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客名君按：近期數學有點火，阿裡數學競賽，相關網文如潮水。4月30日，丘成桐院士在華中科技大學的講座中提到：中國現今數學還沒有達到上世紀40年代的水準。這句話也讓很多人覺得意難平，但如果看了丘成桐院士所回憶的在青年時期伯克利數學系讀博士和普林斯頓高研院任博士後期間的接觸的頂尖數學人物，就會覺得這句話可能還是說保守了呢。
2024年4月30日丘院士在華中科技大學的發言，振聾發聩
數學的确沒什麼好說的，友情會不對，愛情會崩潰，唯有數學不會，數學不會就是不會。在客名君看來，數學是一門特别接近天道的學科，因其具有神奇的抽象性和普适性。什麼樣的孩子會被數學和天道所垂愛呢？
客家數學家中，在世界上最富盛名的客家籍數學家就是丘成桐院士了。在當今數學界，若論研究之廣、影響之大、學生之多，幾乎沒有人能與這位華裔數學家相比。丘成桐囊括了維布倫Veblen幾何獎(1981，32歲)、菲爾茲獎Fields Medal(1982)、麥克阿瑟獎(1985) 、克拉福德獎Crawford(1994)、美國國家科學獎(1997)、沃爾夫數學獎(2010) 、馬塞爾·格羅斯曼獎(2018)等獎項 。他是第一位獲得國際數學界最高獎項菲爾茲獎的華人，也是繼陳省身後第二位獲得沃爾夫數學獎的華人。
丘院士現任：香港中文大學博文講座教授（2003）兼數學科學研究所所長（1987） 、清華大學丘成桐數學科學中心主任、求真書院院長、北京雁栖湖應用數學研究院院長、清華大學講席教授 。1969年畢業于香港中文大學崇基學院數學系；1971年獲得加州大學伯克利分校數學博士(師從陳省身)；1974-1987年任斯坦福大學、普林斯頓高等研究院、加州大學聖地亞哥分校數學教授；1987年起任哈佛大學講座教授，2013年起任哈佛大學實體系教授（他是哈佛兼任數學、實體教授的第一人） 。2022年從哈佛退休，擔任清華大學講席教授。
丘成桐證明了卡拉比猜想Calabi Conjecture（27歲）、正品質猜想等，是幾何分析學科的創始者 ，以他的名字命名的卡拉比-丘流形，是實體學中弦理論的基本概念，對微分幾何和數學實體的發展做出了重要貢獻，是微分幾何的世界領軍數學家。
本篇寫一寫數學家丘成桐院士當年是怎樣對數學發生興趣并走上數學道路的，依據是丘院士的傳記和回憶文章。
整個過程似乎是偶然，因為寒門、遷徙、颠沛構成了這個客家子弟青少年生活的主要底色；但又蘊含了必然，崇文重教的教授父親，對數學的探索進階，一系列的良師益友，鋪就了他那條少有人走的數學之道。
丘成桐的父親丘鎮英生于文福鎮白湖村東面的羊岃村的福壽堂。明成化年間（1464-1487），八世祖惟述丘公開基建業，迄今500餘年。
蕉嶺過去叫鎮平，山多地少，謀生困難，近期洪水過後處處瘡痍，可見此地環境對生存之不易。
正因生存不易，曆史上蕉嶺教育發達，弦歌不絕，人才輩出，尤其是清末民國以降，丘逢甲、謝晉元、塗思宗、黃開祿等都來自蕉嶺。
蕉嶺丘成桐祖居
他們和丘成桐的父親丘鎮英一樣，腳踏在蕉嶺的黃泥地上，卻從小小年紀就開始仰望天空，重溫重教，愛國愛族，像中國式柏拉圖那樣思考國家的未來，然後将自己的未來投入其中。
丘鎮英也是一位人品正直、學術卓越的哲學教授。丘鎮英小時候因為家貧，沒錢買紙張，就到寺廟撿拜神用的紙來寫字。
他五歲就能背論語和孟子的篇章，七歲進新學，十八歲考入軍校，不久因健康問題退學，後來到早稻田大學留學，二十二歲拿到碩士學位。
邱鎮英是一位令人欽敬的文史哲教授，教過曆史、哲學、文學等多門學科。三十出頭就在廈門大學教授哲學和曆史，二戰後還替聯合國救濟總署工作。
丘成桐的母親梁若琳出身名門，是梅縣名儒梁伯聰的女兒，梁伯聰是畫壇巨匠林風眠的書畫老師。梁若琳成績也很好，但因傳統和戰争的原因，中學畢業後就沒有再讀了。
丘成桐于1949年4月4日出生于汕頭，當時丘鎮英在汕頭工作。同年，丘鎮英帶一家老小遷到香港，到香港時，積蓄所剩無幾。
而他要養活全家十六口人，包括夫妻二人和丘成桐八個兄弟姐妹，一個收養的姐姐，以及梁若琳的母親、兄弟姐妹七口人。
丘鎮英起早貪黑為工作奔波，身兼數個臨時教職，母親做針線活貼補家用，非常艱難地供養整個家庭，偶爾也要向人借錢。這些收入常常入不敷出，孩子們衣衫單薄、營養不良是常事。
丘成桐五歲開始上學，從家裡到學校來回要步行一個小時，非常累人。他三年級之前都很調皮且不愛上學，但很喜歡父親給他講的詩詞、曆史、哲學。從父親的講授中，他學懂了必須了解問題的曆史背景，“總結過去，足以為未來提供線索”。
父親時常督促丘成桐和兄弟們勤練書法，要求他們念唐詩、宋詞，背誦古文，讀馮友蘭、熊十力、唐君毅等哲學家的著作。後來，丘成桐回憶稱，父親要求的這些文章，到現在已經成為他做學問和做人的态度。這些看似與學術研究沒有聯系，但其中所蘊含的思想都潛移默化地對學術研究産生了深刻的影響。學校讀書，他對老師教範仲淹的作品，也印象很深。後來丘成桐自己對兩個兒子，也很少輔導數學，他經常給兒子上文化課國文課。
盡管調皮貪玩，五年級時，丘成桐的學習成績就躍升全級第二，但六年級他又差點荒廢了學業。國中他考取了免學費的香港培正中學（成立于1899年），後來他的校友中出現了諾貝爾實體獎獲得者崔琦、知名數學家蕭蔭堂、港科大系主任鄭紹遠。
丘成桐與父親
培正的數學老師水準比較高，父親丘鎮英作為哲學家也非常欣賞數學，常常鼓勵丘成桐，這些因素，丘成桐對數學的興趣越來越濃厚。
初一的數學對他沒有挑戰性，初二的老師梁君偉則讓他初嘗數學之美。梁老師教歐氏幾何，從五條簡單公設出發，證明了很多定理，這讓他驚奇不已。
他開始日夜冥思苦想一些幾何問題，比如他自己提出一個問題：隻能用直尺和圓規，給出三角形的一邊、一角、中線長度或分角線的長度，可否唯一作出這個三角形？
每周六放學，他會在九龍的書店看數學書，後來才發現自己所提的問題跟幾百年前數學家提的經典老難題類似。
丘成桐衣着陳舊單薄，帶母親做的飯菜當午餐，身子瘦削、臉色蒼白，常常被同學嘲笑和捉弄。體育和音樂成績也不好，頭發還老豎起來，一些老師也不喜歡他，這些是讓少年不舒服的，但他不太在意，似乎對這些鈍感得很。有時候被惹煩了，他就用數學這個長闆去幫助那些捉弄他的同學，後來漸漸獲得同學好感。
初二他的中文老師潘燕霞老師跟他溝通後，發現他衣衫單薄、營養不佳，就送奶粉和其他食物給他補身體。他被老師感動，決心不讓老師失望，開始努力學習。
但是當他初三的時候，姐姐成瑚染病去世。同一年在香江書院擔任哲學、中史、中文部系主任的父親丘鎮英又因為校上司的腐敗而辭職，同時他在香港中文大學崇基書院的教席也不保。當時崇基院長淩道揚受到人事傾軋被迫辭職（也是客家人。香港中文大學締造者之一），而丘鎮英是淩院長的親信。
淩道揚（1888-1993）
一連串的打擊讓丘鎮英的收入劇減，心情抑郁，很快病倒，不久後竟猝然離世。家庭支柱倒了，這場巨變讓丘成桐一家陷入困境，沒有了收入，房租拖欠。
父親猝逝後，十四歲的丘成桐一改過去的懶散，認定讓學業有成是唯一的出路，決心在學術上闖出名堂。他心底忽然升起了強烈的欲望，要讓天上的父親以自己為榮。
丘鎮英教孩子們要正直，做人要努力，凡事從正面看。他說：生命中除物質欲望外，還有很多值得追求的東西。
丘成桐他背起父親教的很多詩詞，療愈悲傷，度過艱難的日子。他開始讀父親書架上艱深的哲學書，希望從中了解父親思考的内容，體會他思維的痕迹，進而得到慰藉。
家底豐厚、開了天主教學校的大舅提出讓他們辍學去他農場打工，幫他養鴨子。此舉被丘成桐的母親梁若琳拒絕。她期望孩子們按照父親的意願，好好讀書，成就學問。她不懼艱難地籌措經費，讓孩子們繼續上學。她自己多年營養不良，貧血，卻竭力讓孩子們吃飽。
邱鎮英的後事是淩道揚、錢穆、張發奎等幫助辦理的。在英國留學的大姐是在報紙上看到父親去世的消息的。
母親梁若琳當時隻有43歲，體弱多病的她憑借隐忍和毅力獨自扛起養育八個子女的重擔。
父親的葬禮過後，母親帶着全家搬到一處便宜之地，旁邊有個豬圈。不僅臭，而且離學校更遠，要先走一個多小時再坐很久的火車。所幸他父親的學生李錦镕在培正附近開了一間國小，讓丘成桐留宿。
丘成桐得以兩周回一次家，也會幫着管一管國小生。每晚他就睡在教室裡，躺在一張狹長的課桌上，把課桌當床，同層還有個廁所十分熏人，他也隻好忍受。幾十年後他還記得那廁所牆上寫着：甯欺白須公，莫欺少年窮。
因為不用走遠路，而且來找他的人不多，是以他下學後有充裕的時間讀書，然後一個人睡在空蕩蕩的教室課桌上度過長夜，如此過了一年多。
後來姐姐成瑤放棄了大學機會，賺錢養家。丘成桐自己也開始當家教補貼家用。在一家人的努力和一些父親學生的幫助下，他們才得以離開“豬屋”，在沙田找了一塊有溪水的地方，建了個一房一廳的小家，供一家七人住。這個小家沒電沒水，偶有毒蛇出沒，但是離學校近，丘成桐終于可以和家人住一起了，母親還可以在周圍養雞鴨和種菜。
從1964年開始，十五歲的丘成桐開始給人補習數學貼補家用。他用完全獨特的方法給僅比自己小幾歲的孩子補習數學，幫助一個六年級孩子在不到一個月時間内就從數學測驗不及格提升到滿分。他在補習講解的過程中，為了讓學生更容易了解，自己必須了解得更深，不經意間用了費曼學習法了。
他要給人補習，自己也要學業優異。高一的時候，他讀了華羅庚的幾本數論，這讓他步入高等數學殿堂并大開眼界。這幾本書讓他在父親走後的絕望和空虛中看到了方向，感覺到數學的召喚。
高二開始學習微積分，牛頓和萊布尼茲350年前的方法，還是數學和實體的主要工具，這讓丘成桐内心贊歎。
他受到講師埃爾默·布羅迪的啟發，對泛函分析産生興趣，看了不少泛函的著作，還寫信給賓夕法尼亞大學的卡迪森和MIT的西格爾，向他們要論文的影印本。這個十幾歲的高中生，後來才知道這些都是世界數學界的權威人物。多年後，丘成桐和他們成了好朋友。
高三，丘成桐一邊給父親的學生李伯榮的侄兒補習，一邊考上了香港中文大學。校長李卓敏是加州伯克利分校畢業的。丘成桐選擇了其中父親任教過的崇基書院并于1966年入學，哥哥成煜也在此就讀。
大一的數學課對他來說太簡單，被系裡允許隻考試不上課。他就騰出時間來學更艱深的課程，線代和高微。高微老師周慶麟是紐約大學柯郎數學研究所碩士，英國數學博士。
丘成桐就在周慶麟的課上學了狄德金分割法。狄德金是高斯的弟子，與黎曼同時代。狄德金的方法，可以從國小生都熟悉的整數開始，構造出有理數和無理數等所有實數。這方法的神奇，讓丘成桐激動不已。
他給老師周慶麟寫信表示對數學的激賞，說：“我終于了解數學之美了！”這又讓周老師非常欣賞，兩人常常交流數學。在崇基，丘成桐還修了中英日文和實體、哲學。哲學中的立身處世讓他十分受益。
校長李卓敏從母校伯克利引來了幾位年輕數學學者到崇基書院任教。其中一位是薩拉夫教授，習慣用美式風格講微積分，鼓勵學生在課堂上提問和讨論，随性而自然。有時候老師會卡殼，這時候丘成桐就出手相助。
後來丘成桐還幫着薩拉夫老師準備講義或者幫着上課。老師還讓他整理講義并合作寫了一本教材。此時丘成桐還是個17歲的少年。在寫書的過程中，丘成桐讀遍了參考書目中所有數學文獻！
1968年，大一時丘成桐在崇基書院給教授們教太極拳
這期間丘成桐主要靠獎學金上大學。但是因為當時他中文成績平平，是以獎學金隻有别人的一半，知道他家境的薩拉夫教授為他打抱不平 。而崇基體育部的盧惠卿老師給他提議了賺錢的另一方法——給校内外教教太極拳。于是這個數學天才開啟了這一傳統的技能點，輕松賺了點零花錢。
大二時，丘成桐修了聯合書院所請劍橋大學奈特教授的代數課，非常精彩。課程結束後，奈特還把自己博士論文的原稿送給了丘成桐。
周慶麟、薩拉夫、奈特都認為丘成桐是數學天才。但丘成桐從不喜歡天才這個詞，認為解決數學難題要艱辛的努力，沒有捷徑方式可以走。至于像《心靈捕手》MIT清潔工那樣丢開掃帚就解決數學難題，他是沒見過的。至于怎樣才算天才，思考這個問題根本沒有意思。
基于丘成桐的表現，當時崇基、聯合、新亞三家書院的數學系成立了一個委員會，向李卓敏校長建議，讓丘成桐提早畢業。李校長讓他拜訪當時香港最有名的數學家——港大的黃用陬教授，以作是否天才的評定。黃教授展示了他正在演算的格拉斯曼流形，但丘成桐對此不感興趣。最終校方就沒有讓丘成桐提前畢業。
丘成桐并不糾結于此，卻在三年内完成了四年所有科目要求。1969年，在薩拉夫教授的争取下，校方最終給了大三的丘成桐一張文憑，卻沒給大學學位證書。
薩拉夫教授和丘成桐研究了華羅庚沒有學位卻在數學界創出名堂的故事。丘成桐深為感動。
又是薩拉夫教授，建議丘成桐到他的母校伯克利數學系念博士，還引薦了該系老師薩拉森，還為丘成桐争取了豐厚的獎學金。伯克利為這位大三肄業的中國學生破格敞開了懷抱。
丘成桐後來回憶這關鍵的人生節點，對薩拉夫、薩爾森和當時伯克利小林昭七教授、陳省身教授等這幾位貴人都十分感恩。
母親也為丘成桐赴美深造感到高興。但是這一年，丘成桐的哥哥成煜得了腦瘤，母親一個人留下來照顧成煜。丘成桐雖然很不忍心離開母親和兄長，但他“強烈地感到必須掙紮成名”，必須抓住這個千載難逢的學習機會，去迎接即将到來的挑戰。他向母親保證，會定時寫家書，并每月寄錢回家。
1969年9月初，20歲的丘成桐飛往美國，滿懷對數學之旅的憧憬。他隻帶了一個行李箱，多年購買的數學書都留給了弟弟成棟，後來弟弟成棟也入讀崇基，後來也成了一位有成就的學者。丘成棟1952年生于香港，後來任美國伊利諾伊大學芝加哥分校數學、統計和計算機科學系特聘教授，該校資訊控制實驗室主任，IEEE Fellow，國際頂尖數學專業雜志《Journal of Algebraic Geometry》創始人與主編、《Communications in Information and Systems》創始人與主編。
到了伯克利，丘成桐把每月的獎學金一半都寄給了母親。每天早上七點起床，吃完飯就整天待在數學樓課室、圖書館或者講堂。每天隻讀不玩。因為他發現伯克利的數學系課程豐富、浩瀚，相較之下，小小的香港崇基書院就像個小水塘。
他渴望追回損失的時間，每天争分奪秒地投入伯克利的數學海洋。有趣的是，也許受父親的影響，他内心中将孔子當作一位老師，感覺這位老師總會看着他的學業表現是否滿意。
他按照孔子說的那樣艱苦攻讀：“吾嘗終日不食，終夜不寝，以思，無益，不如學也”。屈原是他父親最喜歡的詩人，他以屈原的詩激勵自己：路漫漫其修遠兮，吾将上下而求索。
伯克利藏龍卧虎，同學中有很多明日之星。丘成桐如饑似渴地一頭紮進伯克利的數學海洋，讀書、上課、參加研讨班。“像一個餓得半死的人，突然面對随便吃喝的自助餐，我一概鲸吞。這樣做一方面是出于渴望，一方面能力也容許。”
數學成了他唯一的焦點。他常常連吃午飯的時間也省了，拿着三明治吃完又聽課了。
丘成桐在伯克利第一個學期修了斯帕尼爾的代數拓撲學、勞森的微分幾何學、莫裡的微分方程，還旁聽了代數、數論、群論、動力系統、自守型和泛函分析等課程。
代數拓撲學把拓撲問題化為代數問題，對他是全新的東西。他一開始在課堂上有點緊張，主要聽其他同學踴躍發言。他趕緊在幾個星期内把教授寫的課本讀了，發現原來好些同學發言都是在吹牛。
勞森的課程啟發了他對幾何學的興趣。到了伯克利，他對數學的觀感完全跟高中時不一樣了，原來打算研習抽象的泛函分析中的算子代數之類，後來發現幾何中呈現了完美的結構，從中可以看到數學和自然的融合，并且可以将結構畫出來。
他對幾何的興趣越來越濃厚，同時深受莫裡的微分方程課影響。莫裡教授的講義非常難，還要求學生作報告，很多同學都啃不動。丘成桐卻覺得微分方程非常有用，因為實體學的主要定律都是以偏微分方程呈現出來。他十分用功地啃這門課程，獲益良多。
他認為，幾何和拓撲一個描述局部曲率，即局部的幾何和空間精準形狀，一個描述宏觀，同一空間的概括形狀；它們長期被認為兩個學科，卻其實可以用來描繪同一個實體，不應該割裂。他腦海中開始隐隐浮現一個念頭，想以偏微分方程為緯，将具象的幾何和抽象的拓撲聯系起來。
他這個念頭是在廣泛深入閱讀前人的基礎上總結的。高斯博内定理将幾何的曲率和曲面的拓撲聯系，龐加萊、霍普夫、陳省身都讓這些聯系更為穩固。
丘成桐在這些基礎上，進一步引進了非線性微分方程。本質上，幾何和拓撲都是描述形狀。
在拓撲上，一個充氣的氣球是球狀物，等同于未充滿氣的癟氣球。在幾何上，圓氣球和癟氣球的精确曲率卻不同。是以，曲率是概括的形狀（拓撲）和精确的形狀（幾何）之關鍵，這在高維的情況下也是如此。
曲率在實體學上也占有重要地位。科學家可以通過分析路徑的曲率，來決定粒子的品質，進而斷定什麼粒子。愛因斯坦的相對論，就是對宇宙曲率的描述，由一組非線性的微分方程組成，隻要一個變量細微改變，就會導緻重大的後果。
線性，就是符合比例、可疊加。但我們的世界是非線性的。人生的軌迹也是一樣，從各個關鍵的轉折點的“曲率”，可以知曉整個人生的梗概。
丘成桐想把幾何、拓撲、非線性分析共治一爐。當時他發現這幾個學科的權威，非線性的莫裡、幾何的陳省身交流很少。丘成桐則有念頭把這些分開的線绾結在一起。
這可能得益于他父親丘鎮英在他少年時期的哲學輸入。在丘成桐的回憶中，哲學讓他的思維更具高度和通透性。
當時是1969年，丘成桐20歲，到伯克利半年。很多學生和教員都參加反越示威和罷課了。丘成桐初來乍到，不了解情況，照舊心無旁骛地堅持上課，成了莫裡教授班上唯一來上課的學生。大師莫裡教授也堅持上課，并針對他唯一的學生，西裝革履地繼續講課，如常像面對着一個班，但備課内容卻是針對丘成桐量身定做。他成了伯克利三萬人中能聆聽大師一對一講授的幸運兒。
後來薩拉夫老師回美，常常邀請他參加聚會。美國的聚會，大麻煙到處傳，當時抽大麻煙在伯克利習以為常，但丘成桐謝絕了。從小的教育讓他不沾染這種放縱的生活方式。他滴酒不沾，對當時風靡洛杉矶的嬉皮士生活方式也毫無認同。在他的成長環境裡，人們不辭勞苦的謀生，鴉片一樣的娛樂性藥物毫無立足之地。物質上的單純簡約，卻催生了思維的高度和深度。
研一的聖誕節，丘成桐孤身一人泡了兩星期的數學系圖書館，徜徉于數學論文并樂在其中。在這裡，他讀了很多歐拉的著作，并發現了米爾諾關于曲率和基本群的一篇論文。
丘成桐将這篇論文與在香港崇基書院跟特納-斯密斯教授的一次聊天中聽到的内容聯系，并找出相關的論文，并完成了人生第一個有意義的證明并寫成論文。假期結束後，他就和勞森博士說了。《數學年刊》接受了他的論文，這是1970年。
丘成桐的這篇論文中巧妙地解決了當時十分著名的“沃爾夫猜想”。他對這個問題的巧妙解決，使當時的世界數學界意識到一個數學新星的出現。
研究所學生次年，丘成桐選了陳省身為導師。後面的故事，就是丘成桐繼續在圖書館瘋狂閱讀，通讀論文，跟教授讨論學術方向，然後寫成了開挂關于卡拉比猜想的論文，一戰成名。
丘成桐與恩師陳省身
陳先生讓丘成桐就發表在《數學年刊》上有關普雷斯曼工作的文章做報告。報告很順利，會後陳省身征詢了其他人的意見，反應都很好，這足以作為丘成桐的博士論文了，1971年，23歲的丘成桐博士畢業
有時也會面臨多元的價值觀選擇，他想起十歲時父親教的《五柳先生傳》，五柳先生住在環睹蕭然，不蔽風日的破房子裡面，短褐穿結，箪瓢屢空，卻安然自得。喜歡讀書的五柳先生，忘懷得失。
在求學的過程中，他銘記父親的反複教誨——要追求并發現心儀領域中蘊藏的真和美。他以父親的教誨作為立身處世的準繩，他的真和美就在數學這個領域，與研習數學相比，物質的東西，名利的東西，一直顯得微不足道，并且從未對他構成任何紛擾。
但是他又會想辦法通過多元的技能點和适度節儉讓自己的學業不受必須勞碌賺錢的影響。比如他經常自己煮飯吃，包括博士畢業後1972年在石溪大學數學系任教，也是如此。當時的石溪數學系主任西蒙斯，後來成為著名對沖基金經理，在很多年後還善意地取笑丘成桐的節儉：看看丘，又回家做飯咯！
價值觀對于一個數學家來說，很重要。丘成桐從來沒有在無謂的選擇上浪費時間，也是因為有父親早年充滿哲思的教導。
1954年的國際數學家大會，31歲的意大利裔數學家卡拉比在會議的邀請報告中用一頁紙寫下了他著名的猜想：令M為緊緻的卡勒（Kahler）流形，那麼對其第一陳類中的任何一個（1，1）形式R，都存在唯一的一個卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比還粗略地描述了一個他的猜想的證明方案，并證明了，如果解存在，那必是唯一的。
翻譯成人話就是：在封閉的空間存在沒有物質分布的引力場。卡拉比猜想提出之後的數十年裡，沒人能解開這一難題。
剛博士畢業的丘成桐對這極具挑戰性的難題深感興趣，開始了沒日沒夜的研究。走了不少彎路，可遲遲沒有成果。為了證明這個函數，他曾嘗試過近五千個實驗函數，來發展流形上梯度估計的技巧。
1976年，沉浸在新婚的甜蜜中的丘成桐突然靈感迸發，找到了解決卡拉比猜想的方法：他掌握了Kahlabi幾何中的曲率的概念，通過求解這個難度極大的偏微分方程證明了卡拉比猜想。這一證明轟動數學界，27歲的丘成桐一舉成名。
之後，丘成桐就像打通了任督二脈，解決了一連串世界級數學難題，他證明了史密斯猜想、愛因斯坦猜想、實蒙日-安培方程狄利克雷問題、闵可夫斯基問題、鏡猜想以及穩定性與特殊度量間的對應性等。以他的研究命名的卡拉比-丘流形在數學與理論實體上發揮了重要作用。
1978年，他應邀在芬蘭舉行的世界數學大會上做題為《微分幾何中偏微分方程作用》的學術報告。這一報告代表了20世紀80年代前後微分幾何的研究方向、方法及其主流。在這之後，他又解決了“正品質猜測”等一系列數學領域難題。
1979年，美國加州年度傑出科學家；1981年，獲得美國數學會的維布倫(Veblen)獎——世界微分幾何界的最高獎項之一；1982年，33歲的丘成桐獲得菲爾茲獎，這是世界數學領域的諾貝爾獎。
1982年的丘成桐（右一）
丘成桐作為世界微分幾何的新一代上司人，出席了1989年美國數學會在洛杉矶舉行的微分幾何大會。
1994年，他獲得瑞典皇家科學院為彌補諾貝爾獎沒設數學獎而專門設立的國際大獎"克萊福特獎"，這是7年一次的世界級大獎，有人稱"比諾貝爾獎還難拿"。
過了3年，美國總統親自頒發給他美國國家科學獎。2010年，他獲得沃爾夫數學獎（被稱為“數學家終身成就獎”），表彰他在幾何分析和實體等多個領域的貢獻。他是繼自己的導師陳省身之後，第二位獲得沃爾夫數學獎的華人。
丘成桐囊括菲爾茲獎、沃爾夫獎、克萊福特獎這三個世界頂級大獎，被譽為“數學界的國王”。曆史上僅有兩位數學家囊括這三大獎項，另一位是比利時數學家德利涅（Deligne）。
2010年丘成桐榮獲沃爾夫獎
改革開放後，丘成桐應數學家華羅庚邀請，1979年通路中國，随後他開始從中國招收博士生。
為了幫助發展中國數學教育，丘成桐像鑽研數學問題一樣，想盡了各種辦法。從1993年起，丘成桐在香港中文大學、中國科學院、浙江大學、清華大學相繼建立了一批數學研究所，到目前遍布全國多個高校。為了增進華人數學家的交流與合作，丘成桐發起組織國際華人數學家大會。
為了激發中學生對于數學研究的興趣和創造力，培養和發現年輕的數學天才，2004年，丘成桐首先在香港成立了面向香港中學生的兩年一屆的"恒隆數學獎"。2008年，丘成桐在國内設立了“丘成桐科學獎”，鼓勵研究性學習。
丘成桐始終帶着家國情懷。從1984年起，他先後招收了十幾名來自中國的博士研究所學生，要為祖國培養微分幾何方面的人才；自1979年以來，他多次到中國科學院進行高品質的講學。為了幫助發展中國數學，丘成桐想盡了各種辦法。他籌資成立了中國香港中文大學數學科學研究所、北京中國科學院晨興數學中心、浙江大學數學科學研究中心和清華大學丘成桐數學科學中心等多個學術機構，親自擔任主任，并不取分文報酬。
同時，他發起舉辦國際華人數學家大會，極大提升了華人數學家在國際上的聲望。他培養的70餘位博士多數是中國人，有許多已經是國際上非常傑出的數學家。憑借對中國數學發展的突出貢獻，他獲得了2003年度中華人民共和國國際科技合作獎。
2018年12月22日丘成桐在蕉嶺
2018年12月22日，卡拉比-丘成桐空間雕塑在梅州蕉嶺向世人正式亮相，卡拉比-丘理論發展四十年國際會議在梅州市蕉嶺縣舉辦
丘成桐囊括了菲爾茲獎、沃爾夫獎、克萊福特獎這三個世界頂級大獎，被譽為“數學界的國王”。曆史上僅有兩位數學家囊括這三大獎項，另一位是比利時數學家德利涅（Deligne）。他還獲得過美國總統頒發的美國國家科學獎。他是第一位獲得國際數學界最高獎項菲爾茲獎的華人，也是繼陳省身後第二位獲得沃爾夫數學獎的華人。
丘院士說：我本人不覺得拿獎是人生的目标，做研究本身做的成功就是很好的一個收獲，華爾街可以給我一大筆的錢，給我十倍以上的薪水，對于我來講賺了這麼多錢有什麼好處，我不在乎大房子，豪華的車子，對我來講并不重要。
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