資料積分-牛頓科茨法與高斯勒讓德法對比及示例

在結點x i上插值f的次數最多是n次的多項式 p(x)=∑f(x i)l i(x) 拉格朗日插值多項式: l i(x)= ∏(x-x j)/(x i-x j)   基于插值的數值積分： ∫f(x)dx≈∫p(x)dx=∑f(x i)  ∫li(x) dx =∑Aif(xi) 當 結點等距即為牛頓 -科茨公式   例：設插值多項式是2次，積分區間[0,1],設f(x) ≈p(x)=c 0+c 1x+c 2x 2 求牛頓-科茨積分公式。 n=2;結點(0,1/2,1) 對結點0,1/2,1的三個基本多項式是: l 0=(x-1/2)(x-1)/((0-1/2)(0-1))=2(x-1/2)(x-1) l 1=-4 x(x-1) l 2=2 x(x-1/2) 則A 0= ∫l0(x)=1/6； A 1= ∫l1(x)=2/3； A 2= ∫l2(x)=1/6 是以：∫f(x)dx≈ 1/6 f(0)+2/3 f(1/2)+1/6 f(1)   也可以用 待定系數法求解 設∫f(x)dx≈ A0 f(0)+ A1 f(1/2)+ A2 f(1) 它對于所有次數 ≤2 的多項式是精确成立的。 依次把多項式f(x)=1,x,x 2作為試用函數，得到 1=∫f(x)dx=∫1dx=  A0+ A1 + A2 1/2=∫f(x)dx=∫xdx=  1/2 A1 + A2 1/3=∫f(x)dx=∫x 2dx=  1/4 A1 + A2 這三個方程的聯立方程組的解是： A 0=1/6； A 1=2/3； A 2=1/6 因為公式是線性的，是以對任何二次多項式 f(x) =c0+c1x+c2x2 ，它将産生積分的精确值。   高斯求積公式 ω(x) 為給定的正的權函數的積分公式： ∫f(x)ω(x)dx≈∑ Aif(xi) Ai= ∫ω(x)li(x) dx  = ∫ω(x) ∏(x-xj)/(xi-xj) dx 如果預先限制結點x i，如上述拉格朗日插值積分及牛頓科茨積分， 可以找到次數 ≤n的多項式是精确成立的求積公式； 如果 不限制結點，因為有n+1個系數A i和n+1個結點x i， 則可以找到次數 ≤2n+1的多項式是精确成立的求積公式； 高斯求積定理： 設 ω是正的權函數，q是一個n+1次非零多項式并且與∏ n是 ω 正交的，也就是對 任意 pє∏n （ n 階多項式空間），都有 ∫q(x) p(x)ω(x) dx=0 若x 0,x 1,…,x n是q的零點，則具有 Ai= ∫ω(x) ∏(x-xj)/(xi-xj) dx 公式中給定系數 Ai的求積公式 ∫f(x)ω(x)dx≈∑ Aif(xi) 對于所有 fє∏2n+1是精确成立的。   也就是說：與 ∏n關于 ω正交的n+1次非零多項式的零點x 0,x 1,…,x n作為積分結點的話，可以找到次數 ≤2n+1的多項式是精确成立的求積公式  ∫f(x)ω(x)dx≈∑Aif(xi) f(x)= c 0+c 1x+c 2x 2+...+c 2n+1x 2n+1 積分結點x 0,x 1,…,x n叫做 高斯點。   權函數 ω(x)=0 是一種特别重要的情況，這時，如果積分區間取[-1,1]，則高斯積分公式變為 ∫-1 1 f(x) dx≈∑0 n Aif(xi) 以高斯點為零點的n+1次多項式q n+1(x)=(x- x 0) (x- x 1)… (x- x n) 稱為 勒讓德(Legendre)多項式

高斯-勒讓德積分，對2個高斯點，2階勒讓德多項式來說，q 2(x)=1/2(3x 2-1);  n=1 2個高斯點為：√3/3，-√3/3 是以 ∫-1 1 f(x) dx≈∑0 n Aif(xi)= A0f(√3/3 )+ A1f(-√3/3)   例; 設插值多項式是2n+1=3次，積分區間 [-1,1],設f(x) ≈p(x)=c 0+c 1x+c 2x 2+c 3x 3 求高斯-勒讓德積分公式。 采用 待定系數法求解 設∫f(x)dx≈ A0 f(-√3/3)+  A1 f(√3/3) 它對于所有次數 ≤3 的多項式是精确成立的。 依次把多項式f(x)=1,x作為試用函數，得到 2=∫f(x)dx=∫1dx=  A0+ A1 0=∫f(x)dx=∫xdx=  -√3/3  A0 +√3/3  A0 這三個方程的聯立方程組的解是： A 0=1； A 1=1 是以兩點高斯-勒讓德積分公式為： ∫-1 1 f(x)dx≈f(-√3/3)+  f(√3/3)   分别令f(x)=x 2, x 3, x 4 f(x)=x 2 時， ∫-1 1 f(x)dx=2/3；f(-√3/3)+  f(√3/3)=2/3  精确成立 f(x)=x 3 時， ∫-1 1 f(x)dx=0；f(-√3/3)+  f(√3/3)=0      精确成立 f(x)=x 4 時， ∫-1 1 f(x)dx=2/5；f(-√3/3)+  f(√3/3)=2/9  不精确成立 驗證了兩點高斯-勒讓德積分公式對 次數 ≤3 的多項式是精确成立的。