最小生成樹

文章目錄

• 定義
• 解決問題類型
• 基本算法
• • 1、Prime算法---“加點法”
  • 2、Kruskal算法---“加邊法”
• 代碼（2個）：

定義

給定一張圖，圖中有許多的節點還有許多長度不同的邊将這些點點互相連接配接（連通網），找出連接配接所有點的最短方式就是最小生成樹，可以證明，這樣一種最小的情況是不會出現環的，由于所有的無環圖都可以看作樹，是以成為最小生成樹。

解決問題類型

因為是求最小的，一般是修路問題（代價最小且連接配接所有點）。

基本算法

1、Prime算法—“加點法”

主要步驟：

1.将圖儲存鄰接矩陣之中（便于通路是否鄰接）；

2.任選一點作為起始點；

3.将此點加入到已确定點集之中；

4.依此點為原點，更新與之相關聯的節點到點集的距離（最小）；

5. 選中剩餘點中距離點集最近的點，加入點集，并以其為原點更新和他相鄰接的點的距離；

6. 循環，直到點集中有n個點為止。

圖形表示：以下來源為這位大大（通俗易懂）

原圖為：

1.首先先找一個點，把這個點看成一個集合

2.找與這個點最近的一個點，也就是找與這個集合最近的一個點，由圖可知與1點相鄰的有2，3，4三個點，但最近的是2點，并且2點沒在已選的集合中，是以把2點加到已選的集合中。

3.現在1和2是在已選的集合中，然後再找與已選集合最近的點，其中相鄰的有3，4，5三個點，但最近的隻有點4，是以把4點加到已選集合中。

4.然後再找與已選集合最近的點，以此類推下個點為3

6.再下個點為6

7.最後一個點為5，選完所有點後結束

（經過六個圖形描述，最後一個自己動手畫吧~~~）

2、Kruskal算法—“加邊法”

算法思路：

（1）将圖中的所有邊都去掉。

（2）将邊按權值從小到大的順序添加到圖中，保證添加的過程中不會形成環

（3）重複上一步直到連接配接所有頂點，此時就生成了最小生成樹。這是一種貪心政策。

主要步驟：

1.将圖儲存在臨接矩陣之中（便于通路是否鄰接）；

2先把所有的路徑進行排序；

3.先選一天路徑最小的邊然後判斷這兩個點是否在同一個集合中，如果沒有就把這兩個點加到一個集合中；

4.然後依次找路徑最小的邊，并判斷這條邊上的兩個點是否在同一個集合中，如果沒在同一個集合中且這兩個點沒有都被标記過，就把這兩個點合到同一個集合中；

5.循環來找，直到點找完為止。

圖形表示：

代碼（2個）：

/************************************************************************
CSDN 勿在浮沙築高台 http://blog.csdn.net/luoshixian099算法導論--最小生成樹（Prim、Kruskal）2016年7月14日
************************************************************************/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INFINITE 0xFFFFFFFF   
#define VertexData unsigned int  //頂點資料
#define UINT  unsigned int
#define vexCounts 6  //頂點數量
char vextex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' };
struct node 
{
    VertexData data;
    unsigned int lowestcost;
}closedge[vexCounts]; //Prim算法中的輔助資訊
typedef struct 
{
    VertexData u;
    VertexData v;
    unsigned int cost;  //邊的代價
}Arc;  //原始圖的邊資訊
void AdjMatrix(unsigned int adjMat[][vexCounts])  //鄰接矩陣表示法
{
    for (int i = 0; i < vexCounts; i++)   //初始化鄰接矩陣
        for (int j = 0; j < vexCounts; j++)
        {
            adjMat[i][j] = INFINITE;
        }
    adjMat[0][1] = 6; adjMat[0][2] = 1; adjMat[0][3] = 5;
    adjMat[1][0] = 6; adjMat[1][2] = 5; adjMat[1][4] = 3;
    adjMat[2][0] = 1; adjMat[2][1] = 5; adjMat[2][3] = 5; adjMat[2][4] = 6; adjMat[2][5] = 4;
    adjMat[3][0] = 5; adjMat[3][2] = 5; adjMat[3][5] = 2;
    adjMat[4][1] = 3; adjMat[4][2] = 6; adjMat[4][5] = 6;
    adjMat[5][2] = 4; adjMat[5][3] = 2; adjMat[5][4] = 6;
}
int Minmum(struct node * closedge)  //傳回最小代價邊
{
    unsigned int min = INFINITE;
    int index = -1;
    for (int i = 0; i < vexCounts;i++)
    {
        if (closedge[i].lowestcost < min && closedge[i].lowestcost !=0)
        {
            min = closedge[i].lowestcost;
            index = i;
        }
    }
    return index;
}
void MiniSpanTree_Prim(unsigned int adjMat[][vexCounts], VertexData s)
{
    for (int i = 0; i < vexCounts;i++)
    {
        closedge[i].lowestcost = INFINITE;
    }      
    closedge[s].data = s;      //從頂點s開始
    closedge[s].lowestcost = 0;
    for (int i = 0; i < vexCounts;i++)  //初始化輔助數組
    {
        if (i != s)
        {
            closedge[i].data = s;
            closedge[i].lowestcost = adjMat[s][i];
        }
    }
    for (int e = 1; e <= vexCounts -1; e++)  //n-1條邊時退出
    {
        int k = Minmum(closedge);  //選擇最小代價邊
        cout << vextex[closedge[k].data] << "--" << vextex[k] << endl;//加入到最小生成樹
        closedge[k].lowestcost = 0; //代價置為0
        for (int i = 0; i < vexCounts;i++)  //更新v中頂點最小代價邊資訊
        {
            if ( adjMat[k][i] < closedge[i].lowestcost)
            {
                closedge[i].data = k;
                closedge[i].lowestcost = adjMat[k][i];
            }
        }
    }
}
void ReadArc(unsigned int  adjMat[][vexCounts],vector<Arc> &vertexArc) //儲存圖的邊代價資訊
{
    Arc * temp = NULL;
    for (unsigned int i = 0; i < vexCounts;i++)
    {
        for (unsigned int j = 0; j < i; j++)
        {
            if (adjMat[i][j]!=INFINITE)
            {
                temp = new Arc;
                temp->u = i;
                temp->v = j;
                temp->cost = adjMat[i][j];
                vertexArc.push_back(*temp);
            }
        }
    }
}
bool compare(Arc  A, Arc  B)
{
    return A.cost < B.cost ? true : false;
}
bool FindTree(VertexData u, VertexData v,vector<vector<VertexData> > &Tree)
{
    unsigned int index_u = INFINITE;
    unsigned int index_v = INFINITE;
    for (unsigned int i = 0; i < Tree.size();i++)  //檢查u,v分别屬于哪顆樹
    {
        if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), u) != Tree[i].end())
            index_u = i;
        if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), v) != Tree[i].end())
            index_v = i;
    }
 
    if (index_u != index_v)   //u,v不在一顆樹上，合并兩顆樹
    {
        for (unsigned int i = 0; i < Tree[index_v].size();i++)
        {
            Tree[index_u].push_back(Tree[index_v][i]);
        }
        Tree[index_v].clear();
        return true;
    }
    return false;
}
void MiniSpanTree_Kruskal(unsigned int adjMat[][vexCounts])
{
    vector<Arc> vertexArc;
    ReadArc(adjMat, vertexArc);//讀取邊資訊
    sort(vertexArc.begin(), vertexArc.end(), compare);//邊按從小到大排序
    vector<vector<VertexData> > Tree(vexCounts); //6棵獨立樹
    for (unsigned int i = 0; i < vexCounts; i++)
    {
        Tree[i].push_back(i);  //初始化6棵獨立樹的資訊
    }
    for (unsigned int i = 0; i < vertexArc.size(); i++)//依次從小到大取最小代價邊
    {
        VertexData u = vertexArc[i].u;  
        VertexData v = vertexArc[i].v;
        if (FindTree(u, v, Tree))//檢查此邊的兩個頂點是否在一顆樹内
        {
            cout << vextex[u] << "---" << vextex[v] << endl;//把此邊加入到最小生成樹中
        }   
    }
}
 
int main()
{
    unsigned int  adjMat[vexCounts][vexCounts] = { 0 };
    AdjMatrix(adjMat);   //鄰接矩陣
    cout << "Prim :" << endl;
    MiniSpanTree_Prim(adjMat,0); //Prim算法，從頂點0開始.
    cout << "-------------" << endl << "Kruskal:" << endl;
    MiniSpanTree_Kruskal(adjMat);//Kruskal算法
    return 0;
}