=1}^N \beta_{0,n}\tilde{r}_n ∑n=1N​β0,n​r~n​這個資産組合就能對沖掉因子所形成的系統性風險，得到了一個 α 0 + ϵ ^ 0 \alpha_0 + \hat{\epsilon}_0 α0​+ϵ^0​

因子選股

在實踐中，多因子模型經常被用來篩選投資标的，最常見的是用來選股。一個因子代表了一個對股票期望回報率有解釋力的因素。如果這種解釋力很強，那麼用因子來給所有股票從好到壞排個序，買入排在前面的股票（賣出排在後面的股票），就應該能獲得不錯的回報。

統計套利

統計套利不等于無風險套利，統計套利，則是利用統計分析工具來找出互相聯系的資産價格之間長期穩定的數量關系。當觀測到現實價格資料大幅偏離這種長期穩定關系時，進行相應的操作來賭這種偏離會消失。是以統計套利不是無風險的。因為我們無法保證過去穩定的數量關系在未來不會破裂。一旦這種數量關系破裂了，那麼下注來賭偏離會消失就會虧掉不少錢。

可以計算各隻股票過去一段時間的實際回報率。如果有股票實際回報率超過期望回報率，就說明它前段時間股價漲得太快了，有理由預期它接下來一段時間的股價漲幅會慢一些。